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1、高等数学模拟试题一一、填空题:(每小题 4 分,共 20 分)1 . 函数 的极小值为 。2)(exf2. 积分 = 。dx20|3. 曲线 在点(0,1)处的切线方程是 。xy)ln()si4. 设 ,则 =( )。yxD,2 dxyeD25已知三角形 ABC 的顶点分别是 A (1, 2, 3 ) 、 B (3, 4, 5 ) 、C (2, 4, 7 ) , 则三角形ABC 的面积为 二、选择题:(每小题 4 分,共 20 分)6. 设函数 ,则( ) 1)sin()2xf(A) 为可去间断点, 为无穷间断点;x(B) 为无穷间断点, 为可去间断点;(C) 和 均为可去间断点;(D) 和
2、均为无穷间断点。x7. 设函数 可微,则 的微分 dy=( ) )(f )1(xefy(A) ; (B) ;dfexx1 dxefx)1()((C) ; (D))( e8. 设函数 连续, ,则 ( ))xf tfxF02)()(xF(A) ; (B) ;(22f(C) ; (D) ;)xf )(x9. 设函数 连续,交换二次积分次序得 ( ),(y dxyfdy021),((A) ; (B) ;dxfd210), fx021,(C) ; (D) 。yfx210),( dyfx021),(10. ( )发 散 , 则若 常 数 项 级 数 1naA) B) 0limna可 能 有 0limna
3、一 定 有C) D) li一 定 有 li一 定 有三、解答题:(每小题 7 分,共 42 分)11、 试 求,上 连 续 , 且,在设 )( ,)()()( xFbaxdtfxFbaxf a 12、 求 极 限 2sin)1limn13、 在 其 上 的 温 度 布 为米一 金 属 棒 长 为 ,0,105,4)(105xexTx .求 金 属 棒 的 平 均 温 度 值14. 设: 求 f 22cos)sin)(xf15. 求幂级数 的收敛区间,并求和函数。112x16. 已知 。yzze,求四、证明题(本题 8 分)17. 。 求 证 : 当 时xexx1,五、应用题(本题 10 分)1
4、8. 设非负函数 在 上满足 ,曲线 与直)(f,0)(xff,23a)(xfy线 及坐标轴围成图形的面积为 2,1x1:求函数 ;)(xf2: 为何值时,所围图形绕 轴一周所得旋转体的体积最小?ax高等数学模拟试题一解答一、填空题:(每小题 4 分,共 20 分)1 函数 的极小值为 。-22)(exf2. 积分 =( ) 。dx20| 2e3. 曲线 在点(0,1)处的切线方程是 ( ) 。xyx)ln()si 1xy4.设 ,则 =( )。D,(2 dxyeD2 )(8e5已知三角形 ABC 的顶点分别是 A (1, 2, 3 ) 、 B (3, 4, 5 ) 、C (2, 4, 7 )
5、 , 则三角形ABC 的面积为。S = = = 。ABC1|4 -6+2|ijk2214(614二、选择题:(每小题 4 分,共 20 分)6. 设函数 ,则( ) B1)sin()2xf(A) 为可去间断点, 为无穷间断点;x(B) 为无穷间断点, 为可去间断点;(C) 和 均为可去间断点;(D) 和 均为无穷间断点。x7. 设函数 可微,则 的微分 dy=( ) D)(f )1(xefy(A) ; (B) ;dfexx1 dxefx)1()((C) ; (D))( e8. 设函数 连续, ,则 ( )C)xf tfxF02)()(xF(A) ; (B) ;(22f(C) ; (D) ;)x
6、f )(x9. 设函数 连续,交换二次积分次序得 ( )A,(y dxyfdy021),((A) ; (B) ;dyxfd210),( fx021,(C) ; (D) 。fx210),( dyfx021),(10. ( )D发 散 , 则若 常 数 项 级 数 1naA) B) 0lim可 能 有 0limna一 定 有C) D) nali一 定 有 li一 定 有三、解答题:(每小题 7 分,共 42 分)11、 试 求,上 连 续 , 且,在设 )( ,)()()( xFbaxdtfxFbaxf a 解: Fftdtfaxax() xatf)()()(xf12、 求 极 限 )2sin()
7、1(limn解 : 原 式 nlisn2limnn2lin1213、 在 其 上 的 温 度 布 为米一 金 属 棒 长 为 ,10,105,4)(105xexTx .求 金 属 棒 的 平 均 温 度 值解: edx105.x1054210542x )1(422e216e7.314. 设: 求 xxf 22cos)sin()(xf1isi1i2Q3(in2si1x3)(2f15. 求幂级数 的收敛区间,并求和函数。11nnx解: ,12()nnaQ2R当 时, 收敛;当 时, 发散2x1()n2x1n即收敛区间为 ;,设 ,则两边求积分得:1()2nxS 012()nx xSd2(),)xx
8、16. 已知 。yzxze,求解:两边对 x 求偏导得: ;(1)z zzyzeyxxe两边对 y 求偏导得: z zz四、证明题(本题 8 分)17. 。 求 证 : 当 时xexx1,, )()(f 令 xef)(,当 时 当 时 xfx001()故 为 函 数 极 大 值 也 是 最 大 值f(),即 当 时 xfxfe011()即 xx五、应用题(本题 10 分)18. 设非负函数 在 上满足 ,曲线 与直线)(f1,0)(xff,23a)(xfy及坐标轴围成图形的面积为 2,1x1:求函数 ;)(xf2: 为何值时,所围图形绕 轴一周所得旋转体的体积最小?ax解:1: 由方程得时 ,
9、当 0 axff23)(2 axf23)(故得: Cxf10d)(2xfad23102aC4xf)4()(2(2) 旋转体体积xfVd)(10216032a,53a令 5得,1为唯一极小点, 因此 时 V 取最小值 5a5a高等数学模拟试题二一、填空题:(每小题 4 分,共 20 分)1向量 满足: ,则 ,ab5,13baab2函数 ,当 ,则xyze,0.5,.1yxy_dz3级数 的收敛域 1nx4. = ).2(lim22 nL5. . 0dtep二、选择题:(每小题 4 分,共 20 分)6若级数 在 处收敛,则此级数在 处( )1()nnax12x(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C
10、)发散 (D)敛散性不能确定7设函数 y = f (x)可导,且 ,则当 时,该函数在 x0 处的微分是 .21)(0xf 0x(A)x 的等阶无穷小; (B)x 的同阶无穷小;(C)x 的高阶无穷小; (D)x 的低阶无穷小8对于不定积分 ,在下列等式中正确的是 .dxf)((A) ; (B) ;ffd)(xfd(C) ; (D) .)()(xff ff9 的间断点类型是( )2sin1)(xarctgxf(A)可去; ( B)跳跃; (C)无穷; (D)A、B 、C 都有.10. 微分方程 的一个特解,应具有形式 ( )xeyy24A) B) C) D) xea2axae2bax三、解答题
11、:(每小题 7 分,共 42 分)11 设 ,且 存在,求0)1(f)1(f .tan)1(cosilm20xefxx12. 求 )arctnrtlim2 n13. 计算 .dsi120xI14. 计算重积分 ,其中 D 为圆域:yD42 .162yx15. 求 的和函数及收敛范围。1)(nx16. 已知函数 ,试求:(1) 的单调区间;2xfxf(2) 的凹凸区间及拐点;(3)曲线 的渐近线.f fy四、证明题(本题 8 分)17. 证明当 时,函数 是单调增的. 0xxtdef021)(五、应用题(本题 10 分)18. 在旋转椭球面 上,求距平面 为最近和最远的点。19622zyx 28
12、143zyx高等数学模拟试题二解答一、填空题:(每小题 4 分,共 20 分)1向量 满足: ,则 4,ab5,13baab2函数 ,当 ,则 0.25exyze,0.5,.1yxy_dz3级数 的收敛域 1nx x4. ).2(lim22 nL45. . 0dtep1p二、选择题:(每小题 4 分,共 20 分)1若级数 在 处收敛,则此级数在 处( )B1()nnax2x(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)敛散性不能确定2设函数 y = f (x)可导,且 ,则当 时,该函数在 x0 处的微分是 21)(0xf 0x.B(A)x 的等阶无穷小; (B)x 的同阶无穷小;(C)x 的高阶无穷小; (D)x 的低阶无穷小3对于不定积分 ,在下列等式中正确的是 .Ddxf)((A) ; (B) ;ffd)(xfd(C) ; (D) .)()(xff ff4 的间断点类型是( )D2sin1)(xarctgxf(A)可去; ( B)跳跃; (C)无穷; (D)A、B 、C 都有.5. 微分方程 的一个特解,应具有形式 ( )Axeyy24A) B) C) D) xea2axae2bax