《2017-2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案（含解析）新人教a版选修1-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案（含解析）新人教a版选修1-2（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、121.1合情推理归纳推理提出问题如图甲是第七届国际数学教育大会(简称 ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA1 A1A2 A2A3 A7A81，如果把图乙中的直角三角形依此规律继续作下去，记 OA1， OA2， OAn的长度构成数列 an问题 1：试计算 a1， a2， a3， a4的值提示：由图知： a1 OA11，a2 OA2 ，OA21 A1A2 12 12 2a3 OA3 ，OA2 A2A23 2 2 12 3a4 OA4 2.OA23 A3A24 3 2 12 4问题 2：由问题 1 中的结果，你能猜想出数列 an的通项公式 an吗
2、？提示：能猜想出 an (nN *)n问题 3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180，你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是 180.问题 4：以上两个推理有什么共同特点？提示：都是由个别事实推出一般结论导入新知1归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理2归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理化解疑难归纳推理的特点(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践2检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具(2)一般地，如
3、果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.类比推理和合情推理提出问题问题 1：在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积问题 2：三角形的面积等于底边与高乘积的 ，那么在四面体中，如何表示四面体的体12积？提示：四面体的体积等于底面积与高乘积的 .13问题 3：以上两个推理有什么共同特点？提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征问题 4：以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理导入新知1类比推理的定义由两类对象具有某些
4、类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理2类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理3合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，它们统称为合情推理化解疑难对类比推理的定义的理解(1)类比推理是两类对象特征之间的推理(2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的如果两个对象有些性质相似或相同，那么它们另一些性质也可能相似或相同(3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和获得新发现3数、式中的归纳推理例 1已知数列 an的前
5、n 项和为 Sn， a1 ，且 Sn 2 an(n2)，计算23 1SnS1， S2， S3， S4，并猜想 Sn的表达式解当 n1 时， S1 a1 ；23当 n2 时， 2 S1 ，1S2 43所以 S2 ；34当 n3 时， 2 S2 ，1S3 54所以 S3 ；45当 n4 时， 2 S3 ，1S4 65所以 S4 .56猜想： Sn ， nN *.n 1n 2类题通法归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)活学活用(1)(陕西高
6、考)观察分析下表中的数据：多面体 面数( F) 顶点数( V) 棱数( E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 104立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中 F， V， E 所满足的等式是_(2)将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，则第 n(n3)行从左向右数第 3 个数为_解析：(1)观察表中数据，并计算 F V 分别为 11,12,14，又其对应 E 分别为9,10,12，容易观察并猜想 F V E2.(2)前( n1)行共有正整数12( n1)个，即 个，因此第 n 行第 3 个数n2 n2是全体正整数中第 个，即为 .(n2 n2 3) n2 n 6
7、2答案：(1) F V E2(2)n2 n 62图形中的归纳推理例 2(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26 B31C32 D36(2)把 1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是_解析(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 个数 6 11 16 5由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项，以 5 为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 65(61)31.法二：由图案
8、的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需 6 个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加 5 块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：65(61)31.故选 B.(2)第七个三角形数为 123456728.答案：(1)B(2)28类题通法解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化活学活用某种平面分形图如图所示，一级
9、分形图是由一点出发的三条线段，长度均为 1，两两夹角为 120；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为 120，依此规律得到 n 级分形图13n 级分形图中共有_条线段解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有 3(323)条线段，二级分形图有 9(32 23)条线段，三级分形图中有 21(32 33)条线段，按此规律 n 级分形图中的线段条数 an32 n3.答案：32 n3类比推理6例 3设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，则 S4， S8 S4， S12 S8， S16 S12成等差数列，类比
10、以上结论有：设等比数列 bn的前 n 项积为 Tn，则 T4，_，_，成等比数列T16T12解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每 4 项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每 4 项的积成等比数列下面证明该结论的正确性：设等比数列 bn的公比为 q，首项为 b1，则 T4 b q6， T8 b q127 b q28，41 81 81T12 b q1211 b q66，12 12T16 b q1215 b q120，16 16 b q22， b q38，T8T4 41 T12T8 41 b q54，T16T12 41即 2 T4，
11、 2 ，(T8T4) T12T8 (T12T8) T8T4 T16T12故 T4， ， ， 成等比数列T8T4T12T8 T16T12答案： T8T4 T12T8类题通法类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论该过程包括两个步骤：(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)活学活用 如图所示，在 ABC 中， a bcos C ccos B，其中 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，写出对空间四面体性质的猜想解：如图所示，在四面体 PABC 中， S1， S2， S3， S 分
12、别表示 PAB， PBC，PCA， ABC 的面积，7 ， ， 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小猜想 S S1cos S2cos S3cos .1.从 平 面 到 空 间 的 类 比典例三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：三角形 四面体三角
13、形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心解三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面三角形的中位线对应四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球具体见下表：三角形 四面体三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边四面体的中截面的面积等于第四个面的面积的 ，且平行于第四个面14三角形的三条内角平分线交于一点
14、，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心多维探究81解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 平行四边形 圆空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体 平行六面体 球2常见的从平面到空间的类比有以下几种情况，要注意掌握：(1)三角形类比到三棱锥例：在平面几何里，有勾股定理：“设 ABC 的两边 AB， AC 互相垂直，则AB2 AC2 BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 ABCD 的三个侧面 ABC， ACD， ADB 两两相互垂直，则_” 解析：“直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“直三棱锥的侧面积、底面积” 答案： S S S S2 ABC 2 ACD 2 ADB 2 BCD(2)平行四边形类比到平行六面体例：平面几何中，有结论：“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和” ，类比这一结论，将其拓展到空间，可得到结论：“_” 解析：“平行四边形的边、对角线”类比为“平行六面体的棱、对角线” 答案：平行六面体四条对角线的平方和等于十二条棱的平方和(3)圆类比到球例：半径为 r 的圆的面积 S(r) r2，周长 C(r)
