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1、1，若从 t=0 开始每隔 0.5 秒抛一枚均匀的硬币作试验，定义随机过程求：X()=,时刻抛得正面2t, 时刻抛得反面 （1） X(t)的一维分布函数 和F(12;) F(1;)（2） X(t)的二维分布函数 F(0.5,1;1,2)（2）X(t)的均值函数 和方差函数() 2()解：硬币出现正、反面得概率均为 1/2t X(t)的分布 X(t)的分布函数1/21F(0.5,1;x1,x2 )=F(0.5;x1)F(1;x2)=0,10或 2112,011或 22或 11， -12214， 011， -1221，11， 222，设 为参数为 2 的维纳过程, 求积分过程的均值函数和相关函数。
2、解：设 ，由 与 的对称性维纳过程是均方连续, 均方不可导, 均方可积的二阶矩过程.假设乘客按照参数为 的 poisson 过程 来到一个火车站乘坐某次列车，若火车在时刻 t 启程，试求在0，t内到达车站乘坐该次列车的乘客等待时间总和的数学期望。设在时间间隔0， 内到达的乘客数为 ，则时间间隔0，t 内乘客的总等待时间为 ，平均总等待时间为某人备有 r 把伞用于上下班. 如果一天的开始他在家 (一天的结束他在办公室)中而且天下雨,只要有伞可取到,他将拿一把到办公室(家)中. 若天不下雨那么他不带伞.假设每天的开始(结束)下雨的概率为 p,且与之前下不下雨独立.(1)定义一个有 r+1 个状态的
3、 Markov 链并确定转移概率;(2)计算极限分布 ;(3)这人被雨淋湿的平均次数,所占比率是多少(称天下雨而全部伞却在另一边为被淋湿)?设Xn为此人在第 n 天身边拥有的雨伞数,则 I=0, 1,2,r,注意到下雨才用伞,而每天的开始下不下雨与之前独立,即知 为 Markov 链.该链的一步转移概率为:于是计算极限分布的状态方程 ，记 ，解之得显然处于 的极限状态才可能被淋湿,但每天的开始(结束)下雨的概率为 p, 所以此人被雨淋湿的平均次数,所占比率即被淋湿的概率为某一个只有一名理发师的理发部，至多容纳 4 名顾客。顾客的平均到达率为每小时 3 人（Poisson） ，理发的平均时间为
4、15 分钟，试分析该排队系统的运行情况。解：将此排队系统抽象为 模型/14M利用流平衡方程组可以得到与 模型具有相同形式的状态概率分布：（ ）00()iiipp,1234i再利用正规方程即可求得系统空闲的概率 ：00415p（1）计算顾客一到达即刻就能得到服务的概率， 30.7543405510.()p（2）理发部内的平均顾客数和队列中等待的平均顾客数 412340 23().7530.75.0.75)4iiLpp0(1).4(1.3).8qLp（3）有效的到达率 （人/小时）0(.)2.6ep（4）顾客在理发部的平均逗留时间和平均等待时间（小时） （分钟）1.450.268eLW32（小时） （分钟）.7.9qe 17（5）顾客的损失率440.75.30.14.%p证明泊松过程X (t), t0为连续时间齐次马尔可夫链。先证马尔可夫性。泊松过程是独立增量过程，且 X(0)=0，对任意 0t1 t2 tn tn+1 有另一方面所以即泊松过程是一个连续时间马尔可夫链再证明齐次性当 j i 时当 ji 时,因增量只取非负整数值,故 pij(s,t)=0，所以转移概率与 s 无关，泊松过程具有齐次性。
