点集拓扑思考题

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1、 1一、 填空 当 X=1,2,3，则 T = 1,2, 是 X 的一个拓扑。T = , X ,1 , 2 ,1,2 2. 一拓扑空间，A 包含于 X，x 属于 X。如果对于任何 U 属于Ux，有 _ U(A-x)_，则称点 是集合 的一个凝聚点。xA3. 空间 R 中，所有_有限开区间构成的集_是 R 的一个基。4.X 是一集合，S 是 X 的一个子集族，即 S P (X)，如果_X=Us 属于 s S 则 X 有唯一的一个拓扑以 S 为子基。5.X 是拓扑空间，xX，如果 B 是 X 的一个基，则 _ B x=BB | x B _是 X 是一个邻域基。6. X 为 _有限_集时，X 的有限

2、补拓扑是离散拓扑。7._ 子集 A 和 B 是隔离的 _的充分必要条件是 A 与 B 无交且其中任何一个不含另一个的凝聚点。8.一个局部连通_空间等价于 X 有一个基，它的每个元素都是连通的。9.数空间 R 的一个子集包含着不少于两个点，则 A 是_连通子集_ A 是一个区间。10. 从任意拓扑空间到 _平庸_空间的映射都是连续的。11. Y 是拓扑空间 X 的一个子空间， yY，如果 V Y 是 y 在 X 中的一个邻域基，则 V y|Y 是 y 在 Y 中的一个邻域基.12. Y 是拓扑空间 X 的一个子空间。如果 B 是 X 的一 A 基，则 B|Y 是 Y 的一个基.13.X,Y 是两

3、个集合，则 f : XY 是 单 射当且仅当A,B X , f (AB) = f (A)f (B) 。14.A 是拓扑空间 X 的子集，则_ Ad(A)_叫做集合 a 的闭包。 215.是拓扑空间，如果 X 中有一个可数稠密子集，则称 X 是一个可分空间。16.扑空间 X 中任意两个不相同的点中，每一个点都有一个邻域不包含另一个点，则 X 一定是_ T 1 _空间。17.扑空间， 是 的，则映射 f : XY 连续 对每一点 xX 1A，如果_如果 X 中的序列x i收敛于 xX _则 Y 中的序列 f (xi)iZ+收敛于 f (x)。18.拓扑空间必定是某一个_紧致空间 空间的开子空间。1

4、9.紧致空间 X 的每一个_具有有限交性质_的闭集族都有非空的交。20. 设 F 是 X 的所有闭集构成的集族，则 F_一个凝聚点的并仍是的闭集。21. 如果 X 是 T1 空间，则点 x 是 X 的子集 A 的 F 的有限个元 对 x 的每个邻域 U，UA 是无限集。22.集合 A 的内部等于_包含于 A 的所有_开集之并。23. B 是拓扑空间 (X,T)的_一个基_当且仅当对每一个 x 属于X 和 ，存在 VB 使 x 属于 V 包含于 U。x24. 设 是拓扑空间，每一个 _连续映射 f：0,1 X _叫做 X 中的一条道路。25.X,Y 是拓扑空间， X 是 的，如果映射 f : X

5、Y 是一个 21A满的连续开映射 映射，则 也是 的。Y26._ 局部连通_空间的任何开集的任何一个连通分支是开集。27. X 是平庸空间，则它的拓扑 T = , X ； ; X 是离散空间，则它的拓扑 T = P(X) 28. 度量空间 空间中的任何一个收敛序列只有唯一的一个极限点。29. 设 X 是一个拓扑空间，A X ,则 A 是闭集 A是开集 。30. x A 的导集 对 x 的任何一个邻域 U，UA。31. 设 X 是一个拓扑空间，A X , 则 A 是开集 A=A 32. X 是拓扑空间，A X , x X 。则 x AUu有33. 设 A 是度量空间(X, ) 中的一个非空子集，

6、则 x d(A) 3 (x,A-x) =0 。34.X 是一个 度量 空间时，A 包含于 X , 则点 xX是 A 的一个凝聚点在集合 A-x中有一个序列x iiZ+ 收敛于 x 35. 设 X,Y 是两个拓扑空间，如果 f：XY 连续 则 X中的序列x iiZ+ 收敛于 x 蕴涵 Y 中的序列 f(xi)iZ+ 收敛于 f(x)。36. .设 是拓扑空间，Y 是一个集合，f : XY 满射，则X,TT1= T 1=U Y | f-1(U) T 称为 Y 的相对于满射 f 而言的商拓扑。37. 一个拓扑空间 X 如果 在它的每一点处有一个可数邻域基 ，则称它为满足第一可数性公理的空间。38.B

7、 是拓扑空间(X, T )的基当且仅当对每一个 和 ，xxU存在 Vx B ，使得 xV x 包含于 U 。39.设 是拓扑空间 Y 的一个基， （X,T ）是拓扑空间。则 f : XY 连续 对每个 BB ，有 _ 原像 f-1(B)是 X 中的一个开集_ 。40.实数空间 R 中， S = (,)|(,)|aRbRU是 R 的一个子基。41. X 是一个拓扑空间，如果对于任何点 xX 和 x 的任何一个开邻域 U，存在 x 的一个开邻域 V 使得 ，则 X 是 一个正则空间 空间。42.若对拓扑空间 X 的任何两个不交的闭集 A 和 B，存在连续映射 f： Xa,b 使得当 xA 时 f(

8、x) = a ，和当 xB 时 f(x) = b ，则 X 是一个正规空间。43.拓扑空间 X 是一个 一个可分的度量空间 充分必要条件是 X 是一个满足第二可数性公理的 T3 空间。44. 从紧致空间到 hausdorff 空间的任何一个连续映射都是闭映射。45.X 是一个 局部连通空间 拓扑空间 X 有一个基，它的每一个元素都是连通的。46. 拓扑空间 X 中包含点 x 的 连通分支 是包含点x 的最大的连通子集。47. 如果 X 是 只有有限个连通分支 空间，则X 的连通分支既是开集又是闭集.48. 设 X 是连通空间， f : XR 连续，则 f(X)是 R 中的 一个区间 。49.

9、E 是实数空间 R 的一个子集，则 E 是一个连通子集 E 是_ _区间_。50. n 维欧氏空间 Rn 的任何一个 连通开集 都是道路连通的。51.X 是拓扑空间，A、B X 。如果 （A ）（ B）= BA则称 A,B 是 X 的两个隔离子集。52. X 是一个 只有有限个连通分支 空间时，X 的每一个连 4通分支既是开集又是闭集。53. 度量 空间中，任何一个收敛序列的极限点是唯一的。54. X 是一个 正规 空间，当且仅当对于任何一个闭集A X 和 A 的任何一个开邻域 U，存在 A 的一个开邻域 V 使得。VU55. 若对拓扑空间 X 的任意一点 x 和不包含 x 的闭集 B，存在连

10、续映射 f： . f：X0,1使得 f (x) = 0 以及对于任何 yB 有 f (y) = 1 ，则 X 叫做完全正则空间。56. 拓扑空间 X 是一个可分的度量空间的充分必要条件是 X 同胚于 Hilbert 空间 的某一子空间。57. 从 空间到 Hausdorff 空间的任何一个连续映射一定是同胚映射。58. 设 X 是一个拓扑空间，A X , xX 。如果对于 x 的任何一个邻域 U 有 UA,且 UA ,则称 x 是 A 的一个边界点。59. 在度量空间中，_ 所有球形领域_ 构成的集族是这个度量空间的一个基。60.设 X 是 n 个拓扑空间 X1, X2 ,，X n 的积空间，

11、B i 是 Xi 的基（i=1,2,n） 。则 X 的子集族 B * = 是 X 的一个基。二、选择填空题1、设 是拓扑空间， AX，则 _不是 A 为闭集的充要条件。 A 是开集； ； ； d (A)A。02、 是拓扑空间， ，则_不是 AT 的充要,T条件。 ； A T 使 A= UA U； 0 ； 若 x A，则 ， （ 是 x 的x邻域） 。3、以下结论正确的是 。连通空间一定是局部连通空间； 局部连通空间一定是连通空间； 道路连通空间一定是连通空间； 道路连通空间一定是局部连通空间。4、实数空间 R 不是 空间。 Hausdorff； 连通； 正规； 可数紧致。5、以下结论不正确的是

12、 。 度量空间是 T4 空间； Tychonoff 空间是 Hausdorff 空间； 完全正则空间是正则空间 ； 正规空间是 Hausdorff 空间 5。6、设 是拓扑空间，如果对于 X 中的任何两个不相交的闭集XA,B 总存在连续映射 f ：X0，1使得 xA 时使 f (x) = 0 , yB时 f (y) = 1，则这样的空间 X 是 空间。 Hausdorff； Lindeloff； Tychonoff； 正规。7、以下关系 不正确。 可数紧致 序列紧致； 序列紧致 可数紧致； 可数紧致 列紧致； 可数紧致+ Lindeloff 性 紧致。8、局部紧致空间中，以下关系 不成立。 Tychonoff 空间 Hausdorff 空间； 完全正则空间 正则空间； 完全正则空间 Tychonoff 空间； 正则空间 + T1 空间 T3 空间。9、以下空间中 不是连通的空间。至少含两个点的离散空间； 平庸空间； 实数空间; 含无限多个点的有限补空间。10、以下空间中 不是正则的空间。 离散空间； 实数空间； 度量空间； 含不可数多个点的可数补空间。11、设 X 是拓扑空间，A、B X，则下列条件中 _不一定 6成立。 若 A B，则 d(A) d(B) ； d (AB) = d (A)d(B) ； d (A B) = d (A) d(B) ；