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1、高等数学模拟试题一一、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）1 . 函数 的极小值为 。2)(exf2. 积分 = 。dx20|3. 曲线 在点（0，1）处的切线方程是 。xy)ln()si4. 设 ，则 =( )。yxD,2 dxyeD25已知三角形 ABC 的顶点分别是 A (1, 2, 3 ) 、 B (3, 4, 5 ) 、C (2, 4, 7 ) , 则三角形ABC 的面积为 二、选择题：（每小题 4 分，共 20 分）6. 设函数 ，则（ ） 1)sin()2xf（A） 为可去间断点， 为无穷间断点；x（B） 为无穷间断点， 为可去间断点；（C） 和 均为可去间断点；（D） 和
2、均为无穷间断点。x7. 设函数 可微，则 的微分 dy=（ ） )(f )1(xefy（A） ； （B） ；dfexx1 dxefx)1()(（C） ； （D）)( e8. 设函数 连续， ，则 （ ）)xf tfxF02)()(xF（A） ； （B） ；(22f（C） ； （D） ；)xf )(x9. 设函数 连续，交换二次积分次序得 （ ）,(y dxyfdy021),(（A） ； （B） ；dxfd210), fx021,（C） ； （D） 。yfx210),( dyfx021),(10. （ ）发 散 ， 则若 常 数 项 级 数 1naA) B) 0limna可 能 有 0limna
3、一 定 有C) D) li一 定 有 li一 定 有三、解答题：（每小题 7 分，共 42 分）11、 试 求，上 连 续 ， 且，在设 )( ,)()()( xFbaxdtfxFbaxf a 12、 求 极 限 2sin)1limn13、 在 其 上 的 温 度 布 为米一 金 属 棒 长 为 ,0，105,4)(105xexTx .求 金 属 棒 的 平 均 温 度 值14. 设： 求 f 22cos)sin)(xf15. 求幂级数 的收敛区间，并求和函数。112x16. 已知 。yzze,求四、证明题（本题 8 分）17. 。 求 证 ： 当 时xexx1,五、应用题（本题 10 分）1
4、8. 设非负函数 在 上满足 ，曲线 与直)(f,0)(xff,23a)(xfy线 及坐标轴围成图形的面积为 2，1x1：求函数 ；)(xf2： 为何值时，所围图形绕 轴一周所得旋转体的体积最小？ax高等数学模拟试题一解答一、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）1 函数 的极小值为 。-22)(exf2. 积分 =（ ） 。dx20| 2e3. 曲线 在点（0，1）处的切线方程是 （ ） 。xyx)ln()si 1xy4.设 ，则 =( )。D,(2 dxyeD2 )(8e5已知三角形 ABC 的顶点分别是 A (1, 2, 3 ) 、 B (3, 4, 5 ) 、C (2, 4, 7 )
5、 , 则三角形ABC 的面积为。S = = = 。ABC1|4 -6+2|ijk2214(614二、选择题：（每小题 4 分，共 20 分）6. 设函数 ，则（ ） B1)sin()2xf（A） 为可去间断点， 为无穷间断点；x（B） 为无穷间断点， 为可去间断点；（C） 和 均为可去间断点；（D） 和 均为无穷间断点。x7. 设函数 可微，则 的微分 dy=（ ） D)(f )1(xefy（A） ； （B） ；dfexx1 dxefx)1()(（C） ； （D）)( e8. 设函数 连续， ，则 （ ）C)xf tfxF02)()(xF（A） ； （B） ；(22f（C） ； （D） ；)x
6、f )(x9. 设函数 连续，交换二次积分次序得 （ ）A,(y dxyfdy021),(（A） ； （B） ；dyxfd210),( fx021,（C） ； （D） 。fx210),( dyfx021),(10. （ ）D发 散 ， 则若 常 数 项 级 数 1naA) B) 0lim可 能 有 0limna一 定 有C) D) nali一 定 有 li一 定 有三、解答题：（每小题 7 分，共 42 分）11、 试 求，上 连 续 ， 且，在设 )( ,)()()( xFbaxdtfxFbaxf a 解： Fftdtfaxax() xatf)()()(xf12、 求 极 限 )2sin()
7、1(limn解 ： 原 式 nlisn2limnn2lin1213、 在 其 上 的 温 度 布 为米一 金 属 棒 长 为 ,10，105,4)(105xexTx .求 金 属 棒 的 平 均 温 度 值解： edx105.x1054210542x )1(422e216e7.314. 设： 求 xxf 22cos)sin()(xf1isi1i2Q3(in2si1x3)(2f15. 求幂级数 的收敛区间，并求和函数。11nnx解： ，12()nnaQ2R当 时， 收敛；当 时， 发散2x1()n2x1n即收敛区间为 ；,设 ，则两边求积分得：1()2nxS 012()nx xSd2(),)xx
8、16. 已知 。yzxze,求解：两边对 x 求偏导得： ；(1)z zzyzeyxxe两边对 y 求偏导得： z zz四、证明题（本题 8 分）17. 。 求 证 ： 当 时xexx1,， )()(f 令 xef)(，当 时 当 时 xfx001()故 为 函 数 极 大 值 也 是 最 大 值f(),即 当 时 xfxfe011()即 xx五、应用题（本题 10 分）18. 设非负函数 在 上满足 ，曲线 与直线)(f1,0)(xff,23a)(xfy及坐标轴围成图形的面积为 2，1x1：求函数 ；)(xf2： 为何值时，所围图形绕 轴一周所得旋转体的体积最小？ax解：1： 由方程得时 ，
9、当 0 axff23)(2 axf23)(故得： Cxf10d)(2xfad23102aC4xf)4()(2(2) 旋转体体积xfVd)(10216032a,53a令 5得,1为唯一极小点, 因此 时 V 取最小值 5a5a高等数学模拟试题二一、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）1向量 满足： ，则 ,ab5,13baab2函数 ，当 ，则xyze,0.5,.1yxy_dz3级数 的收敛域 1nx4. = ).2(lim22 nL5. . 0dtep二、选择题：（每小题 4 分，共 20 分）6若级数 在 处收敛，则此级数在 处（ ）1()nnax12x（A）条件收敛 （B）绝对收敛（C
10、）发散 （D）敛散性不能确定7设函数 y = f (x)可导，且 ，则当 时，该函数在 x0 处的微分是 .21)(0xf 0x（A）x 的等阶无穷小； （B）x 的同阶无穷小；（C）x 的高阶无穷小； （D）x 的低阶无穷小8对于不定积分 ，在下列等式中正确的是 .dxf)(（A） ； （B） ；ffd)(xfd（C） ； （D） .)()(xff ff9 的间断点类型是（ ）2sin1)(xarctgxf（A）可去； （ B）跳跃； （C）无穷； （D）A、B 、C 都有.10. 微分方程 的一个特解,应具有形式 ( )xeyy24A) B) C) D) xea2axae2bax三、解答题
11、：（每小题 7 分，共 42 分）11 设 ，且 存在，求0)1(f)1(f .tan)1(cosilm20xefxx12. 求 )arctnrtlim2 n13. 计算 .dsi120xI14. 计算重积分 ，其中 D 为圆域：yD42 .162yx15. 求 的和函数及收敛范围。1)(nx16. 已知函数 ，试求：（1） 的单调区间；2xfxf（2） 的凹凸区间及拐点；（3）曲线 的渐近线.f fy四、证明题（本题 8 分）17. 证明当 时,函数 是单调增的. 0xxtdef021)(五、应用题（本题 10 分）18. 在旋转椭球面 上，求距平面 为最近和最远的点。19622zyx 28
12、143zyx高等数学模拟试题二解答一、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）1向量 满足： ，则 4,ab5,13baab2函数 ，当 ，则 0.25exyze,0.5,.1yxy_dz3级数 的收敛域 1nx x4. ).2(lim22 nL45. . 0dtep1p二、选择题：（每小题 4 分，共 20 分）1若级数 在 处收敛，则此级数在 处（ ）B1()nnax2x（A）条件收敛 （B）绝对收敛（C）发散 （D）敛散性不能确定2设函数 y = f (x)可导，且 ，则当 时，该函数在 x0 处的微分是 21)(0xf 0x.B（A）x 的等阶无穷小； （B）x 的同阶无穷小；（C）x 的高阶无穷小； （D）x 的低阶无穷小3对于不定积分 ，在下列等式中正确的是 .Ddxf)(（A） ； （B） ；ffd)(xfd（C） ； （D） .)()(xff ff4 的间断点类型是（ ）D2sin1)(xarctgxf（A）可去； （ B）跳跃； （C）无穷； （D）A、B 、C 都有.5. 微分方程 的一个特解,应具有形式 ( )Axeyy24A) B) C) D) xea2axae2bax
