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1、课题：积、商、幂的对数 案例撰写： 曹承安 北京大峪中学 评 析：高存明 人民教育出版社 教材版本：人教版 B 教材 必修 1 【导语】 与以往相比，新课标更为强调对学生学习过程中认知规律的关注与研究。对“对数运算法则”的探究，既因其与指数运算法则相关联而有其“容易”的一面，也因学生对“对数”概念理解不深而有其“困难”的一面，曹老师在设计教学过程时，将学生课前初步探究、课上集中解决问题，课后回顾反思等环节整体考虑规划，比较有效地提高了教学效率。如何在这样的整体构思中更为凸显数学学习中分析、解决问题的基本思想与基本方法的作用，则是我们更为关注的问题。 【教学设计】 教材中教学内容的编写是单刀直入
2、地直接提出问题，并给出法则的证明。我教的学生中，多数学生的学习习惯、思维能力、自主学习的能力都存在一些问题。如果按照教材去教，学生会感觉难度大，只能被动的接受，所以我编写本节教案时，通过创设问题情境，降低难度，由学生通过自主探索、经历观察、归纳、猜想、证明得到法则，让学生体验从特殊到一般的研究问题的方法和策略，激发学生主动去解决问题，探究问题，得出结论。在这个过程中，充分展示数学知识产生的思维过程，让学生均能自觉主动地参与进来。学生的主体地位都得以充分体现，享受成功的喜悦和快乐。 根据学生实际能力，猜测两个正数积的对数的法则留为课前作业。给学生充足的时间去思考，希望同学们能尝试着自我探索数学内
3、容，初步体验一下探索的过程。 猜测出两个正数积的对数的法则后，法则的证明是一个难点，教学中要根据学生在课堂上的表现，给出有效的引导。 提出问题引导学生得出若干正数的积的对数的运算法则的特殊形式，再提出问题引导学生继续探究，得到正数幂的对数运算法则。揭示法则间的内在联系。让学生体验了从一般到特殊，再从特殊到一般的思维方法。 直接提出正数商的对数等于什么？引导学生转化为积的对数，很自然的得到商的对数法则，培养学生的抽象思维能力和化归思想。 本课中，使学生成为对数运算法则的“发现者”和“创造者”，切身感受了发现和创造的快乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到落实。通过这节课的教学，培养了学生思考、分
4、析、研究问题的意识。培养学生观察的习惯。培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力。学生围绕老师提出的一系列启发性的层层入深的问题，展开探究，使问题得到解决，从而突出本节重点，突破本节难点。 【教学实录】 一、自主探究，寻找规律 师：同学们，我们上节课已经学习了对数概念和相关知识，请大家回答下列问题 （ppt）(1) , (2) 将 化为指数式 （3）将 化为对数式 生 1：（） ， （） 将 化为指数式为（）将 化为对数式为师：很好，现在请大家看昨天的课后补充作业 （ppt 演示作业）计算下列各组中的 a、b、c 的值，观察每组中的 a、b、c 三数之间有什么关系？每组中三个对数有
5、什么关系? 每组中的三个对数的真数有什么关系？你能不能通过归纳，猜想出一般规律？ （） （） （） （） 师：请同学们展示你们的发现。 （许多学生举手，选择一名数学基础比较好的学生的作业，用投影展示） （1） ， ，。 a、b、c 三数之间的关系是 三个对数的关系是（）， ，。 a、b、c 三数之间的关系是 三个对数的关系是（），。 a、b、c 三数之间的关系是 三个对数的关系是（） ， ， 。 a、b、c 三数之间的关系是 三个对数的关系是 lg100000 = lg100 + lg1000 猜想：（作业刚打出数秒，一名学生主动站起来补充） 生 2：对数有意义，a0，且 二、概念形成，逐步深
6、化 师：非常好，这两名同学通过特例得到了一般结论。 （板书） （，且） 师：这个结论一定正确吗？ 生：(许多学生回答)不一定。 师：你认为这个结论不正确，应能举出反例；你认为这个结论正确，你应给出证明。 大家勇敢地尝试一下。 （学生这时的积极性很高，马上开始证明。不一会儿，学生开始小声探讨，还有几名学生面露疑惑，发现多数学生证明没有思路。） 师：（引导提示）大家用对数定义，将对数式转化为指数式试一试。 （学生经过思考后，再找学生说出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题。多数学生给出证明后，用投影展示学生中证明过程写得比较好的） （投影）证明：设 ，师：这个公式就是两个正数积的对数运算法则，
7、两个正数的积的对数等于同一底数的这两个正数的对数的和 师：若三个正数、的积的对数等于什么？（板书）生 3：师：你的根据是什么？ 生 3：因为 ，（板书 ）（、） 师：这名同学说得很好，这个公式就是三个正数积的运算法则，你们还能得出更一般的结论吗？ （片刻思考后） 生 4： （ ， ， ） （板书）（ ， ， ） 师：我们从两个正数的积的对数的运算法则推广到更一般的运算法则。可叙述为正因数的积的对数等于同一底数的这各因数的对数的和若这 n 个正数都相等，你又能得到什么结论吗？ 生 5：可它们都等于 就能得到 （ ） 师：很好，我们由一般结论，得到了它的特殊情形，一个新的性质。在这个新的性质中 的
8、幂的指数为正整数。我们大家知道 （）时， 的取值范围为全体实数。若将上式中的正整数的范围扩大到全体实数，（板书） （ ，），这个法则还一定成立吗？ 生：（集体回答）不一定。 师：你能证明吗？ （话音未落，几名学生就举手要发言） 生 6：证明：设 ，师：证明得非常好，你怎么想到的？ 生 6：由 的证明方法想到的。 师：这位同学用类比的方法给出了证明，很好。我们又得到了一个新的法则，正数幂的 对数运算法则。正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的对数。 师：我们现在知道正数积的对数运算法则，你知道两个正数商的对数等于什么？ （板书） （，） （学生稍作思考，有学生举手发言） 师：说说你的思路？ 生
9、7：我是将两个正数的商转化为两数积，就可以用前面的法则了。 师：太好了，用到了化归的思想，将未知转化为已知。说说你的证明过程。 生 7： 师：这个公式就是两个正数商的运算法则，两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数 （让学生看板书对数运算法则） 师：综上，我们得到了正数的积、商、幂的对数运算法则。现在，大家来做下面这组小题。 三、应用举例，理解概念 例 1（ppt）（口答） 判断下列式子的正误，并说明理由。 (1)(2)（3）生 8：（）不正确，两个正数的积才能用法则， 不能用法则，再说 和 没有意义 生 9：（）不正确，没有这个法则，生 10：（）不正确， ， 师：大家回
10、答的很好，第三位同学给出了（）的正确的运算。（）、（）两个小 题，你能给出正确运算吗？ 生 8：生 9： 生 11：第（2）小题还可以这样做，师：大家说得非常好。哪位同学谈谈你对法则的认识。 生 12：要准确用法则。 师：怎样才能准确用法则呢？ 生 13：要记准法则的形式和法则应用的条件。 生 14：法则的正用和逆用。 师：大家总结的很好，我们解题时，不能想当然，每一步都要依据法则。培养自己严谨 的学习态度。现在大家做下面的题目。 例 2（ppt）教材第 98 页例 4 （ppt）例 4 用 表示下列各式：（1） ； ； （学生做完后，投影展示学生练习，集体订正） 例 3（ppt）教材第 99
11、 页例 5 （ppt）例 5 计算 ； （2）（学生做完后，投影展示学生练习，集体订正） 四、归纳小结，内化提升 师：这节课你都学到那些知识，哪位同学说说。（分别找几名学生回答） 生 15：我们学习了对数的运算法则，用法则计算。 生 16：先通过昨天的作业猜测出法则（），给出了证明；又将法则（）推广，再得到 正数的商、幂的对数，还有法则的应用。 生 17：证明法则用到了类比和化归的思想。 师：三位同学总结的很好，我们在研究对数的运算法则的过程中还体验了由特殊到一般，也体验了由一般到特殊再到一般的认知规律。我们要从以下几个方面认识运算法则： (1) 运算性质的内容(用符号语言和文字语言叙述) (2)运算性质的应用条件(使每一个对数都有意义) (3)运算性质的正用和逆用。师：下面把这节课做一小结 （ppt）（1）研究了正数积、商、幂的对数的运算法则和法则的应用； （2）研究法则的思想方法（由特殊到一般，由一般到特殊，特殊到一般；类比、猜证、化归） 师：今天的作业：99 页练习 选做：100 页练习第小题和第小题
