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1、第三章 控制系统的时域分析3.1 典型的试验信号3.2 一阶系统的时域响应3.3 二阶系统的时域响应3.4 高阶系统的时域响应3.5 用 MATLAB求控制系统的瞬态响应3.6 线性定常系统的稳定性3.7 劳斯稳定判据3.8 控制系统的稳态误差3.9 控制系统对参数变化的灵敏度本章小结本 章 简 介上一章已经讲述了如何建立控制系统的数学模型。但事实上人们真正关心的是，如何利用这些数学模型来对系统进行分析或设计。本章主要讨论用时域分析法来分析控制系统的性能。时域分析法：是对一个特定的输入信号，通过拉氏变换，求取系统的响应输出。它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确、物理概念清
2、楚的特点，尤其适用于二阶系统。一个稳定的控制系统，对输入信号的时域响应由二部分组成：瞬态响应+稳态响应。 瞬态响应描述系统的动态性能；稳态响应描述系统的稳态精度；3.1 典型的试验信号 回目录 控制系统的稳态误差是因输入信号不同而不同的。因此就需要规定一些典型输入信号。通过评价系统在这些典型输入信号作用下的稳态误差来衡量和比较系统的稳态性能。在控制工程中通常采用的典型输入信号有以下几种： 1单位阶跃函数：其拉普拉斯变换为 R(s)=1/s2单位斜坡函数：其拉普拉斯变换为 R(s)=1/s23单位加速度函数：其拉普拉斯变换为 R(s)=1/s34单位脉冲函数：其拉普拉斯变换为 R(s)=15正弦
3、函数：r(t)=Asint其中最常用的典型信号为单位阶跃、单位斜坡、单位加速度三种输入信号。3.2 一阶系统的时域响应 回目录3.2.1 单位阶跃响应 3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应 3.2.4 线性定常系统的重要特性一阶系统：用一阶微分方程描述的控制系统。研究图 3-3所示一阶系统。其系统传函为图 3-3 一阶系统方框图3.2.1 单位阶跃响应对于单位阶跃输入：r(t)=1(t)，R(s)=1/s于是由拉普拉斯反变换可以得到单位阶跃响应 c(t)为c(t)=1-e-t/T (t0)上式表示，一阶系统的单位阶跃响应的图形是一条指数曲线，如图 3-4所示。图
4、 3-4 一阶系统的单位阶跃响应由图可知，c(t)的初始值为 0，最终将变为 1。当 t=T时，c(t)的数值等于 0.632，或者说响应 c(t)达到了总变化的 63.2%。当经过的时间 t=3T、4T 时，响应将分别达到稳态值的 95%或 98%。从数学观点来分析，只有当时间 t趋向于无穷大时，系统的响应才能达到稳态。但实际上都以响应曲线达到稳态值的 2%允许误差范围所需的时间，来作为评价响应时间长短的合理标准。时间常数 T反映了系统的响应速度，时间常数 T愈小，则响应速度愈快。 T 反映了系统的响应速度。3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应对于单位斜坡输入：r(t)=t，R(s)=1/s
5、2于是t=0 时, 斜率为 0t 时 c()=t-T c()-r(t)=Tr(t)=t, R(s)=3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应当单位脉冲输入：r(t)=(t)，R(s)=1这时有相应的系统单位脉冲响应为： c(t)=(1/T)e-t/T其响应曲线如图 3-5所示。图 3-5 一阶系统的单位脉冲响应3.2.4 线性定常系统的重要特性r(t)=t (导数） r(t)=1(t) r(t)=(t) c(t)=(t-T)+Te-t/T c(t)=1-e-t/T c(t)=(1/T)e-t/T比较系统对这三种输入信号的响应，可以清楚地看出，系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应微分来
6、求出。同时也可以看出，系统对原信号积分的响应，等于系统对原信号响应的积分，而积分常数则由零输出初始条件确定。这是线性定常系统的一个特性，线性时变系统和非线性系统都不具备这种特性。3.3 二阶系统的暂态响应 回目录3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应3.3.2 二阶系统的暂态响应指标3.3.3 二阶系统的脉冲响应在分析或设计系统时，二阶系统的响应特性常被视为一种基准。虽然在实际中几乎没有二阶系统，而是三阶或更高阶系统，但是它们有可能用二阶系统去近似，或者其响应可以表示为一、二阶系统响应的合成。因此，将对二阶系统的响应进行重点讨论。图 3-6 二阶系统的方框图典型的二阶系统的方框图如图 3-6所示，
7、它由一个非周期环节和一个积分环节串联组成，系统的传递函数为令则 二阶系统的标准表达式：由上式得闭环系统的极点: 振荡角频率 d的单位本为 rad/s，但因弧度本身无量纲，只表示比值的概念。在研究控制系统时习惯上写为 s-1，同时也常简称 d为频率。由式（3-12）可知，系统极点的实部为 ，它控制着时间响应的暂态分量是发散还是衰减，以及暂态分量随时间的变化率。当 0 时，暂态响应随时间增长而发散，当 0时，系统暂态响应才能随时间增长而衰减。当 01时，系统具有不相等的两个实极点，系统的暂态响应还是随时间按指数函数规律而单调衰减，只是衰减的快慢主要由靠近虚轴的那个实极点决定。此时称系统处于过阻尼情
8、况。当 =0时，系统将具有一对纯虚数极点，其值为 此时称系统处于无阻尼状态，系统的暂态响应将是恒定振幅的周期函数，并且将 称为无阻尼自然振荡角频率，或简称为无阻尼自然振荡频率。在图 3-7中表示出当 为不同值时，相应系统极点的分布与阶跃响应的图形。(a) 1（左半平面有相异实根）时系统响应(b) =1（左半平面有相同实根）时系统响应(c)0 -1（右半平面有带正实根的共轭虚根）时系统响应(f) 1）这种情况下，C(s)/R(s)的两个极点是两个不等的负实数。对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s 此时 (t1) 特别 1 时. 此时二阶系统降为一阶系统 (=2%) 1.5 工程上，如果 1.5
9、时，使用上述近似式已有足够的准确度了。3.3.2 二阶系统的暂态响应指标当系统为欠阻尼情况下，即 01 时c(t)= (t0) 不同 时单位脉冲响应曲线见图 3-10。对 1 的情况，单位脉冲响应总是正值或在 t=时为零。这时系统的单位阶跃响应必是单调增长的。由于单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，所以单位脉冲响应曲线与时间轴第一次相交的点对应的时间必是峰值时间 tp，而从 t=0至 t=tp这一段曲线与时间轴所包围的面积将等于 1+Mp（参见图 3-11），而且单位脉冲响应曲线与时间轴包围的面积代数和为 1。图 3-10 单位脉冲响应曲线图 3-11 从脉冲响应求 Mp例题 3-103-10图
10、示系统中 =0.6， =5弧度/秒。当系统受到单位阶跃输入信号作用时，试求上升时间 tr、峰值时间 tp、最大超调量 Mp和调整时间 ts。解：根据给定的 和 值，可以求得 = =4和 = =3。图 3-Error! Bookmark not defined. 例 3-10 图1 上升时间 tr上升时间为：tr= = 式中 为： 弧度因此，可求得上升时间 tr为：t r= = 秒2 峰值时间 tp峰值时间为：tp= = =0.785秒3 最大超调量 Mp最大超调量为：Mp= = =0.095因此，最大超调量百分比为 9.5%。4 调整时间 ts对于 2%允许误差标准，调整时间为：ts= =4/
11、3=1.33秒对于 5%允许误差标准，调整时间为：ts= =3/3=13.4 高阶系统的暂态响应 回目录当系统高于二阶时，将其称为高阶系统。其传递函数一般可以写成如下形式将上式进行因式分解，可写成式中 si：传递函数极点，i=1、2、n；zj：传递函数极点，j=1、2、m。假定系统所有零点、极点互不相同，并假定极点中有实数极点和复数极点，而零点中只有实数零点。当输入为单位阶跃函数时，其阶跃响应的象函数为= + + 式中 m：传递函数零点总数；n：传递函数极点总数，n=q+2r；q：实极点数；r：共轭复数极点的对数。对上式求取原函数，即得高阶系统的单位阶跃响应：c(t)=A+ + 式中 Ai=
12、；Dk= ；k= ；sk=- 。由此可见，高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统暂态响应分量的合成。可以得到如下结论：1.高阶系统暂态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数 si及 决定。假设系统的一对复数极点与虚轴间距离为 ，另一对复数极点与虚轴间距离是其 5倍，即 5 ，如按式（3-15）估算，后者对应的暂态分量衰减时间大约为前者的 1/5，由此可知，系统的极点在 s平面左半部距虚轴愈远，相应的暂态分量衰减得愈快。2. 高阶系统暂态响应各分量的系数 Ai和 Dk不仅与 s平面中极点的位置有关，并且与零点的位置也有关。当某极点 si愈靠近某一零点 zj而远离其他极点，同时与 s平面的原点相距也很远，
13、则相应分量的系数 Ai越小，该暂态分量的影响就小。若一对零、极点互相接近，则该极点对暂态响应几乎没有影响。极端情况，若一对零、极点重合（偶极子），则该极点对暂态响应无任何影响。若某极点 si远离零点，但距 S平面原点较近，则相应的该分量的系数 Ai就比较大，于是，该分量对暂态响应的影响就较大。因此，对于系数很小的分量以及远离虚轴的极点对应的衰减很快的暂态分量常可忽略，于是高阶系统的响应就可以用低阶系统的响应去近似。3. 如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部比其他极点的实部的 1/5还要小，并且该极点附近没有零点，则可以认为系统的响应主要由该极点决定。这些对系统响应起主导作用的极点，称为系统
14、主导极点。高阶系统的主导极点常是共轭复数极点。如能找到一对共轭复数主导极点，则高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，相应地其暂态响应性能指标都可以按二阶系统来近似估计。在设计一个高阶系统的时候，常利用主导极点这一概念选择系统参数，使系统具有预期的一对共轭复数主导极点，这样就可以近似地用二阶系统的性能指标来设计系统。详见后面有关系统设计章节的内容。3.5 用 MATLAB进行暂态响应分析 回目录3.5.1 线性系统的 MATLAB 表示 3.5.2 传递函数系统单位阶跃响应的求法3.5.3 在图形屏幕上书写文本 3.5.4 脉冲响应3.5.5 求脉冲响应的另一种方法 3.5.6 斜坡响应3.5
15、.1 线性系统的 MATLAB 表示系统的传递函数用两个数组来表示。考虑下列系统：（3-17）该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以 s的降幂排列如下：num=0 0 25den=1 4 25注意，必要时需补加数字零。如果已知 num和 den（即闭环传递函数的分子和分母），则命令step(num，den)，step(num，den，t)将会产生出单位阶跃响应图（在阶跃命令中，t 为用户指定时间）。当阶跃命令的左端含有变量时，如：y,x,t=step(num,den,t)显示屏上不会显示出响应曲线。因此，必须利用 plot命令去查看响应曲线。矩阵 y和 x分别包含系统在计算时间点 t求出的输出响应和状态响应（y 的列数与输出量数相同，每一行对应一个相应的时间 t单元。x 的列数与状态数相同，每一行对应一个相应的时间 t单元）。3.5.2 传递函数系统单位阶跃响应的求法下面讨论由方程（3-17）描述的系统的单位阶跃响应。MATLAB Program3-1将给出该系统的单位阶跃响应曲线。该单位阶跃响应曲线如图 3-13所示。其源程序为：MATLAB Program 3-1num=0 0 25;den=1 4 25;step(num,den)gridtitle(Unit-Step Response of G(s)=25/(s2+4s+25)图 3-13
