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1、圆是初中数学教学重点内容之一,对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.在解决此类问题时,常常需要添加辅助线,才能把题中的已知条件和所求问题联系起来,使问题逐层分解,化繁为简,化难为易,从而使解题简便易行.在圆中如何添辅助线？结合自己的教学实践作一些探究.一、根据垂径定理及其推论，过圆心作弦的垂线.例1 半径为5的圆中，求两条长为8和
2、6的平行弦之间的距离.分析:此题没有说明两条平行弦是在圆心的两旁还是同旁，因此要考虑两种情况.解:第一种情况:如图,弦 ab、cd 在圆心 o 的同旁.过 o 作 oeab 于 e，交 cd 于 f，则 ae=ab=3.连结 oa、oc.abcd,oecd 于 f，则 ef 是平行弦 ab、cd 间的距离.在 rtoea 中，由 oa=5,ae=3得 oe= =4.同理可得 of=3.ef=oe-of=4-3=1.第二种情况:如图,弦 ab、cd 在圆心 o 的两旁.过 o 点作 oeab 于 e，延长 eo 交 cd 于 f.连结 oa、oc.abcd，则 eocd 于 f.ef 是平行弦
3、ab、cd 间的距离.由垂径定理和勾股定理易得：oe=4，of=3，则 ef=oe+of=7.启示:有关圆中弦常添的辅助线是过圆心作垂线，利用勾股定理，依靠垂径定理及其推论解决有关弦的问题.二、连结圆上的有关点，根据同圆（或等圆）中，圆周角、圆心角、弦、弧之间的转换关系，解决问题.例2 已知:在abc 中,ab=ac,bd 平分abc,abd 的外接圆交 bc 于 e.求证:ad=ec.分析:连结 de，由圆周角1=2,可得 ad=de.欲证 ad=ec，只要证 de=ec 即可.证明:连结 de.bd 平分abc,1=2,ad=de.又ab=ac,abc=c.3是圆内接四边形 abed 的外
4、角,3=abc.3=c,de=ec,ad=ec.启示:有关圆上非特殊点，常作点与点连线.三、当题目中有直径这一条件时，常利用“直径所对的圆周角是直角”添加辅助线.例3 已知:在 rtabc 中abc=90,以 ab 为直径作o 交 ac 于 d，de 切o 于 d 且交 bc 于 e. 求证:be=ec.证明:连结 bd.ab 是o 的直径,adb=90，bdc 为 rt.又abc=90，ab 是o 的直径，bc 切o 于点 b.又de 切o 于 d,be=de，则bde=dbe.1+bde=90，c+dbe=90 ,1=c，de=ec.be=ec.启示:有关圆中直径，常构造直径所对的圆周角是
5、直角添加辅助线.四、作过切点的半径（或直径）.当题中有切线时，常连结过切点的半径或直径，利用切线与它垂直的特点.有时也作过切点的弦，沟通弦切角与圆心角、圆周角之间的联系.例4 已知:在 rtabc 中,c=90,bc 是o 的直径，ab 交o 于 d，de 切o 于 d，交 ac 于 e. 求证：oeba.证明:连结 od.de 切o 于 d,edo=90 .又c=90 ，oc=od ， oe=oe,rtecortedo.1=2= cod.又b= cod,1=b.oeba.例5 已知:如图点 o为aob 角平分线上一点,以 o为圆心作o与 oa 相切于点 e. 求证:o与ob 相切.证明:过点
6、 o作 ofob 于 f，连结 oe.oa 切o于点 e,oeoa 于点 e;oe 为o的半径.又点 o为aob 角平分线上的点,oe=of.o与 ob 相切.启示:关于圆中切线，常用辅助线是：（1）切点与圆心连线要领先，过切点作弦，莫忘弦切角.（2）要证一条线为圆的切线时，只要过圆心作这条线的垂线，证垂线段等于这个圆的半径.五、当题中有两圆相切时，首先考虑的是过切点作两圆的公切线，由此沟通弦切角与圆周角之间的联系.有时也作两圆的连心线，利用切点在连心线上沟通圆心距与两圆半径之间的联系.例6 已知:两圆外切于点 p,一条割线分别交两圆于 a、b、c、d 四点.求证:apd+bpc=180.证明
7、:过切点 p 作两圆的公切线 mn.则bpm=a，cpm=d.apd+a+d=180,apd+bpm+cpm=180.bpm+cpm=bpc,apd+bpc=180.例7 已知：两圆内切于点 p,大圆的弦 ad 交小圆于 b、c 两点.求证:apb=cpd.证明:过点 p 作公切线 tp.则apt=d ,bpt=bcp.apb=bpt-apt,cpd=bcp-d,apb=cpd.启示:两圆相切,过切点作公切线,再利用弦切角定理等知识解之.六、两圆相交时，作两圆的公共弦，以两圆的公共弦作为“桥梁”沟通两圆的圆周角和其他角之间的联系.例8 已知:o 1与o 2相交于 a、b 两点,e 为o 1上的
8、一点,ef 切o 1于点 e,ea、eb 的延长线交o 2于c、d 两点.求证:efcd.证明:连结 ab，则1=2.四边形 abdc 是o 2的内接四边形,2=d.1=d.efcd.启示:两圆相交，试连公共弦，有时也作连心线.七、代数、几何的综合题型.解代数、几何的综合题型时,根据问题的特点和需要,由数形结合,于数思形,以形助数,适时转化,变通.运用数形结合的思想方法,结合图形特征添加辅助线.下题是集三角形、圆、一次函数、二次函数为一体的综合性较强的试题.它要求学生不仅需要掌握必要的基础知识和较高的基本技能,而且要有较强的数形结合思想,才能在解题过程中切中要害,迎刃而解.例9 已知:如图,在
9、 rtaoc 中，直角边 oa 在 x 轴负半轴上，oc 在 y 轴正半轴上，点 f 在 ao 上,以点 f为圆心的圆与 y 轴、ac 边相切，切点分别为 o、d,f 与 x 轴的另一个交点为 e.若 tana=,f 的半径为.（1） 、求过 a、c 两点的一次函数解析式；（2） 、求过 e、d、o 三点的二次函数解析式；（3） 、证明（2）中抛物线的顶点在直线 ac 上.分析：解本题（1） （2）两问的关键是求 a、c、e、d、o 五个点的坐标.解：（1）过切点 d 作f 的半径 df，则adf=90.在 rtadf 中，由 tana=和半径 df=得 ad=2.af= ，则 ao=af+f
10、o=4.在 rtaoc 中，由 ao=4和 tana=，得 oc=3，ac=5.则 a、c 两点的坐标为:a（-4，0） ，c（0，3）.设:所求一次函数解析式为 y=kx+b.由 a、c 两点的坐标求得 k=，b=3.所求一次函数的解析式为:y=x+3.(2)过点 d 作 dgao 于 g，则 rtadgrtaco.=，即=得 dg=.由于点 d 在 ac 上，把 dg=代入 y=x+3，可求得 d 点的横坐标为:- .oe=2of=2=3,e、d、o 三点的坐标为:e（-3，0） ，d（- ， ） 、0（0，0）.设:过 e、d、o 三点的二次函数解析式为 y=ax2+bx+c.则:9a-
11、3b+c=0, a=- ,a- b+c= , b=- ,c=0, c=0 .所求二次函数解析式为:y=- x 2- x.（3）由 y=- x2 - x 易得抛物线的顶点坐标为:（- ， ）.经检验得,点（- ， ）在直线 y = x + 3上.抛物线 y=- x2 - x 的顶点在直线 ac 上.半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。
