随机过程习题答案a

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1、随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量 的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布 。 （a）分别写出随机变量 和 的分布密度 （b）试问： 与 是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此 是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此 与 独立。 2、设 和 为独立的随机变量，期望和方差分别为 和 。 （a）试求 和 的相关系数； （b） 与 能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用 的独立性，由计算有： （b）当 的时候， 和 线性相关，即 3、设 是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T 的函数

2、，即 ， 试求方差函数 。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号 和 ，其中： 式中 和 为正的常数； 是 内均匀分布的随机变量， 是标准正态分布的随机变量。 （a）求 的均值、方差和相关函数； （b）若 与 独立，求 与Y 的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2解： 其中 为整数， 为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3解：由周期性及三角关系，有： 反函数 ，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知， 的联合概率密度为： 利用变换： ，及雅克比行列式： 我们有 的联合分布密度为： 因此有： 且V和 相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦

3、曲线。 （3）给定一时刻 ，由于 独立、服从正态分布，因此 也服从正态分布，且 所以 。 （4） 由于： 所以 因此当 时，当 时，由（1）中的结论，有： P36/7证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i=j 时 ；否则 令 ，则有第三讲作业： P111/7解： （1）是齐次马氏链。经过 次交换后，甲袋中白球数仅仅与 次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： ， （2）因此：P112/9解： （2）由（1）的结论，当 为偶数时

4、，递推可得： ； 计算有： ，递推得到 ，因此有： P112/11解：矩阵 的特征多项式为： 由此可得特征值为： ，及特征向量： ， 则有：因此有： （1）令矩阵 P112/12解： 设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如下： 第四讲作业： P113/13解：画出

5、状态转移图，有： P113/14. 解：画出状态转移图，有： P113/16解：画出状态转移图，有： （1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。 （3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且 ，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通组成一个闭集，且 ，故状态0、2是常返态；因为 ，故，所以状态1为非常返态。 （4）0、1相通作成一闭集，且 ，故0、1为常返态；又 ，因此 ，故2为常返态； ，故3、4为非常返态。 第六讲作业： P115/17解：（1）一步转移矩阵为： （2）当 时，由计算可得 ，因此可由以下方程组计算极限分布： 解得极限分布即可。 P115/18解：由第

6、七题的结果，计算可得：， 因此可计算极限分布如下： 解以上方程，得极限分布： P115/19解：见课上讲稿。 P116/21解：记 ，则有： （1）因为： (A) 当 时，有： 由（A）可得： 当 且 时，有： 由（A）可得： 当 且 时，有： 由（A）可得： 另外：下列等式是明显的 因此我们有： 即是一齐次马氏链。一步转移矩阵为： （2）画出转移矩阵图，可得： 由 ：及 ，并且取 ，由递归可得： （3）由于： 因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。 （4）由马氏链的无后效性，可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有： 随机过程习题解答（二

7、）P228/1。证明：由于 ，有tsntNPkskstntP)()()(,/其中 )()!(!)()()( stknsketestksNP tntNP!)()(所以 knkknk tnstkskstsettP 1)!()( !)(!)()(/)( )(证毕。P229/3. 解：（1）因为 是一Poission过程，由母函数的定义，有：0),(tN)()( )()( )()()()00000)( ssjtNPltNPlkssltlt lktNPslt sltltPsktstt j jl lk lklllk lkkl lkk klkt （2）有上面（1）的结果，可得： tssttstsNttNtN

8、tt ttNtN1)()( )()()(0)(0)()(limli（3）当 充分小时，由于：t 2100)( )()()(1kkkktN stststPs 因此，当 时，有：1s )1()()()( 200limli stttsts kktNt 由（2）的结果，我们有： )(1()( ssttNNP229/4. 解：（1）由上面3题的结果（3），我们有：tstNNtNt ess)1()()0( )()(1( （2）由于 是随机过程 的母函数，且 ，将函数 关于)(stNt tst)1()(ts)1(展开成级数形式，我们可得：)1(s 0)1()( !kktktstN sete由母函数与分布函数

9、的唯一性定理，可得： L2,1,!)()(ekttPtP230/8. 解：由特征函数的定义，我们有： nYuintitntXuitXuitXeENeNPeEn1210)(0)()(!)(L令 ，则有：)(11ueEYui（*）1)(exp!)(110)( utnut YtYtX 若 的概率分布为：,21(Ln 2121,nnPYP则（*）uiuiYuiY eeeEnn 2121)(将（*）代入（*），我们有： tett euuiui uiitX )(exp 1)()( 2121 21 P230/7. 解：先求 的特征函数：0),(0tNtett emtnt etetEeuuiui tuit t

10、itui muitmnuitntNitNui ttuititN )(expxp!)(!)()( 2121 )(0(201 )()()( 21 21 2121100 由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知 是复合0),(0tNPoission过程。P231/10. 解：由于 ntXtPtjktX)()(,)(32132112因为 的母函数为：)(tXi，tssitN)1(exp)(由独立性，可知 的母函数为：)(321Xtt， 1 321)()( 1ittX tsss所以 是参数为 的泊松过程，即)(321ttX321tnetntttP 321!)()( 32321 因此我们

11、有： njkjtntkjtjtkjknjeenXXt )()!(! )!(!)(,)321321132121 32131 P231/12. 解：（1）由 )(1)(1)(,0)(, toPktXPtktXPt rr L令 ，有0t )()()(1tPtdtPkrkrk 解得 tPkrrettX!)()(（2）由（1）知， 服从参数为 的泊松分布。)(tXrPP232/15. 解：（1）以 表示 时刻系统中不正常工作的信道数，则 是一马氏)(tt 0),(t过程，其状态空间为： ， 矩阵为：2,10SQ2)(0（2）令： )()()(2212010tpttpttttP则前进方程为： 3)0(IP

12、Qttd（3）令： )()(jttpj)0,1(,)(210pt rr写出福克普朗克方程： )0,1()pQttdr即有：0)(,)0(,1)(2)(2)()(02 1010pptttdtpttptpd做Laplace变换，令： 2,1,)()(ntLsnn则有： )(2)()( )(2112 100sss s由上解得： )()(2)()(23)( 20 sCsBAss其中： 222 )(,)(,)(BA因此求 )()(010sLtp即可。（4） ttBABA etTPttTP 2, P233/16. 解：（1）令 表示 时刻系统中正在用电的焊工数，则 是一马氏过)(tt 0),(t程，其状态

13、空间为： 。,210mSL（2） 矩阵为：Q m000 0)2()(221)1( 00MLOM（3）令： )()(jtPtpj)0,1()0,(,)(,)(210 LrLr pttpttpm写出福克普朗克方程： )1(0,1()0mpQttdLr（4）画出状态转移率图，可得 时的平衡方程：t1)1()1()(210010mnm nnnp pppm M由此可得： 0)1()()(101 ppnnnL即有： 0)1()(nnpmmpn ,2,1 L由此可以求得： npCpmnmp nmnn ,10,1)( 00 LL 由 ，即可确定 ，最终得到所要的结果。10mn 0P233/17. 解：（1）由于： )0,(, anan可以得到此过程的 矩阵：Q OOLanana )( 02220)(0令： )()(jtPtpj),(,)(210 Lr tpt n写出福克普朗克方程： M)(1( )()() )(3)()(2)()()()(1212 10110tpntpanatdp tttpt paadtpttn n初始条件： 。0),1)0( 0jpjn （2）由数学期望的定义： 10)()()()(nntptttE由此，我们有： )()( )(