《[考研数学]北京航天航空大学线性代数 2-6》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[考研数学]北京航天航空大学线性代数 2-6（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、任意一个 mn矩阵 A, 用贯穿整个矩阵的纵线和横线按某种需要将它划分成若干个行数与列数较少的矩阵 , 这种矩阵称为 A的子块或子矩阵 ,被划分的矩阵 A称为分块矩阵 . 此方法实质是 把一个阶数较高的矩阵看成是由一些小矩阵组成的 , 这时大矩阵的元素不全是数量 ,一般是一些小矩阵 . 矩阵的分块是 矩阵运算 中的一个重要技巧 ,可以 减少运算量 使运算更为简明 , 而且在一些 命题的证明 中起着重要作用 . 2.6 分块矩阵 分块矩阵的运算 矩阵的分块相当随意 , 但在划分时 纵线和横线必须贯穿整个矩阵 . 例如 353433323125242322211514131211aaaaaaaaa
2、aaaaaaA令 23222113121111 aaaaaaA 2524151412 aaaaA 33323121 aaaA 353422 aaA A11,A12,A21,A22是 A的子块 , .22211211 AAAAA353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaA令 ,211111 aaA ,2322131212 aaaaA ,2524151413 aaaaA ,3121 aA ,333222 aaA ,353423 aaA 则 .232221131211 AAAAAAA分块矩阵的运算规则 加法、数乘、乘法规则与一般矩阵相同 . 注意 用分
3、块矩阵作 加法 运算时 , 要将有关矩阵划分为 大小相同的子块 . 用分块矩阵计算AB时 (设 A的列数等于 B的行数 )一定要使 A的列的分法与 B的行的分法相同 . 这样才可以保证符合矩阵的乘法规则 . 例如 6723947156322614627367239471563226146273不可计算 26146273可以计算 例 1 分块矩阵的加法 638230103183720402BA2221121122211211BBBBAAAA555550505.1111101015例 2 分块矩阵的乘法 02111401102123011011012100100001AB2221121122211
4、211BBBBAAAA22221221212211212212121121121111BABABABABABABABA.3511114210212301练习 设 ,1011012100100001A ,0211140110210101B.AB求解 分块成把 BA ,10011001A00001121, EEO1A0211140110210101B 11B E21B 22B则 2221111 BBEBEAOEAB.2212111111 BABBAEB.2212111111 BABBAEBAB又 21111 BBA 110121011121 11012043 ,1142 02141121221 B
5、A ,1333 于是 2212111111BABBAEBAB.1311334210410101例 3 设 ,0 BCAD其中 A=(aij)kk, B=(bij)rr, C=(cij)rk, 且 |A|0, |B| 0, 证明 D可逆 , 且 .011111 BCABAD证明 由 |D|=|A|B| 0(Laplace) D可逆 . 设 ,222112111 XXXXD则 BCA 0 EXXXX 22211211 rkEE00利用矩阵子块相等 , 得 rkEBXCXBXCXAXEAX22122111121100得 X11=A-1Ek=A-1, X12=A-10=0, 代入得 X21=B-1CA
6、-1, X22=B-1. .011111 BCABAD,21sAAAAOO注意 若 C=0, 有 .0000111BABA其中 |A|0, |B| 0. 准对角形矩阵 : 当 n阶方阵中非零元素都集中在主对角线附近，分块后形如 ,21sAAAAOO .,2,1对角矩阵为分块那末称都是方阵其中 AsiA i .21 sAAAA 分块对角矩阵的行列式具有下述性质 : 并有则若 ,0,2,10 AsiA i .21sAAAAoo,21sAAAA设oo1111ssBBBAAA0000000000002121.0000002211ssBABABA例 4 设 ,00000000000000121nnaaa
7、aA其中 ai0(i=1, 2, , n), 求 A-1. 解 设 ,0021 AAA其中 1211naaaA).(2 naA 易知 ,0011121 AAA而 ,11121111naaaA,112 naA .00000000000011121111nnaaaaA练习 设 ,120130005A.1A求解 120130005A,21 AOOA ,51 A ;5111 A ,12132 A;32 1112 A12111AOOAA;5111 A.3201100051分块矩阵的初等变换 初等变换也可以象前面求逆矩阵一样用在分块矩阵上求逆矩阵或进行其他运算 . 例 5 设 ,0 BCAD 其中 A=(
8、aij)kk, B=(bij)rr, C=(cij)rk, 且 |A|0, |B| 0, 求 D-1. 解 rkEBCEA000左乘 A-1 rkEBCAE000 1左乘 B-1 111000BECBAErk 左乘 (B-1C) 1111000BCABEAErk.011111 BCABAD特别注意 在计算过程中是对矩阵作初等行变换 , 必须强调左乘一可逆矩阵 . 上述初等变换写成初等分块矩阵为 ,001 EA ,001 BE .01 ECBE即 rkEBCEA000 EA001 100BE ECBE1.0001111 BCABEAErk例 6 设 A, B均为三阶方阵 , |B|=2, E为单位矩阵，求 .2 1BAABEB分析：利用初等变换将其化为分块三角形矩阵 , 然后利用拉普拉斯定理 . 解 12 BAABEB右乘 B-1 120BABB11 202 BABBBAABEB12 BB.8)2()1( 133 BB
