2012届高三数学一轮复习 7.3 分类讨论思想学案

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1、用心 爱心 专心 - 1 -专题七：思想方法专题第三讲 分类讨论思想【思想方法诠释】1分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题） ，优化解题思路，降低问题难度2分类讨论的常见类型：（1 ）由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等（2 ）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n

2、项和公式、函数的单调性等（3 ）由数学运算引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等（4 ）由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等（5 ）由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法3分类讨论的一般流程：【核心要点突破】要点考向 1：根据数学概念的要求分类讨论（概念型）例 1：设 00 且 a1 ，比较|log a

3、(1x)|与|log a(1x)|的大小。用心 爱心 专心 - 2 -注：本例是由对数函数的概念内涵引发的分类讨论，我们称为概念分类型由概念内涵分类的还有很多，如绝对值：|a|的定义分为 a0、a0、a=0 三种情况；直线的斜率分为：倾斜角 ，斜率 k 存在，倾斜角 ，斜率不存在；指数、对数函数：与 ，可分为 两种类型；直线的截距式分：直线过原点时为 y=kx，不过原点时为 等要点考向 2：根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论例 2：设等比数列 a n的公比为 q ，前 n 项和 S n0（ n =1 , 2 , 3 ,）.（1）求 q 的取值范围；（2）设 b n= a n+2 -

4、 3a n+1 ,记 b n的前 n 项和为 T n ，试比较 S n与 T n的大小 .思路精析：要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前 n 项和的公式时，由于公式的要求，分 q1 和 q1 两种情况注：（1）一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列用心 爱心 专心 - 3 -的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论（2 ）分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式两边同乘以一个数是否

5、为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题、差值比较中的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等（3 ）在构建数学模型解决实际问题的过程中，往往由于实际问题中存在的诸多情况而引起分类讨论，特别在近几年高考中概率的计算有很多题目渗透了分类讨论的思想，解题目时要注意分类的原则是“不重不漏” 要点考向 3：根据字母的取值情况分类讨论例 3：设函数 f(x)ax 22x2，对于满足 10，求实数 a 的取值范围。【解析】当 a0 时，f(x)a（x 1a） 22 120af ()或4120fa()或146820af () a1

6、 或 1 ；当 a0 时，fa()20468 ，解得 ；当 a0 时，f(x)2x2, f(1)0，f(4)6， 不合题意注：题目中含有参数的问题（含参数型） ，主要包括：（1）含有参数的不等式的求解；（2 ）含有参数的方程的求解；（3 ）对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题；（4 ）二元二次方程表示曲线类型的判定等求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论讨论时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想要点考向 4：根据图形位置或形状变动分类讨论例 4：在 xoy 平面上给定曲线 y22x，设点 A(a,0)，a

7、R，曲线上的点到点 A 的距离的最小值为 f(a)，求 f(a)的函数表达式。 用心 爱心 专心 - 4 -注：一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中敬意的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等【跟踪模拟训练】一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）1已知双曲线的渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ）2已知函数 的定义域的 R，则实数 a 的取值范围是（ ）3正三棱柱的侧面展开图是两边长分别为 2 和 4 的矩形，则它的体积为（ ）4.“直线 l 在

8、y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍”是“直线 l 的斜率等于-2”的（ ）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件用心 爱心 专心 - 5 -(D)既不充分也不必要条件5对任意两实数 a、b,定义运算“*”如下：a*b= ,则函数的值域为（ ）6.如图所示，在AOB 中，点 A（2，1） ，B（3，0） ，点 E 在射线 OB 上自 O 开始移动.设 OE=x,过E 作 OB 的垂线 l，记AOB 在直线 l 左边部分的面积为 S，则函数 S=f（x）的图象是（ ）二、填空题（每小题 6 分，共 18 分）7设 为椭圆 的两个焦点P 为椭圆上一点已知 P， 是一个直角三

9、角形的三个顶点，且 ，则 的值为 8.过点 M(2,4)向圆(x-1) 2+(y+3)2=1 作切线，所得切线方程是_.9.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 b、c,则方程 x2+bx+c=0 有实根的概率为_.三、解答题（10、11 题每题 15 分，12 题 16 分，共 46 分）10已知函数 （a0）定义域为 ，值域为-5，1，求常数 a,b 的值。11已知函数 用心 爱心 专心 - 6 -（1）求 f(x)的单调区间；（2）若方程 f(x)=0 有三个不等实根，求 a 的取值范围12.已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn=23n+k(kR,nN *)，（1）求数列a n

10、的通项公式；（2）设数列b n满足 Tn 为数列b n的前 n 项和，试比较 3-16Tn 与4(n+1)bn+1 的大小，并证明你的结论.参考答案1 解析：选 D因为渐近线方程为 当 即： ，得：，当 ，即： ，得 ，综上 2【解析】选 C.当 a=0 时，f(x)有意义，当 a0 时，由 ax2+ax-30,得 =a 2+12a0,即-12a0.综合得-12a0.3【解析】选 D分两种情况分别计算得： 4【解析】选 B.若直线 l 的斜率等于-2，则直线 l 在 y 轴上的截距一定是它在 x 轴上的截距的 2 倍；但当直线 l 在 y 轴上的截距是它在 x 轴上的截距的 2 倍时，其斜率不

11、一定等于-2，因为直线 l 可以经过原点，其斜率可以为任意值.所以“直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍”是“直线 l 的斜率等于-2”的必要不充分条件.5 解析：选 A根据题目给出的情境可得，由于 的图象在定义域上为增函数，可得 f(x)的值域为（-，06【解析】选 D当 0x2 时, = ,是开口向上的抛物线,且 f(2)=1;当x3 时,用心 爱心 专心 - 7 -是开口向下,以 为顶点的抛物线当 x3,f(x)是确定的常数,图象为直线7【解析】若 ,则解得若 则综上知, 答案: 8【解析】 （1）当斜率 k 不存在时，x=2 符合题意；（2）当斜率 k 存在时，则

12、切线方程为 y-4=k(x-2),即 kx-y-2k+4=0,圆心（1，-3）到切线的距离为 解得 k= ,即切线方程为 24x-7y-20=0.综上，切线方程为 x=2 或 24x-7y-20=0.答案：x=2 或 24x-7y-20=09【解析】一枚骰子掷两次，其基本事件总数为 36，方程有实根的充要条件为 b24c.由此可见，使方程有实根的基本事件个数为 1+2+4+6+6=19，于是方程有实根的概率为 P= .用心 爱心 专心 - 8 -答案：10 解析： 11【解析】(1) f(x)=x 2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1).当 a=1 时，f(x)=(x-1) 20,f(x)

13、的单调递增区间是(-,+);当 a1 时，f(x)0 的解集是(-,a)(1,+),f(x)的单调递增区间是(-,a)和(1,+)，单调递减区间是(a,1);当 a1 时，f(x)0 的解集是(-,1)(a,+),f(x)的单调递增区间是(-,1)和(a,+),单调递减区间是(1,a).（2）方法一： 有一个根是 0，f(x)有三个不等实根等价于方程 2x2-3(a+1)x+6a=0 有两个不等于 0 的相异实根由此得 解得a 的取值范围是方法二：由（1）知，当 a=1 时，f(x)在（-，+）上递增，f(x)=0 只有一个实根；当 a1 时， ，由 f(x)=0 有 3 个实根知 ， 且 ，

14、解得 ；当 a1 时， ，由 f(x)=0 有 3 个实根知 0 且 ，解得 a3;用心 爱心 专心 - 9 -综上：a 的取值范围是 12【解析】 （1）由 Sn=23n+k(kR,nN *)得n2 时，a n=Sn-Sn-1=43n-1，a n是等比数列,a 1=S1=6+k=4，k=-2，得 an=43n-1(nN *).用心 爱心 专心 - 10 -【备课资源】1.已知集合 A=2,3,4,B=2,4,6,8,C=(x,y)|xA,yB,且 logxyN *,则 C 中元素个数是（ ）(A)9 (B)8 (C)3 (D)4【解析】选 D.由题意,x 可取的值有 2,3,4 三种可能.当

15、 x=2 时，y 可以取 2，4，8 三个数，得到 C 中元素 3 个；当 x=3 时，没有 y 的值满足题意；当 x=4 时，y 可以取 4，得 C 中元素 1 个.故 C 中元素的个数为 3+0+1=4 个.3.将长为 15 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形，求得到的不同三角形的个数.【解析】可采用分类讨论的方法，若最小段长为 1，则三角形三边长可为 1，7，7；若最小段长为 2，则有 2，6，7；若最小段长为 3，则有 3，5，7；3，6，6；若最小段长为 4，则有4，4，7；4，5，6；若最小段长为 5，则有 5，5，5.共 7 种不同情况.得到的不同的三角形的个数为 7.用心 爱心 专心 - 11 -用心 爱心 专心 - 12 -用心 爱心 专心 - 13 -用心