测量误差及数据处理

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1、课程：大学物理实验测量误差及数据处理测量误差及数据处理测量误差及数据处理特别提醒：特别提醒：8：00-8：30考试考试总纲总纲绪绪 论论一一误差分析与数据处理误差分析与数据处理二二三三课程安排与注意事项课程安排与注意事项IP地址：地址：注意事项与课程安排注意事项与课程安排1.1.物理实验中心主要开设物理实验、预备性物理实验、专业物理实验、创新物理物理实验中心主要开设物理实验、预备性物理实验、专业物理实验、创新物理实验四门课程。其中物理实验是面向全院工科学生开设的必修基础实验课程。实验四门课程。其中物理实验是面向全院工科学生开设的必修基础实验课程。2.2.本学期物理实验考核办法：本学期实验成绩为

2、本学期物理实验考核办法：本学期实验成绩为7 7个实验的平均成绩。实验题目个实验的平均成绩。实验题目中有中有2 2个低于个低于6060分者直接为不及格。若有三次及三次以上旷课记录，则本学期分者直接为不及格。若有三次及三次以上旷课记录，则本学期成绩为不及格。本学期开设的物理实验题目如下：成绩为不及格。本学期开设的物理实验题目如下：上一级上一级物理实验物理实验2012-2013学年学年第第1学期学期序号序号题目题目实验教室实验教室1直流电桥测电阻直流电桥测电阻 逸夫科技馆二楼逸夫科技馆二楼 2分光计的调整与使用分光计的调整与使用逸夫科技馆二楼逸夫科技馆二楼3示波器的原理和使用示波器的原理和使用逸夫科

3、技馆二楼逸夫科技馆二楼4三线摆实验三线摆实验 逸夫科技馆二楼逸夫科技馆二楼5用霍尔元件测磁场用霍尔元件测磁场 逸夫科技馆二楼逸夫科技馆二楼6拉伸法测弹性模量拉伸法测弹性模量 逸夫科技馆二楼逸夫科技馆二楼7液体粘滞系数的测量液体粘滞系数的测量逸夫科技馆二楼逸夫科技馆二楼IP地址：地址：注意事项与课程安排注意事项与课程安排3.3.物理实验于第物理实验于第3 3周开始上课，第周开始上课，第2 2周开始在物理实验中心的网站上选课，网址周开始在物理实验中心的网站上选课，网址为为 ，具体选课方法请参照网页上的注意事项，选课密码是，具体选课方法请参照网页上的注意事项，选课密码是身份证号后四位，并请在预约时间

4、到相应实验室上课，否则按旷课处理！身份证号后四位，并请在预约时间到相应实验室上课，否则按旷课处理！上一级上一级物理实验的课节时间安排物理实验的课节时间安排 课节课节时间段时间段备注备注第一场第一场8:20-10:358:20-10:35第二场第二场13:30-15:4513:30-15:45第三场第三场16:00-18:1516:00-18:154.4.物理实验要求同学们使用规范的物理实验报告本，课前请尽早到教材科购买物物理实验要求同学们使用规范的物理实验报告本，课前请尽早到教材科购买物理实验（上）讲义和报告本理实验（上）讲义和报告本。各班级学习委员请于第三周周三全天到逸夫馆各班级学习委员请于

5、第三周周三全天到逸夫馆205205找徐老师领取报告箱钥匙，押金找徐老师领取报告箱钥匙，押金1010元）。请同学们妥善保管实验报告箱钥元）。请同学们妥善保管实验报告箱钥匙，如有遗失需要赔偿。匙，如有遗失需要赔偿。IP地址：地址：5.5.物物理理实实验验分分为为实实验验预预习习、实实验验操操作作和和数数据据处处理理三三个个步步骤骤。实实验验中中心心要要求求同同学学们们认认真真做做好好预预习习和和实实验验。如如果果预预习习报报告告检检查查不不合合格格或或上上课课迟迟到到超超过过1010分分钟钟以以上上者者，将将取取消消实实验验资资格格；实实验验过过程程中中，应应保保持持安安静静的的实实验验环环境境。

6、做做完完实实验验，学学生生应应整整理理归归原原仪仪器器，将将桌桌子子和和凳凳子子收收拾拾整整齐齐，协协助助打打扫扫卫卫生生。经经教教师师审审查查测测量量数数据据和和仪仪器器情情况况并并签签字字后后，方方可可离离开开实实验验室室。实实验验室室将将坚坚决决杜杜绝绝实实验验替替做做行行为为，一一经经发发现现，立立即即取取消消本本人人及及替替做做者者本本学学期期所所有有实实验验项项目目的的实实验验资资格格，实实验验成成绩绩按按不不及及格格处处理理；课课堂堂上上抄抄袭袭实实验验数数据据和和课课后后结结果果分分析析报报告告抄抄袭袭数数据据的的同同学学，该该实实验验题题目为零分，并且禁止补做。目为零分，并且

7、禁止补做。6.6.每每周周实实验验报报告告须须下下周周一一16:0016:00前前送送交交相相关关实实验验教教师师报报告告箱箱，迟迟交交将将被被扣扣分分。教教师师要要在在下下周周五五下下午午17:0017:00之之前前返返回回报报告告。如如果果报报告告未未能能及及时时返返回回，请请同同学学们们在在学学生生意意见见反反馈馈信信息息本本中中及及时时通通知知实实验验中中心心，同同时时欢欢迎同学提出各种宝贵意见和建议。迎同学提出各种宝贵意见和建议。7.7.期期末末物物理理实实验验课课结结束束时时，各各班班学学委委须须收收集集本本班班所所有有实实验验报报告告本本，每每人人7 7个报告个报告装订成册送交物

8、理实验中心归档。装订成册送交物理实验中心归档。上一级上一级注意事项与课程安排注意事项与课程安排IP地址：地址：8.8.专专业业物物理理实实验验是是为为物物理理系系学学生生开开设设的的专专业业实实验验；预预备备性性物物理理实实验验和和创创新新物物理理实实验验都都是是物物理理实实验验室室为为面面对对全全院院工工科科学学生生开开设设的的一一门门1616学学时时1 1学学分分的的选选修修实实验验课课程程。开开设设预预备备性性物物理理实实验验的的主主要要目目的的是是针针对对当当前前各各地地中中学学物物理理实实验验的的重重视视程程度度、授授课课时时间间和和教教学学内内容容的的深深度度不不尽尽相相同同，因因

9、此此为为了了让让学学生生尽尽快快熟熟悉悉大大学学实实验验的的学学习习方方法法，提提高高动动手手能能力力，以以便便更更好好地地完完成成必必修修的的大大学学物物理理实实验验。可可以以选选修修的的预预备性物理实验题目如下：备性物理实验题目如下：上一级上一级预备性物理实验预备性物理实验2012-2013学年学年第第1学期学期用单摆测重力加速度用单摆测重力加速度固体密度测量固体密度测量电表的改装和校准电表的改装和校准用恒定电流场模拟静电场用恒定电流场模拟静电场电学元件伏安特性的测量电学元件伏安特性的测量逸夫科技馆逸夫科技馆注意事项与课程安排注意事项与课程安排IP地址：地址：上一级上一级联系方式联系方式网

10、址：网址：http:/http:/IP: IP: http:/59.73.151.11http:/59.73.151.11QQQQ群：群：8557996385579963IP地址：地址：每个实验的成绩给定：每个实验的成绩给定：v1.预习报告预习报告20分（没有预习报告或者不合格，不允分（没有预习报告或者不合格，不允许做实验，回答老师提问，教师酌情加分许做实验，回答老师提问，教师酌情加分1-5分）分）v2.实验操作过程报告实验操作过程报告 40分分v3.数据处理，误差分析，思考题数据处理，误差分析，思考题 40分分v4.抄袭实验数据一律零分。抄袭实验数据一律零分。v5.预习报告、过程报告若无教师

11、签字无效。预习报告、过程报告若无教师签字无效。IP地址：地址：绪论绪论物理实验的地位和作用物理实验的地位和作用1物理实验课的目的和任务物理实验课的目的和任务2上一级上一级IP地址：地址：v定义：定义：用人为的方法让自然现象再现，从而加以观察和用人为的方法让自然现象再现，从而加以观察和研究，这就是实验。研究，这就是实验。v物理学从本质上说是一门实验科学，物理规律的研究都物理学从本质上说是一门实验科学，物理规律的研究都以严格的实验事实为基础，并且不断受到实验的检验。以严格的实验事实为基础，并且不断受到实验的检验。v实验是人们认识自然和改造客观世界的基本手段。实验是人们认识自然和改造客观世界的基本手

12、段。v任何物理概念的确立，物理规律的发现，都必须以严格任何物理概念的确立，物理规律的发现，都必须以严格的科学实验为基础。物理实验的重要性，不仅表现在通的科学实验为基础。物理实验的重要性，不仅表现在通过实验发现物理定律，而且物理学中的每一项重要突破过实验发现物理定律，而且物理学中的每一项重要突破都与实验密切相关。都与实验密切相关。物理实验的地位和作用物理实验的地位和作用IP地址：地址：物理实验的地位和作用物理实验的地位和作用只是等到赫兹以实验证实了麦克斯韦电磁波的存在只是等到赫兹以实验证实了麦克斯韦电磁波的存在以后，对新理论的抵抗才被打垮。以后，对新理论的抵抗才被打垮。-爱因斯坦爱因斯坦爱因斯坦

13、爱因斯坦赫兹赫兹麦克斯韦麦克斯韦IP地址：地址：物理实验的地位和作用物理实验的地位和作用杨振宁杨振宁杨振宁、李政道在杨振宁、李政道在1956年提出年提出“基本粒子在弱相互作用下基本粒子在弱相互作用下的宇称不守恒的宇称不守恒”的理论，只有当实验物理学家吴健雄用的理论，只有当实验物理学家吴健雄用实实验验证验验证后，才被同行学者承认，从而才有可能于后，才被同行学者承认，从而才有可能于1957年获年获得诺贝尔奖。得诺贝尔奖。李政道李政道吴健雄吴健雄上一级上一级IP地址：地址：大学物理实验课的目的大学物理实验课的目的大学物理课的具体实验任务大学物理课的具体实验任务 上一级上一级物理实验课的目的和任务物理

14、实验课的目的和任务IP地址：地址：大学物理实验课的目的大学物理实验课的目的1 1通过对物理实验现象的观测和分析通过对物理实验现象的观测和分析, ,学习运用理论指导实学习运用理论指导实验、分析和解决实验中的问题和方法。从理论和实际的结验、分析和解决实验中的问题和方法。从理论和实际的结合上加深对理论的理解。合上加深对理论的理解。2 2培养学生从事科学实验的初步能力。通过实验阅读教材和培养学生从事科学实验的初步能力。通过实验阅读教材和资料，能概括出实验原理和方法的要点；正确使用基本实资料，能概括出实验原理和方法的要点；正确使用基本实验仪器，掌握基本物理量的测量方法和实验操作技能；正验仪器，掌握基本物

15、理量的测量方法和实验操作技能；正确记录和处理数据，分析实验结果和撰写实验报告；以及确记录和处理数据，分析实验结果和撰写实验报告；以及自行设计和完成不太复杂的实验任务等。自行设计和完成不太复杂的实验任务等。3 3培养学生实事求是的科学态度、严谨的工作作风，勇于探培养学生实事求是的科学态度、严谨的工作作风，勇于探索、坚韧不拔的钻研精神以及遵守纪律、团结协作、爱护索、坚韧不拔的钻研精神以及遵守纪律、团结协作、爱护公物的优良品德。公物的优良品德。上一级上一级IP地址：地址：大学物理课的具体实验任务大学物理课的具体实验任务1.通过对实验现象的观察、分析和对物理量的测量，学习物理实验通过对实验现象的观察、

16、分析和对物理量的测量，学习物理实验的基本知识、基本方法和基本技能，加深对物理概念和规律的认的基本知识、基本方法和基本技能，加深对物理概念和规律的认识、对物理学原理的理解，为后继课打下基础。识、对物理学原理的理解，为后继课打下基础。2.培养和提高学生的科学实验素养培养和提高学生的科学实验素养。3.培养学生组织有关中学物理教学、指导中学物理实验的基本能力。培养学生组织有关中学物理教学、指导中学物理实验的基本能力。物理实验课的进行程序大致可分为：提出问题，确定方案，选择物理实验课的进行程序大致可分为：提出问题，确定方案，选择仪器设备，安装调试，观察测量，记录数据，总结分析写出科学仪器设备，安装调试，

17、观察测量，记录数据，总结分析写出科学论文（实验报告）。每个实验环节都有一定的基本要求，基本技论文（实验报告）。每个实验环节都有一定的基本要求，基本技能训练，科学实验基本技能的训练贯穿于实验的全过程中，实验能训练，科学实验基本技能的训练贯穿于实验的全过程中，实验方法各自分散在不同的实验中。方法各自分散在不同的实验中。4.培养学生做好实验的能力培养学生做好实验的能力。上一级上一级IP地址：地址：实验报告内容具体要求实验报告内容具体要求实验名称实验名称表示做什么实验。表示做什么实验。实验目的实验目的说明为什么做这个实验，做该实验要达到什么目的。说明为什么做这个实验，做该实验要达到什么目的。实验仪器实

18、验仪器列出主要仪器的名称、型号、规格、精度等。列出主要仪器的名称、型号、规格、精度等。实验原理实验原理阐明实验的理论依据，写出待测量计算公式的简要推导阐明实验的理论依据，写出待测量计算公式的简要推导过程，画出有关的图（原理图或装置图），如电路图、光路图等。过程，画出有关的图（原理图或装置图），如电路图、光路图等。数据记录数据记录实验中所测得的原始数据要尽可能用表格的形式列出，实验中所测得的原始数据要尽可能用表格的形式列出，正确表示有效数字和单位。正确表示有效数字和单位。数据处理数据处理根据实验目的对实验结果进行计算或作图表示，并对测根据实验目的对实验结果进行计算或作图表示，并对测量结果进行评定

19、，计算不确定度，计算要写出主要的计算内容。量结果进行评定，计算不确定度，计算要写出主要的计算内容。实验结果实验结果扼要写出实验结论，要体现出测量数据、误差和单位。扼要写出实验结论，要体现出测量数据、误差和单位。问题讨论问题讨论讨论实验中观察到的异常现象及其可能的解释，分析实讨论实验中观察到的异常现象及其可能的解释，分析实验误差的主要来源，对实验仪器的选择和实验方法的改进提出建议，验误差的主要来源，对实验仪器的选择和实验方法的改进提出建议，简述自己做实验的心得体会，回答实验思考问题。简述自己做实验的心得体会，回答实验思考问题。上一级上一级IP地址：地址：误差分析与数据处理误差分析与数据处理上一级

20、上一级测量与误差测量与误差1测量结果的评定和不确定度测量结果的评定和不确定度2有效数字及其运算法则有效数字及其运算法则3数据处理数据处理4实例讲解实例讲解5IP地址：地址：测量与误差的基本内容测量与误差的基本内容上一级上一级 测量测量 测量分类测量分类 误差误差 系统误差与随机误差系统误差与随机误差IP地址：地址： 对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得出结论出结论（得出他们的倍数关系）（得出他们的倍数关系），

21、这个比较的过程就叫做，这个比较的过程就叫做测量测量。选。选来作为标准的同类量称之为来作为标准的同类量称之为单位单位，这个倍数关系称为，这个倍数关系称为测量数值测量数值，比，比较的结果记录下就成为较的结果记录下就成为实验数据实验数据。 例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果（进行比较而得出测量结果（同类比较同类比较）；物体运动速度的测定则必）；物体运动速度的测定则必须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得（获得（异类比较异

22、类比较）。）。 测量测量上一级上一级IP地址：地址：按照按照测量结果获得的方法测量结果获得的方法来分，可将测量分为来分，可将测量分为直接测量直接测量和和间接测量间接测量两类。两类。 直接测量直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。就是把待测量与标准量直接比较得出结果。 如用米尺测量物体的长度，用天平称量物体的质量，用电流表测量电流如用米尺测量物体的长度，用天平称量物体的质量，用电流表测量电流等，都是直接测量。等，都是直接测量。 间接测量间接测量就是借助函数关系由直接测量的结果计算出所谓的物理量。就是借助函数关系由直接测量的结果计算出所谓的物理量。 例如已知了路程和时间，根据速度、时间和路

23、程之间的关系求出的速度例如已知了路程和时间，根据速度、时间和路程之间的关系求出的速度就是间接测量。就是间接测量。根据根据测量条件测量条件来分，有来分，有等精度测量等精度测量和和非等精度测量非等精度测量。 等精度测量等精度测量是指在同一（相同）条件下进行的多次测量，如同一个人，是指在同一（相同）条件下进行的多次测量，如同一个人，用同一台仪器，每次测量时周围环境条件相同，等精度测量每次测量的可靠用同一台仪器，每次测量时周围环境条件相同，等精度测量每次测量的可靠程度相同。反之，若每次测量时的条件不同，或测量仪器改变，或测量方法、程度相同。反之，若每次测量时的条件不同，或测量仪器改变，或测量方法、条件

24、改变。这样所进行的一系列测量叫做条件改变。这样所进行的一系列测量叫做非等精度测量非等精度测量，非等精度测量的结，非等精度测量的结果，其可靠程度自然也不相同。果，其可靠程度自然也不相同。物理实验中大多采用等精度测量物理实验中大多采用等精度测量。应该指出：。应该指出：重复测量必须是重复进行测量的整个操作过程，而不是仅仅为重复读数。重复测量必须是重复进行测量的整个操作过程，而不是仅仅为重复读数。测量分类测量分类上一级上一级IP地址：地址：误差误差（一）（一） 误差的误差的表示方式表示方式有有绝对误差绝对误差和和相对误差相对误差之分。之分。 物理量在物理量在客观上有着确定的数值客观上有着确定的数值，称

25、为，称为真值真值。测量的目的测量的目的就是为了就是为了得到被测物理量所具有的客观真实数据，但由于受测量方法、测量仪器、得到被测物理量所具有的客观真实数据，但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，只能获得该物理量的近似测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，只能获得该物理量的近似值，也就是说，一个被测量值值，也就是说，一个被测量值N与真值与真值N0之间总是存在着这种差值，这种之间总是存在着这种差值，这种差值称为差值称为测量误差测量误差（简称（简称误差误差），即），即 N = N - N0 显然误差显然误差N有正负之分，因为它是指与真值的差值，常称为有正负之分，因为它是

26、指与真值的差值，常称为绝对误绝对误差差。 注意，绝对误差不是误差的绝对值！注意，绝对误差不是误差的绝对值！ 设某个物理量真值为设某个物理量真值为x0 ，进行，进行n 次等精度测量，测量值分别为次等精度测量，测量值分别为x1，x2，. . . xn，（测量过程无明显的系统误差）。它们的误差为，（测量过程无明显的系统误差）。它们的误差为 x1 = x1x0 x2 = x2 x0: : : : : : xn = xn x0IP地址：地址：误差误差（二）（二） 求和求和 即即 当测量次数当测量次数n，可以证明，可以证明实值实值。为了估计误差，定义测量值与近似真实值的差值为。为了估计误差，定义测量值与近

27、似真实值的差值为偏差偏差： 而且而且 是是x0 的最佳估计值，称的最佳估计值，称为测量值的为测量值的近似真近似真 即即 该该偏差偏差又叫做又叫做“残差残差”。IP地址：地址：误差误差（三）（三） 绝对误差与真值之比的百分数叫做绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差相对误差。 即即 由于真值无法知道，所以计算相对误差时常用近似真实值由于真值无法知道，所以计算相对误差时常用近似真实值N代替代替真值真值N0 。在这种情况下，。在这种情况下，N可能是公认值，或高一级精密仪器的测可能是公认值，或高一级精密仪器的测量值，或测量值的平均值。相对误差用来表示测量的相对精确度，量值，或测量值的平均值。相对误差用

28、来表示测量的相对精确度，相对误差用百分数表示，保留两位小数。相对误差用百分数表示，保留两位小数。 根据误差的性质和产生的原因，可分为根据误差的性质和产生的原因，可分为系统误差系统误差和和随机误差随机误差。上一级上一级IP地址：地址：系统误差与随机误差系统误差与随机误差系统误差系统误差随机误差随机误差系统误差定义与来源系统误差定义与来源系统误差处理办法系统误差处理办法随机误差的定义随机误差的定义随机误差的特点随机误差的特点随机误差的来源与处理方法随机误差的来源与处理方法标准偏差标准偏差精密度、准确度和精确度精密度、准确度和精确度课堂提问课堂提问上一级上一级IP地址：地址：系统误差定义与来源系统误

29、差定义与来源定义定义： 系统误差系统误差是指在同一被测量得多次测量过程中保持恒定或以是指在同一被测量得多次测量过程中保持恒定或以可预知可预知方方式变化的测量误差的分量。系统误差的式变化的测量误差的分量。系统误差的特征特征是具有一定的规律性。是具有一定的规律性。来源来源： 仪器误差。它是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造仪器误差。它是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的误差；成的误差； 理论误差。它是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条理论误差。它是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或测量方法等所带来的误差；件不能达

30、到理论公式所规定的要求，或测量方法等所带来的误差； 观测误差。它是由于观测者本人生理或心理特点造成的误差。观测误差。它是由于观测者本人生理或心理特点造成的误差。 环境条件。在测量过程中，若环境温度升高或降低，使测量值按一定环境条件。在测量过程中，若环境温度升高或降低，使测量值按一定规律变化，是由于环境因素变化引起的误差。规律变化，是由于环境因素变化引起的误差。举例：举例： 用落球法测量重力加速度，由于空气阻力的影响，多次测量的结果总用落球法测量重力加速度，由于空气阻力的影响，多次测量的结果总是偏小，这是是偏小，这是测量方法测量方法不完善和不完善和环境条件环境条件造成的误差；造成的误差； 用停表

31、测量运动物体通过某一段路程所需要的时间，若停表走时太快，用停表测量运动物体通过某一段路程所需要的时间，若停表走时太快，即使测量多次，测量的时间即使测量多次，测量的时间t t总是偏大为一个固定的数值，这是总是偏大为一个固定的数值，这是仪器不准仪器不准确确造成的误差。造成的误差。 上一级上一级IP地址：地址：系统误差处理办法系统误差处理办法 在任何一项实验工作和具体测量中，必须要想尽一切办法，最大限度在任何一项实验工作和具体测量中，必须要想尽一切办法，最大限度的消除或减小一切可能存在的系统误差，或者对测量结果进行修正。发现的消除或减小一切可能存在的系统误差，或者对测量结果进行修正。发现系统误差需要

32、改变实验条件和实验方法，反复进行对比，系统误差的消除系统误差需要改变实验条件和实验方法，反复进行对比，系统误差的消除或减小是比较复杂的一个问题，没有固定不变的方法，要具体问题具体分或减小是比较复杂的一个问题，没有固定不变的方法，要具体问题具体分析各个击破。产生系统误差的原因可能不止一个，一般应找出影响的主要析各个击破。产生系统误差的原因可能不止一个，一般应找出影响的主要因素，有针对性地消除或减小系统误差。因素，有针对性地消除或减小系统误差。 以下介绍几种常用的方法：以下介绍几种常用的方法： 检定修正法检定修正法：指将仪器、量具送计量部门检验取得修正值，以便对某：指将仪器、量具送计量部门检验取得

33、修正值，以便对某一物理量测量后进行修正的一种方法。一物理量测量后进行修正的一种方法。 替代法替代法：指测量装置测定待测量后，在测量条件不变的情况下，用一：指测量装置测定待测量后，在测量条件不变的情况下，用一个已知标准量替换被测量来减小系统误差的一种方法。如消除天平的两臂个已知标准量替换被测量来减小系统误差的一种方法。如消除天平的两臂不等对待测量的影响可用此办法。不等对待测量的影响可用此办法。 异号法异号法：指对实验时在两次测量中出现符号相反的误差，采取平均值：指对实验时在两次测量中出现符号相反的误差，采取平均值后消除的一种方法。后消除的一种方法。 例如，例如，螺旋测微计的制造有空程，使用时，右

34、旋测量螺旋测微计的制造有空程，使用时，右旋测量L1=L0+L，左，左旋测量旋测量L2=L0-L，以后以两次测量平均值作结果，则抵消掉空程，以后以两次测量平均值作结果，则抵消掉空程L。上一级上一级IP地址：地址：随机误差的定义随机误差的定义定义定义： 在实际测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值符号的变化，在实际测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值符号的变化，时大时小、时正时负，以不可预定方式变化着的误差叫做时大时小、时正时负，以不可预定方式变化着的误差叫做随机误差随机误差，有时，有时也叫也叫偶然误差偶然误差。 随机误差的出现就某一测量值来说是没有规律的，其大小和方向都是随机误差的出现

35、就某一测量值来说是没有规律的，其大小和方向都是不可预知不可预知的，但对一个量进行足够多次测量，则发现它们的随机误差是按的，但对一个量进行足够多次测量，则发现它们的随机误差是按一定的统计规律分布的，即一定的统计规律分布的，即正态分布（正态分布（GaussGauss分布）规律分布）规律。上一级上一级f f（ x x）：表示测量误差）：表示测量误差）：表示测量误差）：表示测量误差 x x出现的概率；出现的概率；出现的概率；出现的概率； x x ：表示测量误差（测量值与真值之差）；：表示测量误差（测量值与真值之差）；：表示测量误差（测量值与真值之差）；：表示测量误差（测量值与真值之差）； ：即单次测量

36、的标准偏差。：即单次测量的标准偏差。：即单次测量的标准偏差。：即单次测量的标准偏差。随机误差的正态分布函数：随机误差的正态分布函数：IP地址：地址：随机误差的特点随机误差的特点特点特点： 绝对值小的误差出现的概率比绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大（绝对值大的误差出现的概率大（单单峰性峰性）；）； 绝对值相等的正负误差出现的绝对值相等的正负误差出现的概率相同（概率相同（对称性对称性）；）；绝对值很大的误差出现的概率绝对值很大的误差出现的概率趋于零（趋于零（有界性有界性）；）； 误差的算术平均值随着测量次误差的算术平均值随着测量次数的增加而趋于零（数的增加而趋于零（抵偿性抵偿性

37、）。因）。因此，增加测量次数可以减小随机误此，增加测量次数可以减小随机误差，但不能完全消除。差，但不能完全消除。上一级上一级IP地址：地址：随机误差的来源与处理方法随机误差的来源与处理方法来源：来源： 实验中各种因素的微小变动引起的。实验中各种因素的微小变动引起的。 实验装置和测量机构在各次调整操作上的变动性；实验装置和测量机构在各次调整操作上的变动性； 测量仪器指示数值的变动性，以及观测者本人在判断和估计测量仪器指示数值的变动性，以及观测者本人在判断和估计读数上的变动性；读数上的变动性； 测量环境扰动变化以及其他不能预测不能控制的因素，如空测量环境扰动变化以及其他不能预测不能控制的因素，如空

38、间电磁场的干扰，电源电压波动引起测量的变化等。间电磁场的干扰，电源电压波动引起测量的变化等。处理方法：处理方法： 在多次测量时，正负随机误差在多次测量时，正负随机误差 可以大致相消，因而用可以大致相消，因而用多次多次 测量的算术平均值测量的算术平均值表示测量结果可以减小随机误差的影响；表示测量结果可以减小随机误差的影响； 测量值的分散程度直接体现随机误差的大小。可以用测量值的分散程度直接体现随机误差的大小。可以用标准偏标准偏差差Sx 来表示测量的随机偏差和一列测量值的分散性与精密度。来表示测量的随机偏差和一列测量值的分散性与精密度。上一级上一级IP地址：地址：标准偏差标准偏差上一级上一级定义：

39、定义： 把把n个残差求平方和，除以个残差求平方和，除以n-1再开方，就叫做一列测量中单次测量的再开方，就叫做一列测量中单次测量的标准标准偏差偏差Sx 。贝塞尔贝塞尔(Bessel)(Bessel)公式公式 ：意义：意义：小小大大 大量的测量误差分布服从正态分布函数大量的测量误差分布服从正态分布函数大量的测量误差分布服从正态分布函数大量的测量误差分布服从正态分布函数大量的测量误差分布服从正态分布函数大量的测量误差分布服从正态分布函数f( f(f(x)x)x)。 ( (即即即即即即Sx )Sx )Sx )可以表示测量值偏离真值大小的程度。可以表示测量值偏离真值大小的程度。可以表示测量值偏离真值大小

40、的程度。可以表示测量值偏离真值大小的程度。可以表示测量值偏离真值大小的程度。可以表示测量值偏离真值大小的程度。测量误差在测量误差在测量误差在测量误差在测量误差在测量误差在(- (-(- , +, +, + ) )内的概率为内的概率为内的概率为内的概率为内的概率为内的概率为68.3%68.3%68.3%；测量误差在测量误差在测量误差在测量误差在测量误差在测量误差在(-2 (-2 (-2 , , , +2+2+2 ) )内的概率为内的概率为内的概率为内的概率为内的概率为内的概率为95.4%95.4%95.4%95.4%95.4%95.4%；测量误差在测量误差在测量误差在测量误差在测量误差在测量误差

41、在(-3 (-3 (-3 , +3, +3, +3 ) )内的概率为内的概率为内的概率为内的概率为内的概率为内的概率为99.7%99.7%99.7%。 IP地址：地址：精密度、准确度和精确度精密度、准确度和精确度精密度精密度( precision )( precision )：概念概念：重复测量时，测量结果的分散性：重复测量时，测量结果的分散性表述表述：随机误差的标准偏差：随机误差的标准偏差 ( standard deviation )( standard deviation )准确度：准确度：性质性质：测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度：测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度

42、表述表述：平均值与真值的偏差：平均值与真值的偏差 ( deviation )( deviation )精确度精确度( ( 正确度正确度) )：性质性质：系统误差和随机误差的综合影响程度：系统误差和随机误差的综合影响程度表述表述：不确定度：不确定度 ( uncertainty )( uncertainty )工程表示工程表示：仪器精度。最大允许误差相对于仪表测量范围的百分数：仪器精度。最大允许误差相对于仪表测量范围的百分数：共分共分0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0 七级。七级。IP地址：地址：精

43、密度、准确度和精确度精密度、准确度和精确度的举例分析的举例分析上一级上一级不精密（随机误差大）不精密（随机误差大） 准确（系统误差小）准确（系统误差小） 精密（随机误差小）精密（随机误差小）不准确（系统误差大不准确（系统误差大）不精密（随机误差大）不精密（随机误差大）不准确（系统误差大）不准确（系统误差大）精密（随机误差小）精密（随机误差小）准确（系统误差小）准确（系统误差小） 以以打打靶靶为为例例来来比比较较说说明明精精密密度度、准准确确度度、精精确确度度三三者者之之间间的的关关系系。图中靶心为射击目标，相当于图中靶心为射击目标，相当于真值真值，每次，每次测量测量相当于一次射击。相当于一次射

44、击。IP地址：地址：课堂提问课堂提问上一级上一级判别下列几种情况产生的误差属于何种误差？判别下列几种情况产生的误差属于何种误差？判别下列几种情况产生的误差属于何种误差？判别下列几种情况产生的误差属于何种误差？1. 1. 1. 1. 米尺的分度不准；米尺的分度不准；米尺的分度不准；米尺的分度不准；2. 2. 2. 2. 视差；视差；视差；视差；3. 3. 3. 3. 水银温度计毛细管不均匀；水银温度计毛细管不均匀；水银温度计毛细管不均匀；水银温度计毛细管不均匀；4. 4. 4. 4. 游标卡尺或外径千分尺零点不准；游标卡尺或外径千分尺零点不准；游标卡尺或外径千分尺零点不准；游标卡尺或外径千分尺零

45、点不准；5. 5. 5. 5. 电表接入被测电路所引起的误差；电表接入被测电路所引起的误差；电表接入被测电路所引起的误差；电表接入被测电路所引起的误差；6. 6. 6. 6. 天平横梁不等臂；天平横梁不等臂；天平横梁不等臂；天平横梁不等臂； IP地址：地址：测量结果的评定和不确定度测量结果的评定和不确定度上一级上一级不确定度的分类不确定度的分类直接测量结果的表示和总不确定度的估计直接测量结果的表示和总不确定度的估计测量结果的完整表示测量结果的完整表示不确定度的定义不确定度的定义不确定度的分类不确定度的分类间接测量结果的表示和不确定度的合成间接测量结果的表示和不确定度的合成直接测量结果的表示直接

46、测量结果的表示总不确定度的估计总不确定度的估计间接测量量与直接测量量的关系间接测量量与直接测量量的关系间接测量结果的表示间接测量结果的表示间接测量量的不确定度的合成间接测量量的不确定度的合成IP地址：地址：不确定度的分类不确定度的分类( (一一) )1.1.测量结果的完整表示：测量结果的完整表示： X0，X0被测值；被测值； 总不确定度，总不确定度，该式表该式表示真值在示真值在(x0, x0+)范围之外的可能性或概率很小。范围之外的可能性或概率很小。2.2.不确定度的定义：不确定度的定义： 是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，是表示被测是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的

47、程度，是表示被测量的真值所处的量值范围的评定。量的真值所处的量值范围的评定。与误差的区别：与误差的区别： 误差误差(例如，例如，x2-)有正负，表有正负，表示测量结果与真值或近似真实值之示测量结果与真值或近似真实值之间的差值；间的差值； 不确定度不确定度(例如，例如，)是非负是非负的，它表示的，它表示以测量结果作为被测量以测量结果作为被测量以测量结果作为被测量以测量结果作为被测量真值的估计值时可能存在误差的范真值的估计值时可能存在误差的范真值的估计值时可能存在误差的范真值的估计值时可能存在误差的范围，并且在这个范围内以一定的概围，并且在这个范围内以一定的概围，并且在这个范围内以一定的概围，并且

48、在这个范围内以一定的概率包含真值。率包含真值。率包含真值。率包含真值。上一级上一级IP地址：地址：不确定度的分类不确定度的分类( (二二) )上一级上一级3.3.不确定度的分类不确定度的分类: : 参考国际计量委员会通过的参考国际计量委员会通过的BIMPBIMP实验不确定度的说明实验不确定度的说明 建议书建议书INC-1(1980)INC-1(1980)的精神，普通物理实验的测量结果表示的精神，普通物理实验的测量结果表示中，总不确定度中，总不确定度从估计方法上可分为以下两类。从估计方法上可分为以下两类。A A类分量（类分量（A A）： 多次重复测量用统计方法计算出的分量多次重复测量用统计方法计

49、算出的分量 ( (这类不确定度服这类不确定度服从正态分布规律，即具有随机误差的性质从正态分布规律，即具有随机误差的性质) )。B B类分量（类分量（B B）： 是指用非统计方法求出或评定的不确定度（这类不确定度是指用非统计方法求出或评定的不确定度（这类不确定度具有系统误差的性质）。具有系统误差的性质）。IP地址：地址：直接测量结果的表示和总不确定度的估计（一）直接测量结果的表示和总不确定度的估计（一）上一级上一级1.1.直接测量结果的表示：直接测量结果的表示： 直接测量时被测量的量值直接测量时被测量的量值x0一般取多次测量的平均值一般取多次测量的平均值 ； 若实验中有时只能测一次或只需测一次，

50、就去该次测量值。若实验中有时只能测一次或只需测一次，就去该次测量值。 最后表示直接测量结果中被测量的最后表示直接测量结果中被测量的x0时，通常还必须将已定系统误时，通常还必须将已定系统误差分量（即绝对值和符号都已确定的已可估算出的误差分量）从平均值差分量（即绝对值和符号都已确定的已可估算出的误差分量）从平均值或一次测量值中减去，以求得或一次测量值中减去，以求得x0 ，即对已定系统误差分量进行修正。，即对已定系统误差分量进行修正。 例如例如: 螺旋测微计的零点修正螺旋测微计的零点修正; 伏安法测电阻中电表内阻影响的修正伏安法测电阻中电表内阻影响的修正; IP地址：地址：直接测量结果的表示和总不确

51、定度的估计（二）直接测量结果的表示和总不确定度的估计（二）上一级上一级2.2.总不确定度的估计：总不确定度的估计： 只要测量次数只要测量次数n5，A=Sx 。因为当。因为当B可以忽略不计时，可以简可以忽略不计时，可以简化为化为= A=Sx ，这时被测量的真值落在，这时被测量的真值落在x0Sx 范围内的可能性（概率）范围内的可能性（概率）已经大于或接近已经大于或接近95%； 在大多数情况下，普通物理实验中把仪器误差在大多数情况下，普通物理实验中把仪器误差仪仪简化地直接当作简化地直接当作总不确定度中的分量总不确定度中的分量B 。 于是有直接测量的不确定度一般为：于是有直接测量的不确定度一般为： 如

52、果因条件受限制而进行了一次测量时，如果因条件受限制而进行了一次测量时， 可简单地用仪器的误可简单地用仪器的误差差仪仪来表示。来表示。IP地址：地址：间接测量结果的表示和不确定度的合成间接测量结果的表示和不确定度的合成( (一一) )间接测量量值间接测量量值直接测量量值直接测量量值各直接测量量的结果分别表示为各直接测量量的结果分别表示为1.1.间接测量量与直接测量量的关系间接测量量与直接测量量的关系上一级上一级IP地址：地址：2.2.间接测量结果的表示：间接测量结果的表示： 若将各个直接测量量的近似真实值代入函数表达式中，即可得到间接若将各个直接测量量的近似真实值代入函数表达式中，即可得到间接测

53、量的近似真实值。测量的近似真实值。间接测量结果的表示和不确定度的合成间接测量结果的表示和不确定度的合成( (二二) )3.3.间接测量量的不确定度的合成：间接测量量的不确定度的合成： 由于不确定度均为微小量，相似于数学中的微小增量，对函数式由于不确定度均为微小量，相似于数学中的微小增量，对函数式F F（x , y , z , . . . ）求全微分，即得求全微分，即得 上式中上式中d , dx , dy , dz , , 均为微小量，代表各变量的微小变化，均为微小量，代表各变量的微小变化，d的变化由各自变量的变化决定。的变化由各自变量的变化决定。 上一级上一级IP地址：地址：间接测量结果的表示

54、和不确定度的合成间接测量结果的表示和不确定度的合成( (三三) ) 将前面全微分式中的微分符号将前面全微分式中的微分符号d d 改写为不确定度符号改写为不确定度符号，并将微，并将微分式中的各项求分式中的各项求“方和根方和根”，即为间接测量的合成不确定度。，即为间接测量的合成不确定度。 当间接测量的函数表达式为当间接测量的函数表达式为积积或或商商（或含和差的（或含和差的积商积商形式）的形形式）的形式时，为了使运算简便起见，可以先将函数式式时，为了使运算简便起见，可以先将函数式F F（x , y , z , . . . ）两边同时取自然对数，然后再求全微分。两边同时取自然对数，然后再求全微分。 和

55、差和差 IP地址：地址： 同样改写微分符号同样改写微分符号d d为不确定度符号为不确定度符号，再求其，再求其“方和根方和根”，即，即为间接测量的相对不确定度。为间接测量的相对不确定度。间接测量结果的表示和不确定度的合成间接测量结果的表示和不确定度的合成( (四四) ) 积商积商 在一些简单的测量问题中，也可采用绝对值合成的方法，即在一些简单的测量问题中，也可采用绝对值合成的方法，即 和差和差 积商积商 上一级上一级IP地址：地址：有效数字及其运算法则的基本内容有效数字及其运算法则的基本内容定义定义有效数字的记录有效数字的记录有效数字的运算法则有效数字的运算法则上一级上一级IP地址：地址：有效数

56、字及其运算法则（一）有效数字及其运算法则（一） 有效数字准确数字有效数字准确数字+存疑一位数字存疑一位数字1.1.定义：定义：例如：例如： 若用最小分度值为若用最小分度值为1mm的米尺测量物体的长度，读数值为的米尺测量物体的长度，读数值为5.63cm。其中其中5和和6这两个数字是从米尺的刻度上准确读出的，可以认为是准确这两个数字是从米尺的刻度上准确读出的，可以认为是准确的，叫做的，叫做准确数字准确数字（也可称（也可称可靠数字可靠数字）。末尾数字）。末尾数字3是在米尺最小分是在米尺最小分度值的下一位上估计出来的，是不准确的，叫做度值的下一位上估计出来的，是不准确的，叫做存疑数字存疑数字（也可称（

57、也可称欠欠准数字准数字）。）。 虽然是欠准可疑，但不是无中生有，而是有根有据有意义的，显虽然是欠准可疑，但不是无中生有，而是有根有据有意义的，显然有一位欠准数字，就使测量值更接近真实值，更能反映客观实际。然有一位欠准数字，就使测量值更接近真实值，更能反映客观实际。因此，测量值应当保留到这一位是合理的，因此，测量值应当保留到这一位是合理的，即使估计数是即使估计数是0，也不能，也不能舍去。舍去。 IP地址：地址：上一级上一级有效数字及其运算法则（二）有效数字及其运算法则（二） 有效数字位数的多少，直接反映实验测量的准确度。有效数字位有效数字位数的多少，直接反映实验测量的准确度。有效数字位数越多，测

58、量的准确度就越高。数越多，测量的准确度就越高。例如例如 用不同精度的量具测量同一物体的厚度时，用不同精度的量具测量同一物体的厚度时， 用钢尺测量用钢尺测量 d=6.2 mm，仪器误差，仪器误差 0.3mm，相对误差，相对误差E=0.3/6.2=4.8% ; 用用50分度的游标卡尺测量分度的游标卡尺测量d=6.36mm，仪器误差，仪器误差0.02mm，E=0.02/6.36=0.31% ; 用螺旋测微计测量用螺旋测微计测量d=6.347mm，仪器误差，仪器误差0.004mm，E=0.004/6.347=0.063% 。 由此可见，有效数字多一位，相对误差由此可见，有效数字多一位，相对误差E差不多

59、要小一个数量差不多要小一个数量级。因此，取几位有效数字是件严肃的事情，不能任意取舍！级。因此，取几位有效数字是件严肃的事情，不能任意取舍！IP地址：地址：有效数字及其运算法则（三）有效数字及其运算法则（三）2.2.有效数字的记录：有效数字的记录：(1) 有效数字的位数与小数点位置无关，单位改变时，有效数字的位有效数字的位数与小数点位置无关，单位改变时，有效数字的位数不应发生变化。数不应发生变化。(2) 为表示方便，特别是对较大和较小的数值，常用为表示方便，特别是对较大和较小的数值，常用10n的形式（的形式（n为一正整数），这样可避免有效数字写错，也便于识别和记忆，这种为一正整数），这样可避免有

60、效数字写错，也便于识别和记忆，这种表示方法叫做科学记数法。用这种方法记数时，通常在小数点前只写表示方法叫做科学记数法。用这种方法记数时，通常在小数点前只写一位数字，例如，地球的平均半径一位数字，例如，地球的平均半径6371 km可写作可写作6.371 106 m，表明，表明有四位有效数字。有四位有效数字。(3) 表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数一般要取表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数一般要取齐。普通物理实验中不确定度一般取一位至两位就可以了，当不确定齐。普通物理实验中不确定度一般取一位至两位就可以了，当不确定度的第一位数比较小（例如或）时，经常取两位，否则一般取

61、一度的第一位数比较小（例如或）时，经常取两位，否则一般取一位。位。(4) 相对误差一般取两位数。相对误差一般取两位数。上一级上一级IP地址：地址：有效数字及其运算法则（四）有效数字及其运算法则（四）. .有效数字的运算法则：有效数字的运算法则：(1) 在计算过程中，对中间运算结果适当多保留几位，以在计算过程中，对中间运算结果适当多保留几位，以免因过多截取带来附加误差。免因过多截取带来附加误差。(2) 若干个数进行加法或减法运算，其和或者差的结果的若干个数进行加法或减法运算，其和或者差的结果的存疑数字的位置与参与运算各个量中的存疑数字的位置最存疑数字的位置与参与运算各个量中的存疑数字的位置最高者

62、相同。高者相同。例如例如 478.2+3.462=481.662=481.7 49.27-3.4=45.87=45.9推论（）推论（） 若干个直接测量值进行加法或减法计算时，选用精度若干个直接测量值进行加法或减法计算时，选用精度相同的仪器最为合理。相同的仪器最为合理。IP地址：地址：有效数字及其运算法则（五）有效数字及其运算法则（五）(3) 用有效数字进行乘法或除法运算时，乘积或商的结果用有效数字进行乘法或除法运算时，乘积或商的结果的有效数字的位数与参与运算的各个量中有效数字的位数的有效数字的位数与参与运算的各个量中有效数字的位数最少者相同。最少者相同。例如例如 834.523.9=19944

63、.55=1.99104 2569.419.5=131.7641=132推论（推论（2 2） 测量的若干个量，若是进行乘法除法运算，应按照有测量的若干个量，若是进行乘法除法运算，应按照有效位数相同的原则来选择不同精度的仪器。效位数相同的原则来选择不同精度的仪器。(4) 乘方和开方运算的有效数字的位数与其底数的有效数乘方和开方运算的有效数字的位数与其底数的有效数字的位数相同。字的位数相同。例如例如 (7.325)2 = 53.66IP地址：地址：有效数字及其运算法则（六）有效数字及其运算法则（六）(5) 有效数字的修约遵循有效数字的修约遵循“四舍六入五凑偶四舍六入五凑偶”的原则。的原则。4，四舍四

64、舍，不进位。，不进位。6，六入六入，进位。，进位。若若5后有不为后有不为0的数字，进位。的数字，进位。5若若5后全为后全为0，凑偶凑偶前一位是奇数，则进位。前一位是奇数，则进位。前一位是偶数，不进位；前一位是偶数，不进位；上一级上一级IP地址：地址：数据处理的基本内容数据处理的基本内容上一级上一级列表法列表法用作图法处理实验数据用作图法处理实验数据实验数据的直线拟合实验数据的直线拟合 逐差法逐差法IP地址：地址：列表法列表法上一级上一级列表法是列表法是记录数据记录数据的基本方法。的基本方法。设计记录表格要求：设计记录表格要求：1列表要简单明了，利于记录、运算处理数据和检查处理结果，便列表要简单

65、明了，利于记录、运算处理数据和检查处理结果，便于一目了然地看出有关量之间的关系。于一目了然地看出有关量之间的关系。2列表要标明符号所代表的物理量的意义。表中各栏中的物理量都列表要标明符号所代表的物理量的意义。表中各栏中的物理量都要用符号标明，并写出数据所代表物理量的单位及量值的数量级要交要用符号标明，并写出数据所代表物理量的单位及量值的数量级要交代清楚。单位写在符号标题栏，不要重复记在各个数值上。代清楚。单位写在符号标题栏，不要重复记在各个数值上。3列表的形式不限，根据具体情况，决定列出哪些项目。有些个别列表的形式不限，根据具体情况，决定列出哪些项目。有些个别与其它项目联系不大的数可以不列入表

66、内。列入表中的除原始数据外，与其它项目联系不大的数可以不列入表内。列入表中的除原始数据外，计算过程中的一些中间结果和最后结果也可以列入表中。计算过程中的一些中间结果和最后结果也可以列入表中。4表格记录的测量值和测量偏差，应正确反映所用仪器的精度，即表格记录的测量值和测量偏差，应正确反映所用仪器的精度，即正确反映测量结果的有效数字。一般记录表格还有序号和名称。正确反映测量结果的有效数字。一般记录表格还有序号和名称。IP地址：地址：用作图法处理实验数据（一）用作图法处理实验数据（一）定义：定义： 在现有的坐标纸上用图形描述各物理量之间的关系，将实验数据在现有的坐标纸上用图形描述各物理量之间的关系，

67、将实验数据用几何图形表示出来，这就叫做用几何图形表示出来，这就叫做作图法作图法。作图规则：作图规则：（1）作图一定选择合适的）作图一定选择合适的坐标纸坐标纸。当决定了作图的参量以后，根据。当决定了作图的参量以后，根据函数关系选用直角坐标纸，单对数坐标纸，双对数坐标纸，极坐标纸函数关系选用直角坐标纸，单对数坐标纸，双对数坐标纸，极坐标纸等，本书主要采用直角坐标纸。等，本书主要采用直角坐标纸。直角坐标纸直角坐标纸直角坐标纸直角坐标纸单对数坐标纸单对数坐标纸单对数坐标纸单对数坐标纸双对数坐标纸双对数坐标纸双对数坐标纸双对数坐标纸极坐标纸极坐标纸极坐标纸极坐标纸IP地址：地址：用作图法处理实验数据（二

68、）用作图法处理实验数据（二）（2）选择合适的坐标分度值。要反映出测量值的有效数字。坐标纸）选择合适的坐标分度值。要反映出测量值的有效数字。坐标纸的大小及坐标轴的比例应当根据所测得的有效数字和结果的需要来确的大小及坐标轴的比例应当根据所测得的有效数字和结果的需要来确定，原则上数据中的准确数字在图中应当标出。数据中的存疑数字在定，原则上数据中的准确数字在图中应当标出。数据中的存疑数字在图中应当是估计的，要适当选择图中应当是估计的，要适当选择X轴和轴和Y 轴的比例和坐标比例，使所轴的比例和坐标比例，使所绘制的图形充分占用图纸空间，不要缩在一边或一角；坐标轴比例的绘制的图形充分占用图纸空间，不要缩在一

69、边或一角；坐标轴比例的选取一般间隔选取一般间隔1,2,5,10等。这便于读数或计算，除特殊需要外，数值的等。这便于读数或计算，除特殊需要外，数值的起点一般不必从零开始，起点一般不必从零开始，X轴和轴和Y 轴的比例可以采用不同的比例，使轴的比例可以采用不同的比例，使作出的图形大体上能充满整个坐标纸，图形布局美观、合理。作出的图形大体上能充满整个坐标纸，图形布局美观、合理。（3）标明坐标轴。对直角坐标系，一般是自变量为横轴，因变量为）标明坐标轴。对直角坐标系，一般是自变量为横轴，因变量为纵轴，采用粗实线描出坐标轴，并用箭头表示出方向，注明所示物理纵轴，采用粗实线描出坐标轴，并用箭头表示出方向，注明

70、所示物理量的名称，单位。坐标轴上表明所用测量仪器的最小分度值，并要注量的名称，单位。坐标轴上表明所用测量仪器的最小分度值，并要注意有效位数。意有效位数。（4）标实验点。根据测量数据，用直尺和笔尖使其函数对应的实验）标实验点。根据测量数据，用直尺和笔尖使其函数对应的实验点准确地落在相应的位置，一张图纸上画上几条实验曲线时。每条图点准确地落在相应的位置，一张图纸上画上几条实验曲线时。每条图线应用不同的标记如线应用不同的标记如用用“”、 “”、“ ”或或“”等符号标出，等符号标出，以免混淆。以免混淆。IP地址：地址：用作图法处理实验数据（三）用作图法处理实验数据（三）（5）连线。根据不同函数关系对应

71、的实验数据点分布，把点连成直线或光滑）连线。根据不同函数关系对应的实验数据点分布，把点连成直线或光滑的曲线或折线，连线必须用直尺或曲线板，如校准曲线中的数据点必须连成折的曲线或折线，连线必须用直尺或曲线板，如校准曲线中的数据点必须连成折线。由于每个实验数据都有一定的误差，所以将实验数据点连成直线或光滑曲线。由于每个实验数据都有一定的误差，所以将实验数据点连成直线或光滑曲线时，绘制的图线不一定通过所有的点，而是使数据点均匀分布在图线的两侧，线时，绘制的图线不一定通过所有的点，而是使数据点均匀分布在图线的两侧，尽可能使直线两侧所有点到直线的距离之和最小并且接近相等，有个别偏离很尽可能使直线两侧所有

72、点到直线的距离之和最小并且接近相等，有个别偏离很大的点应当应用异常数据的剔除中介绍的方法进行分析后决定是否舍去，原始大的点应当应用异常数据的剔除中介绍的方法进行分析后决定是否舍去，原始数据点应保留在图中。在确信两物理量之间的关系是线性的，或所绘的实验点数据点应保留在图中。在确信两物理量之间的关系是线性的，或所绘的实验点都在某一直线附近时，将实验点连成一直线。都在某一直线附近时，将实验点连成一直线。（6）写图名。作完图后，在图纸下方或空白的明显位置处，写上图的名称、）写图名。作完图后，在图纸下方或空白的明显位置处，写上图的名称、作者和作图日期，有时还要附上简单的说明，如实验条件、从图线上得到的某

73、作者和作图日期，有时还要附上简单的说明，如实验条件、从图线上得到的某些参数等，使读者一目了然。作图时，一般将纵轴代表的物理量写在前面，横些参数等，使读者一目了然。作图时，一般将纵轴代表的物理量写在前面，横轴代表的物理量写在后面，中间用轴代表的物理量写在后面，中间用 “”联接。联接。（7）最后将图纸贴在实验报告的适当位置，便于教师批阅实验报告。）最后将图纸贴在实验报告的适当位置，便于教师批阅实验报告。请参考请参考“作图法处理实验数据的实例归纳作图法处理实验数据的实例归纳”上一级上一级IP地址：地址：用作图法处理实验数据（例）用作图法处理实验数据（例）I (mA)U (V)0 02.008.004

74、.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取不当。横轴坐标分度选取不当。横轴以横轴以3 cm 代表代表1 V，使作使作图和读图都图和读图都很困难很困难。实际在。实际在选择坐标分度值时，应既满选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以图和读图，一般以1 mm 代代表的量值是表的量值是10的整数次幂或的整数次幂或是其是其2倍或倍或5倍。倍。错误图例错误图例IP地址：地址：I (mA)U (V)o o1.002.003.004.008.004.0

75、020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特性曲线改正图例改正图例用作图法处理实验数据（例）用作图法处理实验数据（例）上一级上一级IP地址：地址：I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上不为实验点的由图上不为实验点的A、B两点可得被测电阻两点可得被测电阻R为：为：计算斜率计算斜率电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特

76、性曲线用作图法处理实验数据（例）用作图法处理实验数据（例）上一级上一级IP地址：地址：n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图曲线太粗，不均匀，不曲线太粗，不均匀，不光滑光滑。应该用直尺、曲线板等应该用直尺、曲线板等工具把实验点工具把实验点连成光滑、连成光滑、均匀的细实线均匀的细实线。错误图例错误图例用作图法处理实验数据（例）用作图法处理实验数据（例）IP地址：地址：n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0

77、400.0玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图改正图例改正图例用作图法处理实验数据（例）用作图法处理实验数据（例）上一级上一级IP地址：地址：定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.20001.60000.80000.4000P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不图纸使用不当当。实际作。实际作图时，图时，坐标坐标原点的读数原点的读数可以不从可以不从零零开始开始。错误图例错误图例用作图法处理实验数据（例）用作图法处理实验数据（例）IP地址：地址：定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.00001.15001.2000

78、1.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()改正图例改正图例上一级上一级用作图法处理实验数据（例）用作图法处理实验数据（例）IP地址：地址：实验数据的直线拟合（一）实验数据的直线拟合（一）1.地位：地位： 作图法虽然在数据处理中是一个很便利的方法，作图法虽然在数据处理中是一个很便利的方法， 但是在图线的绘制上往但是在图线的绘制上往往会引入附加误差，尤其在根据图线确定常数时，这种误差有时很明显。为往会引入附加误差，尤其在根据图线确定常数时，这种误差有时很明显。为了克服这一缺点，在数理统计中研究了了克服这一缺点，在

79、数理统计中研究了直线拟合问题直线拟合问题（或称（或称一元线性回归问一元线性回归问题题），常用一种以），常用一种以最小二乘法最小二乘法为基础的实验数据处理方法。为基础的实验数据处理方法。 由于某些曲线的函数可以通过数学变换改写为直线。由于某些曲线的函数可以通过数学变换改写为直线。例如例如 取对数取对数y 与与 x 呈指数关系呈指数关系lny 与与 x 呈线性关系呈线性关系因此，这一方法也适用于某些曲线型函数。因此，这一方法也适用于某些曲线型函数。IP地址：地址：实验数据的直线拟合（二）实验数据的直线拟合（二）.最小二乘法最小二乘法 由观测值由观测值(xi，yi)可得出一条直线，只不过这条直线的误

80、差可能很可得出一条直线，只不过这条直线的误差可能很大，直线拟合。大，直线拟合。直线拟合的任务就是用数学分析的方法从这些观测值直线拟合的任务就是用数学分析的方法从这些观测值中求出一个误差最小的最佳经验式中求出一个误差最小的最佳经验式 y = a+bx。基本原理：基本原理： 如各观测值如各观测值yi 的误差互相独立且服从同一正态分布，当的误差互相独立且服从同一正态分布，当yi 的偏差的偏差yi 的平方和为最小时，得到最佳经验式。根据这一原理可求常数的平方和为最小时，得到最佳经验式。根据这一原理可求常数a和和b。(1)回归方程的确定回归方程的确定IP地址：地址：实验数据的直线拟合（三）实验数据的直线

81、拟合（三）根据极值原理，令根据极值原理，令S对对a和和b的偏导数为零，的偏导数为零，由此得，由此得，其解为其解为IP地址：地址：(2)相关系数相关系数 r 很接近很接近，则实验数据的线性关系良好；，则实验数据的线性关系良好； r 很趋近于很趋近于，则实验数据很分散，非线性关系。，则实验数据很分散，非线性关系。实验数据的直线拟合（四）实验数据的直线拟合（四）上一级上一级IP地址：地址： 逐差法是为了改善实验数据结果，减小误差影响由差逐差法是为了改善实验数据结果，减小误差影响由差值法的基础上发展来的，所以具有差值法的优点又具有逐值法的基础上发展来的，所以具有差值法的优点又具有逐差法的优点。差法的优

82、点。例如例如 求弹簧的倔强系数，根据虎克定律求弹簧的倔强系数，根据虎克定律F=kx，等间距改等间距改变外力变外力Fi，可以相应地得到不同的弹簧的伸长量可以相应地得到不同的弹簧的伸长量xi，这时，这时，每改变一次力每改变一次力，弹簧的改变量弹簧的改变量xi=xi+1-xi，力的改变，力的改变量量Fi=Fi+1-Fi= F，由于是等间距变化，所以力的改变量不，由于是等间距变化，所以力的改变量不变。变。 如果测量如果测量6次数据，对弹簧的改变量按逐差法进行处次数据，对弹簧的改变量按逐差法进行处理求平均值则可以得到：理求平均值则可以得到：逐差法（一）逐差法（一）IP地址：地址： 显显然然利利用用这这样

83、样的的处处理理方方法法来来求求平平均均值值是是不不可可取取的的。为为了了使使其其保保持持多多次次测测量量的的优优越越性性，对对数数据据处处理理方方法法上上作作一一些些变化。把数据分为两组，即隔变化。把数据分为两组，即隔3 3项逐差，再取平均，则：项逐差，再取平均，则：逐差法（二）逐差法（二） 注注意意3Fi=Fi+3-Fi= 3F， 这这样样很很容容易易得得到结果，而且每一个数据都能用上。到结果，而且每一个数据都能用上。IP地址：地址：逐差法的应用条件逐差法的应用条件 在具备以下两个条件时，可以用逐差法处理数据在具备以下两个条件时，可以用逐差法处理数据: : (1)函数可以写成函数可以写成x的

84、多项式形式，即：的多项式形式，即： y=a0+a1x+a2x2+a3x3 实际上，由于测量精度的限制，实际上，由于测量精度的限制，3次以上逐差已很少次以上逐差已很少应用。应用。 (2)自变量自变量x是等间距变化，即：是等间距变化，即：xi+1-xi =c 式中式中c为一常数。为一常数。逐差法（三）逐差法（三）上一级上一级IP地址：地址： 考试题考试题v用千分尺测量圆柱体的体积，已测得用千分尺测量圆柱体的体积，已测得 直径为直径为d =(3.4210.004)cm ， 高为高为h = (5.3160.004) cm， 求体积求体积V、不确定度、不确定度V以及体积以及体积V的的完整表示。完整表示。

85、IP地址：地址：实例讲解实例讲解例题例题1例题例题1.1.直接测量的数据处理直接测量的数据处理用用025mm的千分尺（螺旋测微计）测钢球的直径的千分尺（螺旋测微计）测钢球的直径D，6次数据如下：次数据如下：次序次序123456D(mm)3.1213.1283.1253.1233.1263.124要求写出完整的实验结果。要求写出完整的实验结果。解解： 求算术平均值求算术平均值注注意意：按按数数据据处处理理的的规规则则，在在计计算算过过程程中中平平均均值值可可以以暂暂时时多多取取一一位位有有效数字，效数字，目的是目的是防止计算误差扩大化。防止计算误差扩大化。IP地址：地址：求求A类不确定度分量类不

86、确定度分量求求B类不确定度分量类不确定度分量B，一般一般B= 仪，仪，查得查得合成不确定度合成不确定度IP地址：地址：上一级上一级完整结果表示完整结果表示D=（3.1240.004）mm相对误差相对误差IP地址：地址：例题例题2.2.间接测量的数据处理间接测量的数据处理用用 千千 分分 尺尺 测测 量量 圆圆 柱柱 体体 的的 体体 积积 ， 已已 求求 得得 直直 径径 为为 d = (3.4210.004) cm ，高高为为h = (5.3160.004) cm，求求体体积积V、不确定度不确定度V以及体积以及体积V的完整表示。的完整表示。解解： 求体积求体积V注意：注意：A.常常数数的的有

87、有效效数数字字应应比比测测量量值值的的有有效效数数字字多多取取一一位位，目的是让常数取值的误差忽略不计。目的是让常数取值的误差忽略不计。B：体积体积V的有效数字应符合有效数字运算法则。的有效数字应符合有效数字运算法则。实例讲解实例讲解例题例题2IP地址：地址：求不确定度求不确定度V由上述条件，可知由上述条件，可知d = 0.004 cm， h = 0.004cm 根据根据“积商积商”关系的间接测量量的不确定度公式，关系的间接测量量的不确定度公式，则有则有从而从而且且IP地址：地址：上一级上一级因此有因此有整理得整理得V = 0.12（cm3）完整结果表示完整结果表示注意：注意： 普普通通物物理理实实验验中中不不确确定定度度一一般般取取一一位位至至两两位位就就可可以以了了，当当不不确确定定度度的的第第一一位位数数比比较较小小（例例如如1或或2）时时，经经常常取取两两位位，否否则则一一般般取取一一位位。表表示示测测量量值值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数一般要取齐。最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数一般要取齐。 表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数一般要表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数一般要取齐取齐 。IP地址：地址：