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1、有关非线性分数微分方程正解的存在唯一性分析与探讨姚斐安徽合肥学院摘要：非线性分数微分方程作为高等数学教学的重要内容，其正解的存在唯一性一直以来既是学术探讨的热点，也是大学生必须掌握的重点。本文以非线性分数微分方程为例，分析非线性分数正解的存在唯一性，并通过数学定理加以证明。最后结合实例，讨论了非线性分数微分方程正解的存在唯一性的实践运用，对当前大学高等数学教学意义重大。关键词：高等数学，非线性分数微分方程，正解，存在唯一性引言非线性分数微分方程正解存在唯一性是现代工程领域的学术研究问题，也是学术家们用其解决很多实践依据。如何让学生触类旁通地掌握教学过程中非线性分数微分方程正解存在唯一性，既是一
2、个教学难点，又是一个能力重点。1、有关非线性分数微分方程正解的存在唯一性描述：微分方程 (1),Rxt,0,xtuvfp其中 为耗散项。,00u.R当 ， 0 为常数时，得到非线性分数微分方程正解存在唯一性的结果。有f2学者研究了 为非线性函数，但考虑 的情形。因此一旦 为 ，f 10dpvp它相应于 00 为常数。RCufH120fuf那么微分方程(1)的特征值：， 。(2)vpvp相应的 Riemann 不变量是：， 其中 (3)vurusdv0在正解的意义下，存在唯一性可化为如下等价的存在唯一性(4)2srfsrxtt其中 ， ， ，0,x0, xvur000。进一步假设初值满足如下条件
3、： vu0， ，且 ，其中 表示 中的有界H3RCb10 *0*vRCb11集。并且。5)在上述的假设下，,0min,max00supxr我们的主要结果是：定理 2.1 假设 ， 和 成立。如果1H23足够小，则存在唯一性(1.1)、(1.2)（等价于(2.4)、(2.5)）在srxx00sup上半平面 存在唯一的整体光滑解。t2正解唯一性的定理证明特征线法引理假设 ， 和 下，存在唯一性在非线性分数解存在区域内成立1H23， .(6)0,Mxtr0,xts其中 xsxr00ups,ma证明设 的方程为2H(7).21,sruftdsr其中 ， ， ， .令,0duff xt1 xtd2， .
4、,p1xtftFxdFe021 Fse10于是由(7)式，得到 (8).2121,sufrftFtdsr又令 如果 为 正解存在区域内的任意一点，xsxthx,maupt,1C并过点 作 一特征线和 一特征线，分别交于 轴的点 和 沿特征线从 0,0,到 分别积分，那么得到：t dxrufsftFsxt srr ,21210,0(9)u,当 时，正解f ;111 hFsufrfFsfrf 得到， (10)dhFMth102dFeMt102再由式(8)、(9 和(10)的逆比和求解，得到， 。可见，非线性分数解存在区域内0,xtr0,xts正解存在唯一性。推论在引理的假设之下，存在唯一性在光滑正
5、解存在区域内成立，那么 ，0,Mxtu.(11)Vxtv,0其中， ， 分别由下式所定义：1， (12)0Mdp01dpV很显然有：(13)0,21,xtstrxtu0,2Mxtstrv又由 的演算得到3H(14)00只有当 时， 为非线性分数解存在区域内函数，v0v Vv所以得到非线性分数解存在区域内唯一性表示为： (15)xtV,推论结束。3.非线性分数微分方程实践应用探讨当求一阶 满足初始条件 的正解，其中函数 f(x,y)是 、的多项式： 那么就可以得到的正解（27）其中 是待定的系数，把（21）代入（20）中，以这些常数为系非线性分数微分方程数的级数在其收敛区间内方程是。满足初始条件 的正解。总之,非线性分数微分方程正解存在唯一性从命题到证明过程数学验证过程。其实，作为在是现代工程领域，已经作为定理来使用。大学们只要了解非线性分数微分方程正解存在唯一性验证，就一定会掌握好的。参考文献：1、林晓宁,非线性奇异微分方程解的存在唯一性2、孙伟志,华侨大学学报(自然科学版)2010 年 01 期
