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1、1用“动圆法”分析带电粒子的圆周运动带电粒子在匀强磁场中做圆周运动时，如果向心力的大小不变的洛仑兹力提供，则粒子做匀速圆周运动的轨道半径可以由公式 给出。所为“动圆法”就是指在 R 始终0mVRqB不变的前提下，以动态的方式对粒子的运动情况进行分析的过程，而此时用纸片剪成半径为 R 的圆便成了这一分析方法中的辅助工具。22。.1 用动圆法分析粒子可能经过的区域例 1：在一水平放置的平板 MN 的上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，许多质量为 m、带电量为 q 的粒子，以相同的 V0沿位于纸面内的各个方向，由小孔 O 射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的想到影响，下列图中阴
2、影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中 。哪个图是正确的？0VRqB分析：当粒子入射速度 V1水平向右时，半径 的动圆圆心为 O1。现在以 O 点0mVRqB为固定轴，让这个圆沿逆时针方向转动 900后，动圆的圆心便移到了 O 点左侧的 O2点，在转动过程中动圆所覆盖的面积不断变化的情况见图2，于是 A 图就代表了带电粒子运动中可能经过的区域，这一阴影部分是右侧半径为 R 的半个圆面与左侧半径为 2R 的 个圆面共同构成，因此其面积14。222203mVSRqB2R R2RR 2R 2R 2R 2R 2RRA B C DOM N图 2O1OO2V2V1图 2222。.2 用动圆法分析粒子打中靶
3、面的范围例 2：在真空室内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小 ，0.6BT磁场内有一块平面感光板 ab，板面与磁场方向平行，在距 ab 距离 L16cm 处，有一点状的 放射源 S，它向各个方向发射 粒子， 粒子的速度都是 。已知603.1/Vms 粒子的比荷 ，现只考虑在纸面内运动的 粒子，求 ab 上被 粒75.01/qCkgm子打中的区域的长度。分析：首先根据公式 计算出 粒子在磁场中做圆周运动半径（10cm） ，然0VRqB后再以 S 点为圆心，20 观长为半径画弧，圆弧与 ab 直线的交点 M 即为 粒子能够打中感光板面最右点，；而 粒21PMRLcm子打中感光板面左侧的
4、最远点 N 不这个半径为 10cm 的动圆与直线 ab 相切点，此时由 可以给222OQRL出 。上述结果表明，8NPcm在直线 ab 上被 粒子打中的这一长度为 20cm 的范围，同样可由半个动圆绕固定点 S 逆时针方转动的过程所提供。22.3 用动圆法分析粒子进出磁场的边界例 3：如图 4 所示，在宽度为 d 的竖直方向范围足够大的狭长区域内，存在着垂直纸面向里的匀强磁场 B，磁场区域左右边界分别为 和 ，从电子枪 SCD处发射出质量为 m、电荷量为 e 的电子，设电子的发射速度始终为 V0。当电子枪水平发射时，在 右侧发现了电子，试画出电子恰好未从磁场右边界 射Da P M bO1O2S
5、RV1V2QN图 3CC/DD/dE FSO PV0mQ图 43出时，其在磁场中的运动轨迹，并计算该电子在边界 上的入射点到出射点之间的距离。C分析：电子枪发射电子时的初速 V0始终不变，说明电子运动轨道半径 R 一定。由于在 范围内，由电子枪射出的电子其动态圆的圆心均位于以 S 为中心、半径为 R 的半0:圆弧 EF 上，而当电子枪水平发射电子时在 的右侧发现了电子，则说明此动态圆的半D径 。于是我们可以剪一半径为 R 的圆形纸片，让纸片中心 O 从 F 点开始沿半圆弧RdFE 向左滚动，并画出这一动圆恰好与磁场的右边界 相切于 P 点（此时所对应的圆心为 O，与磁场左边界 的交点为 Q）时
6、的劣弧 SPQ，它就是符合要求的电子在磁场中的C运动轨迹，于是线段 的长度，就等于在边界22 20mVdSRdeB上电子的入射点到出身射点之间的距离。C22.4 用动圆法分析粒子轨迹覆盖的面积例 4：在 XOY 平面内有许多电子（质量为 m、电荷量为 e） ，从坐标原点 O 不断地以大小相同的速度 V0沿不同方向射入第一象限（图 5） ，现加上一个垂直 XOY 平面的匀强磁场 B，要求这些电子穿越磁场后都能平行于 X 轴并沿 X 轴正方向运动，试求出符合上述要求的磁场区域的最小面积。分析：由于电子运动的轨道半径 一0VReB定，因此电子在第一象限内做匀速圆周运动时，由左手定则所决定的所有这些动
7、态圆的圆心都在以 O 点为圆心、半径为 R，且位于第四内的圆周上，其中沿Y 方向发射的电子的轨迹如14，圆心在 X 轴上的点；而其余各动态圆的圆心在则分别为 O2、O 3、O n，分别过O1、O 2、O 3、O n作与 Y 轴平行的的直线（如图中虚线所示） ，与相应的实线（圆弧）分别交于 a、b、c 、d各点，面过这些点所作平行于 X 轴的直线，则是相应电子平行于 X 轴的从磁场中出射时的方向。可见此时符合要求的磁场范围实际上就是图 5 中两个 圆弧间所围成的叶形区域，它的面积14。22014mVSReBV0V0V0O1O2O3OncabV0YX0图 5422.5 用动圆法分析粒子偏转的最大角
8、度例 5：一个质量为 m、电荷量为 q 的粒子以初速度 V0从坐标原点沿 Y 轴正方向运动，并开始进入一个边界为圆形的匀强磁场，已知磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，磁场区域半径为 r，粒子进入磁场后做圆周运动，且它做圆周运动的半径比 r 大。 改变圆形磁场的圆心的位置，可以改变粒子在磁场中的偏转角度，求粒子在磁场中的最大偏角（用反三角函数表示） 当粒子在磁场中的偏转角度最大时，它从磁场中射出后沿直线前进一定能打到X 轴上，求满足此条件的 r 取值范围。分析：粒子进入磁场后做匀速圆周运动的半径 一定，而当粒子在半径为0mVRqBr（ ）的圆形磁场区域内运动时，要想让偏角最大，必须使入射
9、点 O、出射点 A 及磁场区域的圆心 在同一直线上，于是这一磁场区域的范围便可借助下述方法给出：首先在 OX 轴上截取一段长度为 R 的线段 ，然后再剪出一个半径为 r 的圆形纸片，让圆形纸片的一端与 O 点重合，并让纸片在纸面内以 O 点为轴沿顺时针方向转动。当纸片的边缘与半圆弧的交点到 O 点的距离最远时停止转动， （图 6）由于此时线段 OA 就是磁场区域的直径，因此，最大偏角 必定满足条件；而如果要求粒子能够打到 X 轴上，则02arcos2arcosqBRmV必须满足条件 ， ，090018r902arcos9,qBmV， 所以是 。0arcos45qBmV2,rq22。.6 用动圆
10、法分析粒子入射的时间间隔例 6：图 7 中虚线 MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在着一磁感应强度为 B、方向垂直纸面向外的匀强磁场， O 是 MN 上的一点，从 O 点可以向磁场区域发射质量为 m、电荷量为q、速率为 V0的粒子，粒子射入磁场时的速度可在YXO V0图 6磁场区域带电粒子的运动轨迹（半圆的一部分）5纸面内各个方向。已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中的 P 点相遇，P 点到 O 点的距离为 L，不计重力及粒子间的相互作用。 求所考查的粒子在磁场中运动的轨道半径。 求这两个粒子从 O 点射入磁场的时间间隔。分析：这些粒子在磁场中运动的轨道半径 完全相同。由
11、于两个粒子从同一点0mVRqBO 入射时的速度大小相等、方向不同，而且在入射时存在时间差，因此先后射入的这两个粒子在磁场中运动的轨迹必定是分别位于半径等大的圆上的一段优弧及一段劣弧。连接 OP 并作出线段 OP 的垂直平分线（图 7） ，然后再将用纸剪好的半径为 R 的圆片边缘上的某点与 O 点重合，让纸片在纸面内以 O 点为轴沿顺时针方向转动，当纸片的边缘恰好通过 P 点时，记下纸片圆心 的位置并画出一段优弧 ；然后1C继续让纸片顺时针转动，当纸片边缘恰好再次通过 P 点时，记下纸片圆心 的位2O置并画出一段劣弧 ，菱形D中的锐角 可由 ，即 给出。因此两粒子先后12Ocos2LR2arcosLR入射磁场的时间间差： ，这样便得结果：00OCPmtVVqB。024arcosarcos2mLqBLtqBRmV0 V0OMN C CP O1O2 图 7
