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1、七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作“挥手袖底风”罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲尘缘，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。-啸之记。 函数极限存在条件教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则运用。教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。教学程序： 引 言在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则” 。我们说数列
2、是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任务。本节的结论只对 这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。0x首先介绍一个很主要的结果海涅(Heine)定理（归结原则） 。一、归结原则定理（Heine 定理）设 在 内有定义， 存在 对任何含于 且以f0(;)Ux0lim()xf0(;)Ux为极限的数列 ，极限 都存在且相等。0xnxlimn注 是数列， 是数列的极限。所以这个定理把函数 的极限归结为数列()f()fx ()fx的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则” 。由此，可由数列极限的性质来
3、推断函数极限性质。()nfx注从 Heine 定理可以得到一个说明 不存在的方法，即 “若可找到一个数列 ，0li()xf nx，使得 不存在；”或“找到两个都以 为极限的数列 ，使0limnxli()nfx 0x,nx都存在但不相等，则 不存在。(),f 0lim()xf例 证明 不存在。01lisx注对于 这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更0,x强的形式。如当 时有：0定理设函数 在 的某空心邻域 内有定义， 对任何以 为极限的递减f0x0()Ux0lim()xfA0x数列 ，有 .0()nxUlim()nfA二、单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也
4、有相应的定理。现以 这种类型为例0x叙述如下:定理设 为定义有 上的单调有界函数，则右极限 存在。f0()Ux 0lim()xf注：定理可更具体地叙述如下：为定义在 上的函数，若（） 在 上递增有下界，则 存在，且f0() f0()U 0li()xf；（） 在 上递减有上界，则 存在，且00()lim()infxxUf0()x 0li()xf.00()supf三 函数极限的 Cauchy 收敛准则定理（Cauchy 准则）设函数 在 内有定义， 存在 任给 ，存在正数f0(;)Ux0lim()xf0，使得对任何 有 。()0,(;)x|f注：按照 Cauchy 准则，可以写出 不存在的充要条件：存在 ，对任意 ，存在0lim(xf()使得 .0,(;)xU|()|ff例：用 Cauchy 准则说明 不存在。01lisnx综上所述：Heine 定理和 Cauchy 准则是说明极限不存在的很方便的工具。
