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1、1实验七多元函数的极值【实验目的】1 多元函数偏导数的求法。2 多元函数自由极值的求法3 多元函数条件极值的求法.4 学习掌握 MATLAB 软件有关的命令。【实验内容】求函数 的极值点和极值3284yxz【实验准备】1计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:步骤 1.定义多元函数 ),(yxfz步骤 2.求解方程 ,得到驻点0),(fyx步骤 3.对于每一个驻点 ,求出二阶偏导数)0,222yzCxBzA步骤 4. 对于每一个驻点 ,计算判别式 ,如果)(0yx2BAC,则该驻点是极值点,当 为极小值, 为极大值;,02CA0如
2、果 ,判别法失效,需进一步判断; 如果 ,则该BA 2驻点不是极值点.2计算二元函数在区域 D 内的最大值和最小值2设函数 在有界区域 上连续，则 在 上必定),(yxfzD),(yxfD有最大值和最小值。求 在 上的最大值和最小值的一般步),(f骤为：步骤 1. 计算 在 内所有驻点处的函数值；),(yxfD步骤 2. 计算 在 的各个边界线上的最大值和最小值；步骤 3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在 内的最D大值和最小值。3函数求偏导数的 MATLAB 命令MATLAB 中主要用 diff 求函数的偏导数 diff(f,x,n) 求函数 f 关于自变量 x 的 n 阶导数。可以用
3、help diff 查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习 1 求函数 的极值点和极值.首先用3284yxzdiff 命令求 z 关于 x,y 的偏导数clear; syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;diff(z,x)diff(z,y)结果为3ans =4*x3-8*yans =-8*x+4*y即 再求解方程，求得各驻点的坐标。一.48,43yxyzxz般方程组的符号解用 solve 命令，当方程组不存在符号解时，solve 将给出数值解。求解方程的 MATLAB 代码为：clear; x,y=solve(4*x3-8*y=0,-8*x+4*y=0,x,y)结果有
4、三个驻点，分别是 P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：clear; syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;A=diff(z,x,2)B=diff(diff(z,x),y)C=diff(z,y,2)结果为A=2*x2B =-8C =4由判别法可知 和 都是函数的极小值点，而点)2,4(P),(QQ(0,0)不是极值点，实际上， 和 是函数的最小值点。24),(4练习 求函数 在条件 下的极值.构造 Lagrangexyz1yx函数 )(),(yxyxL求 Lagrange 函数的自由极值.先求 关于 的一阶偏导数,clear; syms x
5、 y k l=x*y+k*(x+y-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,k)得 再解此方程组。,1, yxLxyxLclear; syms x y kx,y,k=solve(y+k=0,x+k=0,x+y-1=0,x,y,k)得 进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数2121yx达到最大值.注意;也可以利用 Lingo：model:max=x1*x2;x1+x2=1;end更值得一提的是对此种问题我们一般不用 Lingo，因为 Lingo中已规定所有决策变量均为非负。5练习 3 抛物面 被平面 截成一个椭圆,求这2yxz1zyx个椭圆到原点的最长与最短距离.这个问题实际上
6、就是求函数 22),(zyxzyf在条件 及 下的最大值和最小值问题.构造2yxz1Lagrange 函数 )1()(),( 222 zyxzyxzyxzyL求 Lagrange 函数的自由极值.先求 关于 的一阶偏导数L,clear; syms x y z u vl=x2+y2+z2+u*(x2+y2-z)+v*(x+y+z-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,z)diff(l,u)diff(l,v)得 zLyLxL2,2,21,2zxzy再解方程clear;x,y,z,u,v=solve(2*x+2*x*u+v=0,2*y+26*y*u+v=0,2*z-u+v=0,x2+y2-z=0,x+y+z-1=0,x,y,z,u,v)得 .32,1,317,35 m zyx上面就是 Lagrange 函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数 在有f界闭集 ，上连续，从而存在最大值与1,:),(2zyxxzy最小值） ，故由 359.)2,3,21( mf求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为 ，最359短距离为 。359【作业】1. 求 的极值。144xyz2. 求函数 在圆周 的最大值和最小值。2,f 12yx3. 在球面 求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。2z
