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1、1专题一：异面直线所成角的求法【学习目的】1、巩固对异面直线所成角的理解；2、掌握常见的异面直线所成角的求法【学习重点】异面直线所成角的求法【学习难点】异面直线所成角的求法【学习过程】一、复习回顾1、异面直线所成角的定义：2、求异面直线所成角的步骤：二、异面直线所成角的求法（一）平移法：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线， 进而利用平面几何知识求解，求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面
2、进行必要的伸展，有时还 用“补形”的办法寻找平移面。例 1、设空间四边形 ABCD，E、F、G、H 分别是 AC、BC、DB、DA 的中点，若AB 12 ，CD4 ，且四 边形 EFGH 的面 积22为 12 ，求 AB 和 CD 所成的角. 3注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。H GFEDCBA2练习：点 A 是 BCD 所在平面外一点，AD=BC， E、F 分别是AB、CD 的中点，且 EF= AD，求异面直线 AD 和 BC 所成的角。 2注：本题的平移点是 AC 中点 G，按定义过 G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一
3、线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。例 2.已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N 分别为 BC、AD 的中点。 注：作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时， 这个角的余弦值必须为正。例 3.如图所示，在空间四边形 ABCD中，点 E、F 分别是 BC、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 。求31ECBFDA异面直线 AB 与 CD 所成的角。 ABC
4、DEFG3（二）“补形法”：是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例 1 、在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，AA 1=c，AB=a，AD=b，且 ab求 AC1与 BD 所成的角的余弦解：（补形法）例 2、在正方体 ABCDA 1B1C1D 中，各棱长为 ，M 为 的a1AB中点，求异面直线 AM 与 所成的角。例 3、长方体 ABCDA1B1C1D1中，若 AB=BC=3，AA1=4，求异面直线 B1D 与 BC1所成角的大小。（三）利用两个向量的夹角公式（ ），ba,cos可以求空间两条直线
5、所成的角。例 1、如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D 中，E、F 分 别是 BB1、CD 的中点. 求 AE 与 D1F 所成的角解：如右图建立空间直角坐标系：Dxyz。ED1 C1 B1A1A BD COFA1 B1C1D1BCDAEYXZ4设正方体的棱长为 2，则有 A（2，0，0）、 （2，0，2）1D（0，0，0）、D1（0，0，2）、F（0，1，0）、E（2，2，1）（I） =（0，2，1）， =（0，1，2）AE =（0，2，1）（0，1，2）= 0F1AE D1F，AE 与 D1F 所成的角为 90o即直线 AE 与 D1F 所成角为直角. 例 2已知四棱锥 P-ABCD
6、的底面为直角梯形，ABDC， 底面 ABCD，且PAB,90oPA=AD=DC= AB=1，M 是 PB 的中点。求 AC 与 PB 所成的角；21解：因为 PAPD，PAAB，ADAB，以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1， .因) ),2(),(PBA.510|,cos ,|CPB所 以故空间向量的引入，给传统的立体几何内容注入了新的活力，向量是既有大小又有方向的量，既具有图形的直观性，又有代数推理的严密性，是数形结合的一个很好的桥梁。而空间向量是处理空间问题的重要方法，通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单， 为学生 处理某些立体几何问题提供了的新视角。借助空间向量这一工具，可以降低思维难度，增加了可操作性，从而减轻了学生负担，使他 们对立体几何更容易产生兴趣。【小结】【课后作业】
