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1、1参考答案0. 预备知识习题 0.11.(a)是 (b)否 (c )是 (d)否2.(a)否 (b)否 (c )否 (d)是 (e )否 (f )否 (g)是 (h)否 (i )是3. ,12,34,12,34,2,34,12,4,13f.4. , ,1,0,234AB =- L0,14AC-=-.,7AD=-5. , , .1,32BxRx12()fxf另一方面: ,所以有 ,矛盾。12x-01(,)=0()1fxM=()f上无界。(,1)24. . 22;()xxfgf=25. , , .1()f-()f=1()fx=26. .2arcos,cos,elnxfxuvw=+27. , , ,
2、 , , .()lgbe+1t21vstanx28. .2,sinufxvx-=29. , , .()cot=e,lnwttx1. 数列的极限习题 1.11.不能,例如取 .(1),02,3456,nae=-=L2.不能,例如取 .0n a+3.能,因为对 ,必存在正整数 ,使 .ek1e0N0N00ae-5.提示:利用数列极限定义.611. 略。 12.提示:按极限定义,可取 .2=13.提示:利用极限定义,可取 . 14.提示:按极限定义证明.2abe-=15.提示:利用极限定义. 16.反之不一定成立.17.当 无界时,有以下各种情况:ny(1) 极限仍为零,例如, ;x21,12,3n
3、nxyL=(2) 极限存在,但非零,例如, ;ny ,(3) 极限不存在,例如:x 2,nxy或 ,1n=(1)3ny+-=L18.提示:根据数列与子数列极限之间的关系证明.19.利用极限的定义. 20. . 21() 1:,352k kL+- +21.利用极限的定义. 22.根据夹逼定理证明.23.(1)1. (2)1. (3)0. (4)9. (5)0.24. (1)0. (2) . (3)0. (4)4. (5) . (6)0.13(7) . (8) . (9) . (10)1.ab+1512-25.不一定,例如: .(),(),2,nnnxy+=-=L26.不一定,例如 .113+27
4、. 必发散。反证,因为若 收敛,则有 收敛,nxy+nxy()nnnyxy+-与已知矛盾.28.不一定,例如 .11(),(),2,3nnn +=-=L29.必有 ,但不能推出 ,例如: .1limna+ 1limna+(1),2,3nna-=L630.当 时,为 ;当 时,为 ;当 时,为 0.pqpq=pqab1q3.提示:利用极限的定义。 4.提示:证明 单调增加有上界; 单调减少有下界.nanb5.(1)提示:证明 , . (2)提示:利用(1)的结论.1na+limne=(3)提示:利用(2)的结论. (4)提示:利用(3)的结论. (5)提示:利用(3)的结论6.提示:先证明 ,再
5、证明 单调减少.1nunu7.(1) . (2) . (3) . (4)1 . (5) . (6) . (7)0. (8)0.ee1e-习题 1.31.设 是 中的一个数列。若存在某个 ,对任何正整数 ,都存在 ,na 0eN0,mnN使 .00me-2.收敛. 3.收敛. 4.收敛. 5.收敛. 6.提示:对任意 ,必存在正整数 ,使 . 7.提示:利用定理 1.3.3.k1e44.提示:按极限定义证明.45.提示:用反证法和函数极限的定义。 是可能的,例如,取AB,有2()(),(0,)fxgxNd=o00lim()li()xxfg=习题 2.214. 略。 5.不一定 6.是 7.不一定
6、 8.否,例如 .21,0(),xfa=9.(1)是(2)不一定 810.提示:用连续的定义证明,反之不一定成立,例如 .1,()xf=-为 有 理 数为 无 理 数11.提示:对 用极限定义对 , 三种情0xD00()fxg=000,()fgfgx0,xNd 0()fxe-23. , , .akp()fk-(1),kfp=-24.(1) , (2) ; (3) , .=3;b2ab-ae=b25.取 26. 如 27.取10(),xfe01,()xf=-(,)dtn5.提示:令 ,考察 与 .()sinfxbx-ffb6.提示:考察 ,证明 严格单调增加.(1)=+()x7.提示:考察 .(
7、10),2,0,3ffff-8.提示:考察 ,利用零点定理.()Fxgx9.提示:利用韦达定理,再利用零点定理:不妨设第一象限椭圆为一点 弦的斜率为0(,)xy,弦与椭圆的交点为 ,考察k12(,),xy120()xfk+=-10.提示:考察 ,利用零点定理.)(Ffaf=+-11.(1)提示:设 在 上的最大、最小值为 ,有: ;(x,b,Mm12()affbM+(2)提示:利用(1)1012.提示:用反证法,并利用任何两个不同的有理数之间存在无理数这个性质.13.提示:利用极限的保号性,再利用零点存在定理.14.提示:利用介值定理.3. 导数与微分习题 3.11.(1) (2) (3) (
8、4) (5) (6)34x1x- 321x- 76x-15xex+2. ; 3. (1)连续,可导 (2)连续,不可导 (3)连续,不可导12-3(4)连续,不可导 (5)连续,可导 (6)右连续,右导数存在 (7)连续,可导4. (1) (2) (3) (4)0()fx0()fx0()afx0()afx5. 6. 7.连续,可导 2,ab=-ln2,1ln2ab=-8.连续,可导 9. 10. ()fj (),()ffajj+-=11. 0 12. 不一定可导,如: ,在 点.x013.提示:(1)先证 ; (2)利用导数定义. 14. 0()0,fh习题 3.21.(1) (2) (3)
9、(4) axb+2()adbcx-+2(1)x-+1362257xx-+(5) (6)()cosin- 22cosinscosi-(7) (8) )4e5i2sixx 22(tae)(1t)anxxx+11(9) (10) (11) 1cosx+21lnlx-+2(1ln)x-+(12) (13) (14)3lnea 2ll()x-sctxx+(15) (16) (17)2(1)arcx- 22(sec)xp-22arcos1xx-2. (1)5,2 (2) (3)21(1)2;()ln)ff=-+128p-(4) 3. ,切点坐标为(0)!,()9!ff=- 1ea=(,)e4. 或 5.提
10、示: ,用反证法xy+250y()()gxFfx-6. 否 7. 否,取 8. 否0(),(),fx=习题 3.31. (1) (2) (3)23(1)x+23()ax+2cosinsecab-(4) o2i4inxx(5) 11cosscsincosi222xx+g(6) (7) i2enx-gex(8) (9)(cos36si3in2)x x- 21ex+(10) (11)21sin 21eic()xx-+gg2ln2()l)x-g12(12) (13)3sin210l(19sin3co)x xg-2ln()22e)l()x+(14) (15) (16)21xa21x- 2ln1x+(17
11、) (18)ln ln(l)()()lx+g 24l(l)xg(19)222 221si()11ln(i)colnsicosinxx x-+gg(20) (21) (22)22arcsi14xx-ari12csnx-+21x+(23) (24)1(ln)lxxa-+24()-2.(1) (2) (3)445, 0,yx=-=-或12ln,x-3. (1) ; (2) (3)dexy+=- de1yx=-2sinexyyx-4. (1) 222()()()scartndxxx(2) ()(1)yx5. 6. ()4f=2()fxgx+137.(1) (2)2()yfx=g22(sin)(cos)
12、infxfx-g(3) sincosx+gcs()ffx+(4) 2()1()fxf+8.(1) (2) (3)029. ; .dURI=cos()mItt习题 3.41. (1) (2) (3) (4) (5)ba1t+21t21t-cosinbta-(6) (7) (8)sin(co)q-anb-t2. 3. 4.(1)1 ; (2)所求长为d1isxy=-dcosityx-=a5.当 时, 或 , , .t04y-13d7x=-43d8xy=-习题 3.51.(1) (2) (3)36(21)x-+2sin4cosinxx+-e(2)x+(4) (5) (6)234exx-2-2(sin
13、cosin)axabb-2.(1)当 时, ,当 时,=12(y-+ 112()23)!()nnyaxb- -=+g(2) (3)1)sin2xp-si()si()xpp-+(4) (5)()ex+1()!)nn+-14(6) () (1)1ln,1(2!,23,nnyxx-=+-=L3. 5. 6. 2e11!()()nn+-()114sin2xp-+g7.提示:利用 ()sini2xp=8.提示:利用 ,其中 .01(1)nkkx=-(1)!nnk-=L9.提示: ,利用莱泊尼兹公式.2()()nnfxx=+10. .0001,abcjjj 11.(2)提示:对 两边关于 求 阶导数,用莱泊尼兹公式.2()xy-xn12(2)提示:令 ,则 ,两边关于 求二阶导数.arcost=