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1、2.1.2直线的方程第 1 课时直线的点斜式方程明目标、知重点 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题直线的点斜式方程和斜截式方程类别 点斜式 斜截式适用范围 斜率存在已知条件 点 P(x0，y 0)和斜率 k 斜率 k 和在 y 轴上的截距 b图示方程 yy 0k(xx 0) ykx b截距 直线 l 与 y 轴交点(0，b)的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距.情境导学 给 出一定点 P0 和斜率 k，直 线就可以唯一确定了如果设点 P(x，y)是直线上的任意一点，那么，如何建立 P
2、 和 P0 点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题探究点一直线的点斜式方程思考 1求直线的方程指的是求什么？答就是求直线上任意一点的坐标(x，y)满足的关系式思考 2如图，直线 l 经过点 P0(x0，y 0)，且斜率为 k，设点 P(x，y) 是直线 l 上不同于点 P0的任意一点，怎样建立 x，y 之间的关系？答由斜率公式得 k ，即 yy 0k(xx 0)y y0x x0思考 3过点 P0(x0，y 0)，斜率是 k 的直线 l 上的点，其坐标都满足思考 2 中得出的方程吗？为什么？答其坐标都满足方程 yy 0k (xx 0)；由思考 2 中的推导过程可知思考 4坐标满足方程 y
3、y 0k (xx 0)的点都在过点 P0(x0，y 0)且斜率为 k 的直线上吗？为什么？答都在这是因为若点 P1(x1，y 1)的坐标 x1，y 1 满足方程 yy 0k( xx 0)，即y1y 0k(x 1x 0)，若 x1x 0，则 y1y 00，即 y1y 0，说明点 P1 与 P0 重合，于是可得点P1 在直线 l 上；若 x1x 0，则 k ，这说明过点 P1 和 P0 的直线的斜率为 k，于是可y1 y0x1 x0得点 P1 在过点 P0(x0，y 0)且斜率为 k 的直线上小结由上述思考 2 和思考 3 的讨论可知，方程 yy 0k(x x 0)就是过点 P0(x0，y0)且斜
4、率为 k 的直线的方程方程 yy 0k(xx 0)由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式思考 5如何求 x 轴所在的直线方程？如何求出经过点 P0(x0，y 0)且平行于 x 轴的直线方程？答由于 x 轴过坐标原点(0,0)，且倾斜角为 0，即 ktan 00，将点(0,0)及 k0 代入直线的点斜式得 y0；因所求直线 l 平行于 x 轴，所以 ktan 00，将(x 0，y 0)及 k0 代入直线的点斜式得 yy 00，即 yy 0.思考 6y 轴所在的直线方程是什么？如何求过点 P0(x0， y0)且平行于 y 轴的直线方程？答y 轴所在的直线方程为 x0；
5、由于直线 l 平行于 y 轴，所以直线 l 斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示因为这时直线 l 上每一点的横坐标都等于 x0，所以它的方程是xx 00，即 xx 0.例 1直线 l 经过点 P0(2,3)，且倾斜角 45，求直线 l 的点斜式方程，并画出直线 l.解直线 l 经过点 P0(2,3) ，斜率是 ktan 451，代入点斜式方程得 y3x 2.画图时，只需再找出直线 l 上另一点 P1(x1，y1)，例如，取 x11，y 14，得 P1 的坐标为(1,4)，过 P0，P1 的直线即为所求，如图：反思与感悟由点斜式写直线方程时，由于 过 P0(x0，y0)的直线有无数条，大致可分为
6、两类：(1)斜率存在时方程为 yy 0k(xx 0)；(2)斜率不存在时，直线方程为 xx 0.跟踪训练 1一条直线经过点 P(2,3) ，斜率为 2，求这条直线的方程解直线经过点 P(2,3) ，且斜率为 2，代入点斜式，得：y32(x2)，即 2xy70.探究点二直线的斜截式方程思考 1已知直线 l 的斜率为 k，且与 y 轴的交点为(0，b) ，得到的直线 l 的方程是什么？答将 k 及点(0，b)代入直线方程的点斜式得： ykxb.小结我们称 b 为直线 l 在 y 轴上的截距方程 ykxb 由直线的斜率 k 与它在 y 轴上的截距 b 确定，所以这个方程也叫做直 线的斜截式方程思考
7、2直线 ykxb 在 y 轴上的截距 b 是直线与 y 轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？答不是直线与 y 轴交点到原点的距离，是直线 ykxb 与 y 轴交点的纵坐标，截距 b 的取值范围是 R.思考 3一次函数的解析式 ykxb 与直线的斜截式方程 ykxb 有什么不同？答一次函数的 x 的系数 k0，否则就不是一次函数了；直线的斜截式方程 ykx b 中的k，可以为 0.例 2求过点(0,1)，斜率为 的直线的方程12解直线过点(0,1)，表明直 线在 y 轴上的截距为 1，又直线斜率为 ，由直线的斜截式方程，12得 y x1.12即 x2y20.反思与感悟已知直线的斜率和它在
8、y 轴上的截距求直线的方程，往往设直线方程的斜截式跟踪训练 已知直线 l 的斜率为 ，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形，求 l 的方16程解设直线方程为 y xb，则 x0 时， yb；16y0 时，x6b.由已知可得 |b|6b|3，12即 6|b|2 6，b1.故所求直线方程为 y x1 或 y x1，16 16即 x6y60 或 x6y60.1方程 yk(x 2)表示_通过点(2,0)的所有直线；通过点(2,0)的所有直线；通过点(2,0)且不垂直于 x 轴的所有直线；通过点(2,0)且除去 x 轴的所有直线答案解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于 x 轴2
9、(1)已知直线 l 过点 P(2,1)，且直线 l 的斜率为直线 x 4y30 的斜率的 2 倍，则直线l 的方程为_(2)过点(2,1)且平行于 x 轴的直线方程为_，且平行于 y 轴的直线方程为_，且过原点的方程为_答案(1)x2y0(2)y1x2x 2y0解析(1)由 x4y30，得 y x ，其斜率 为 ，14 34 14故所求直线 l 的斜率为 ，又直线 l 过点 P(2,1)，12所以直线 l 的方程为 y1 (x2) ，即 x2y0.12(2)平行于 x 轴的直线斜率 k0，且 过点(2,1) 的直线方程为 y1；过点(2,1)且平行于 y 轴的直线方程为 x2；过点(2,1)与
10、点(0,0)的直线斜率 k ，12其方程为 y x，即 x2y 0.123写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点 A(2,5)，且与直线 y2x7 平行；(2)经过点 C(1，1)，且与 x 轴平行解(1)由题意知，直线的斜率为 2，所以其点斜式方程为 y52(x2)(2)由题意知，直线的斜率 ktan 00，所以直线的点斜式方程为 y(1) 0，即 y1.呈重点、现规律1求直线的点斜式方程的方法步骤2直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别(2)直线的斜截式方程 ykxb 不仅形式简单，而且特点明显， k 是直线的斜率，
11、 b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了 k 和 b 的值，直 线的图象就一目了解因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为 斜截式方程，利用 k，b 的几何意 义进行判断.一、基础过关1已知直线的倾斜角为 60，在 y 轴上的截距为2，则此直线方程为_答案y x23解析直线的倾斜角为 60，则其斜率为 ，3利用斜截式直接写方程2已知直线的方程是 y2x1，则下列结论正确的为_直线经过点(1,2)，斜率为1；直线经过点(2，1)，斜率为1；直经经过点(1，2)，斜率为1；直线经过点(2，1)，斜率为 1.答案解析方程变形为 y2(x1)，直线过点(1，2)，斜率为1.3已知直线 l1：
12、y x a，l 2：y ( a23)x1，若 l1l 2，则 a 的值为_12答案2解析因为 l1l 2，所以 a231，a 24，所以 a2，又由于 l1l 2，两直线 l1 与 l2 不能重合，则 a1，即 a2，故 a2.12下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线 yax 与 yxa 正确的是_答案解析当 a0 时，直线 yax 的倾斜角为锐角，直线 y xa 在 y 轴上的截距为a0，都不成立；当 a0 时，直线 yax 的倾斜角为 0，所以，都不成立；当 a0 时，直线 yax 的倾斜角为钝角，直线 yxa 的倾斜角为锐角且在 y 轴上的截距为 a0，只有成立将直线 y 3x 绕原
13、点逆时针旋转 90，再向右平移 1 个单位长度，所得到的直线为_答案y x13 13解析直线 y3x 绕原点逆时针旋转 90所得到的直线方程为 y x，再将该直线向右平13移 1 个单位得到的直线方程为 y (x1)，13即 y x .13 136直线 yax3a2(aR)必过定点_答案(3,2)解析ya(x3)2，即 y2a(x3)直线过定点(3,2)7求满足下列条件的直线方程：(1)过点 P(4,3)，斜率 k3；(2)过点 P(3，4)，且与 x 轴平行；(3)过点 P(5，2)，且与 y 轴平行；(4)过 P(2,3)，Q(5，4) 两点解(1)直线过点 P(4,3)，斜率 k3，由直
14、线方程的点斜式得直线方程为 y33(x4)，即 3xy90.(2)与 x 轴平行的直线，其斜率 k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)0(x 3)，即 y4.(3)与 y 轴平行的直线，其斜率 k 不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为 5，故直线方程为 x5.(4)过 P(2,3)，Q(5，4) 两点的直线斜率 kPQ 1. 4 35 2 77又直线过点 P(2,3) ，由直线方程的点斜式可得直线方程为 y31(x2)，即 xy10.二、能力提升8集合 A 直线的斜截式方程 ，B一次函数的解析式，则集合 A、B 间的关系是_答案B A解析一次函数 ykxb( k0)；直线的斜截式方程 ykxb 中 k 可以是 0，所以 BA.9直线 kxy13k 0 当 k 变化时，所有的直线恒过定点_答案(3,1)解析直线 kxy13k 0 变形为 y1k(x3) ，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)10已知直线 y(3 2k)x6 不经过第一象限，则 k 的取值范围为_答案k32解析由题意知，需满足它在 y 轴上的截距不大
