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1、1第十二章证明知识点解析精练一、知识结构梳理：1定义： （1）概念 ；（2）分类2命题 假命题（可通过 来说明） （3）形式：命题都可写成 的形式。命题与证明 （4）互逆命题（1）公理： 3. 公理与定理（2）定理： （1）概念： 4. 证明 理解题意，画出 （2）证明命题的一般步骤 写出已知， 写出 （3）反正法知识点 11定义：对名称或术语的含义进行_,就是给出它们的定义注意：(1)定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些” 、“大概” 、 “差不多”等不能在定义中出现。（2）正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区分开来2.命题：_句子叫命题，正确的命题叫_ _
2、 ，错误的命题叫_ 。2【典型例题】例 1 下面的句子哪些是命题，哪些不是命题，为什么？（1） 我是扬州人；（2）你吃饭了吗？ （3）对顶角相等； （4）内错角相等；（5）延长线段 AB； （6）明天可能下雨； （7）若 a2b2 则 ab.例 2 已知下列命题：判断其中的真命题与假命题并说明理由。（1）同角的余角相等；（2）鸦片战争是中国近代史的开端；（3）等腰梯形是轴对称图形；（4）异号两数相加得零；（5）平行于同一条直线的两直线平行；（6）函数 的自变量 x 的取值范围是 ；1xy 1x（7）在三角形中，两边之和小于第三边。【基础巩固题】1.下列句子中,不是命题的是( )A.三角形的内角
3、和等于 180 度; B.对顶角相等;C.过一点作已知直线的垂线; D.两点确定一条直线.2.下列句子中,是命题的是( )A.今天的天气好吗 B.作线段 ABCD; C.连结 A、B 两点 D.正数大于负数3.下列命题是真命题的是( )A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角; B.两互补的角一定是邻补角C.如果 a2=b2,那么 a=b; D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等4.下列命题是假命题的是( )A.如果 ab,bc,那么 ac; B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于 60C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等; D.矩形的对角线相等且互相平分5.写出下列命题的条件和结论
4、:(1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;(2)如果两个三角形全等,那么它们对应边上的高也相等；（3）绝对值等于 3 的数是 3；3（4）如果DOE=2EOF，那么 OF 是DOE 平分线。6.判断下列命题的真假:(1)一个三角形如果有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形;(2)如果a=b,那么 a3=b3.（3）如果 AC=BC,那么点 C 是 AB 的中点7.指出下面命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题,请举出反例.如果等腰三角形的两条边长为 5 和 7,那么这个等腰三角形的周长为 17.8对于同一平面内的三条直线 a,b,c 给出下列五个论断：（1）ab;（2）bc;
5、（3）ab;（4）ac;（5）ac 以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个正确的命题（至少写出 5 个）9.我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,如果我们把一个真命题的条件变结论,结论变条件,那么所得的是不是一个真命题?试举例说明.【知识点 2】问题 1：如何用推理的方法证实“同角的补角相等”的正确性呢？(1)这个命题的条件是 结论是 (2)你能根据命题的条件画出相应的图形吗？(3)解： 归纳：用推理的方法证实真命题的过程叫做证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）.已经证明的定理也可作为以后推理依据.4【典型例题】例 1、如何证明“对顶角相等”已知：如图
6、直线 AB、CD 相交于点 O.求证：1=2.证明与图形有关的命题，一般有哪几个步骤？(1) (2) (3) 例 2 证明：内错角相等，两直线平行.已知：如图，直线 a、b 被直线 C 所截，1= 2.求证 ab.证明：尝试：证明“同旁内角互补，两直线平行”.已知：求证：证明：【基础巩固题】 1.已知：如图，BAD=DCB,1=3.求证：ADBC.abc32152.证明：同角的余角相等.3.已知：如图，1=2，CE 平分ACD.【知识点 3】已知：如图，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，ABCD.求证：1=2.两种证明方法：分析法、 综合法.证明 1： 证明 2：【典型例题】例 1. 根据
7、“两直线平行，内错角相等” ，画出相关的图形，并根据所画图形写出已知、求证.已知：求证：证明：321A BC DEFcda b543216例 2. 已知：如图 ab，c d，1=50.求证：2=130.【基础巩固题】 1. 如图 1，下列推理正确的是( )A. MANB，1= 3B. 2=4，MCNDC. 1=3，MANBD. MCND ，1= 32. 如图 2，ABCD，A=25，C=45，则E 的度数是( ) A. 60 B. 70C. 80 D. 653. 已知：如图 3，ADBC，B=D.求证:ABCD.4. 已知：如图 4，ADBC ，ABC=C ，求证：AD 平分EAC.图2A B
8、EC D图3D CA B图4B CAE D7【知识点 4】1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 1802. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.内角和的证明：1已知：ABC.求证：A+ B+C=180 .证明：2. 画ACE=A 是否也可以证明:A+ B+ACB=180？3. 你还有不同的证明方法吗？与同学交流.例如：过点 A 作 EFBC.外角和的证明：思考：如图， 是ABC 的一个外角， 与ABC 的内角有怎样的大小关系？21AB C DEAB CEAB CE FAB C8【典型例题】如图，梯形 ABCD 中，ADBC，
9、B=C ，求证：梯形 ABCD 是等腰梯形.【基础巩固题】 1.如图 1，ABCD，（1）A、P 、C 三角之间存在怎样的关系？用两种方法证明你的结论.（2）如果将 P 点向右移，如图 2， ABCD，此时A、P、C 三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.2.如图，ABC 中，AB=AC ，求证B=C.3.求证：六边形的内角和为 720.图1A BC DP图2A BC DPB CA21EA DB C9【知识点 5】1.两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的，而第一个命题的结论又是第二个命题的，那么这两个命题叫做。2.每个命题都有逆命题吗？3.判断一个命题是假命题，只需。4.原命题成立
10、，它的逆命题一定成立吗？。请举一例：。【典型例题】例 1.指出下列命题中的互逆命题（1） 直角都相等（2） 同位角相等，两直线平行（3） 如果 a+b0, 那么 a0,b0（4） 两直线平行，同位角相等（5） 相等的角都是直角（6） 如果 a0,b0, 那么 ab0例 2.写出下列命题的逆命题，并指出其真假（1）若 ab=0,则 a=0 （2）角平分线上的点到这个角的两边相等（3）等腰三角形两底角相等（4）四边相等的四边形是菱形例 3. 用符号“ ”写出下题的证明过程：已知：CE 为ABC 外角ACD 的平分线，CE 交 BA 的延长线于 E.求证：BACBDB CEA10【基础巩固题】 1.
11、判断(1)每一个命题都有逆命题( )(2)如果原命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题( )(3)原命题是假命题，但它的逆命题可能是真命题( )2.下列命题同旁内角互补，两直线平行；全等三角形的周长相等；直角都相等；等边对等角。它们的逆命题是真命题的个数是( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3.判断下列命题：等腰三角形是轴对称图形；若 a1 且 b1，则 a+b2全等三角形对应角的平分线相等；直角三角形的两锐角互余其中逆命题正确的有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个4.写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假.(1)如果|a|=|b|，那么 a=b
12、； (2)如果 a0，那么 a20；(3)等角的补角相等； (4)全等三角形的面积相等.5. 举反例说明下列命题是假命题.(1)如果 a+b0，那么 a0，b0；(2)面积相等的三角形是全等三角形.(3)4 条边相等的四边形是正方形.(4)相等的角是对顶角.(5)两直线被第三条直线所截,同位角相等.(6)两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.6.如图，ABC 中，AB=AC ， 求证B=C.B CA11图3 DCBAP图4PDCBAODCNMQPBA7.如图 1，ABCD，（1）A、P 、C 三角之间存在怎样的关系？用两种方法证明你的结论.（2）如果将 P 点向右移，(如图 2) ABCD，此时A、P、C 三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.(3) 如果将 P 点移到图 3 和图 4 的位置，此时A 、P、 C 三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.8.小明用下面的方法画出了 45角：作两条互相垂直的直线 MN、PQ，点 A、B 分别是MN、PQ 上任意一点，作ABP 的平分线 BD，BD 的反向延长线交 OAB 的平分线于点C，则C 就是所求的 45角。你认为对吗？请给出证明。图1A BC DP图2A BC DP12
