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1、多重约束下 的动物群 落发 展模型顾闻阳，丁根宏，郑强（河海大学 理学院， 南京 2111 00）5 摘要：本文分 别用差分 模型、 改进的 leslie 人口模 型、计算机 模拟法对 多重约束 下的动物 群落发展模 型进行构 建，搜集 数据并进 行模型仿 真。 并运用 MATLAB 软 件，圆满 地回答了 有 关动物群落 稳定发展 的若干问 题， 并 以数据和 图形联 合显示结果 。 最后还 将模型 进行了分 析 与比较，并 推广，具 有广泛的 实用价值 。 关键词：应用 数学；建 模；多重 约束；动 物群落 ；差 分；leslie 模型；计 算机模拟10The Development Mo
2、del of Animal Communities underMultiple ConstraintsGU Wenyang, DING Genhong, ZHENG Qiang(Science Institute of Hohai University, NanJing 211100)15 Abstract: We use the differential model, improved leslie population model and computersimulation to build the development model of animal communities unde
3、r multiple constraints with collection of data and the model simulation. And using MATLAB software to answer some questions about the stable development of animal communities satisfactorily, and the joint display of data and graphical results. Finally, the model will also be a promotion, a wide rang
4、e of practical20 value.Keywords:Applied Mathematics; Modeling; multiple constraints; animal communities; difference;leslie model; computer simulation0 引 言25 前人对群落 的研究已 有很长时 间， 这其 中包括 人类群 落， 也包括 动植物群 落。 群 落的属 性不同， 研究的 方法不同， 所得的 结 果自然也 不同 。 但无论结果 如何， 对我们 人类自身 的发 展以及其它 物种而言 ， 都具有 很强的指 导意义 。 本文 的主题已被 人研
5、究过 ， 但我们 在前人的 研究基础上， 引 入了很多 改进， 并运 用先进的 计算 机 操作， 得出了不 一样的结 果， 由于约 束 很强， 结论 与实际 情 况较为符 合。 在 结果的表 达的表 达方面， 我 们采用计 算机模拟 生成的图30 像进行辅助 ， 结果更 加直观和 易于理解 ， 对方 法和结 果的推广方 面也产生 了积极的 作用。 本 次进一步研 究的意义 还在于我 们将不同 的模型进 行分 析与比较并 对结论进 行了扩展 ， 使其 适 用面更广。 我们相信 我们的工 作会产生 积极的影 响并 给后人以启 迪。1 建 立模 型的初 始条件要对未来某 段时间的 动物群落 进行预测
6、 ， 首先 ， 需要 获得往年的 相关数据 并在此基 础上35 进行分析。 数据的查 询工作可 以利用网 络、 图 书馆资 源等。 考虑 到不同动 物在这一 问题上具 有一定的相 似性， 我 们仅以 大象物 种 为例。 以 下是某 公园某一段 时间内每 年人工移 走的大象 统计 （此公园中 大象稳定 在 11000 头左右， ） ， 我 们 将以此为原 始数据， 从而 对未来 某段时 间内的大象 群落进行 预测，如 表 1 所示 。作 者 简 介 ： 顾 闻 阳 ，（ 1989-） ， 男 ， 学 生 ， 主 要 研 究 方 向 ： 应 用 物理通 信 联 系 人 ： 丁 根宏 ， （ 196
7、2-） ， 男 ， 副 教 授 ， 主 要 研 究 方 向 ： 最 优 化 方 法 ， 图 论 及 其 应 用 ， 算 法 设 计 及 进化 算法 计算 ，水 资源 系统 规划 . E-mail: 表 1： 大 象 的 年 龄 和 性 别 统 计表前 一 年 的 情况 前 两 年 的 情况年龄 大象头数母象头数年龄 大象头数母象头数年龄 大象头数母象头数年龄 大象头数母象头数1 0 0 31 3 0 1 0 0 31 13 72 0 0 32 5 2 2 20 10 32 16 123 0 0 33 8 5 3 21 12 33 13 64 3 2 34 12 3 4 13 3 34 10 6
8、5 4 1 35 10 4 5 12 5 35 10 06 7 2 36 3 1 6 13 4 36 12 87 20 10 37 7 3 7 22 4 37 16 58 9 2 38 14 2 8 14 7 38 12 29 15 7 39 10 0 9 40 21 39 10 410 9 3 40 16 12 10 14 8 40 12 611 22 12 41 21 11 11 26 10 41 19 1012 3 1 42 13 4 12 13 10 42 13 713 23 13 43 10 6 13 14 4 43 24 1014 5 2 44 12 4 14 27 12 44 1
9、7 1015 13 6 45 6 4 15 3 1 45 16 416 21 10 46 3 2 16 14 3 46 25 1217 0 0 47 6 0 17 12 8 47 12 318 22 12 48 9 3 18 20 10 48 45 2319 14 6 49 13 2 19 25 11 49 23 1220 5 4 50 10 4 20 17 14 50 34 1021 13 7 51 3 1 21 14 10 51 13 922 10 5 52 6 4 22 10 7 52 16 423 0 0 53 21 11 23 0 0 53 10 424 13 5 54 15 6 2
10、4 2 0 54 17 725 30 12 55 4 1 25 3 0 55 13 326 14 6 56 13 4 26 4 2 56 13 627 12 5 57 10 5 27 4 2 57 12 328 0 0 58 32 12 28 3 1 58 3 229 20 10 59 14 8 29 2 1 59 22 1130 6 5 60 0 0 30 3 0 60 20 10402 建 模过 程中的 假设1、 大象的性 别比也非 常接近于 1： 1， 且采 取了措施 维持这个性 别比， 新出 生的幼象 的 性别比也在 1：1 左右 ；2、 母象 在 11 岁 时开始有 繁殖能力 ， 每
11、 3.5 年产 下一 头小象 （对总体 保持稳定 ） ， 而双45 胞胎的机会 接近于 1.35%， 每次怀孕 期为 22 个月， 到 60 岁为止 ；3、只考虑 160 岁 年龄段的 象，大象 的最高年 龄为 70 岁，此时的 死亡率 为 100%；4、 假设新生 的幼象的 存活率为 75%， 但是其后 的存 活率很高， 要 超过 95%， 并 且这个 存活率在各 个年龄段 都是相同 的，一直 到 60 岁 左右 ；5、注射避孕药会使一 头成熟母象在 两年内不会受 孕 ，注射避孕药会使母 象每月发情 ，50 但不会怀孕 。象通常 在 3.5 年 中仅仅求 偶一次， 因此 不会引起其 它附加的
12、 反应；6、公园中没 有偷猎者 的存在；7、在没有人 为干预的 情况下， 每年要减 少 600800 头象，才 能 使象群稳 定。3 论 文 中 出现 的 相关 符 号 释 义M i ： 第 i 年的大象总数；55 a ：每年移走 的大象数 ； ： 1 60 岁大象的 成活率；x ：每年打避 孕药的成 熟母象数 ； M i ：第 i 年各年龄段分布 列矩阵； M I ：大象的 年 龄结构；60 M 0 ：两年样本 各年龄段 60 1 分布矩阵 ；A ：不注射避 孕药时的 Leslie 矩阵；A1 ：注射避孕 药时的 Leslie 矩阵；bi ： 第 i 个年龄段的出生 率。4 模 型的 建立与
13、 求解65 4.1 差分方程模型4.1.1 对稳定群落的分 析用 EXCEL 处理初始 数据， 画出各个 年龄段的 饼图， 观察其大致 的分布， 如下：图 1 大 象 各 年 龄 段 饼图70观察饼图发 现， 各个 年龄段 所占的比 例相当， 这在直 观上给了我 们对大象 群落的初 步认识，为了更 好地从数 据中提取 有用信息 ，我们做 进一 步的分析。 运用数理统计的知识进行分析。对总体 X 的分布，数字特征及其参数做出推断。为了求出总体 X 的近似分布函数，我们引进所谓的“经验分 布函数”。设 ( x1 , x2 ,，x n ) 是来75 自总体 X 的样本 ( X1 , X 2 ,，X
14、n ) 的一个观察值， N (xi : xi x) 为满足不等式 xi x 的xi 的个数 (i 1, 2,， n) ， x 为任意实数 。则我们 称Fn ( x) N (xi : xin x)为总体 X 的经验分布函 数或样本 分布函数 1。利用 MATLAB 画出题中所给数据 的 经验函 数 分布图 2，如下（见图 2） ：大象数150010005000 0 10 20 30 40 50 60年 龄 段80图 2 经 验 函 数 分 布 图 及 其 直 线 拟合从散点图可 以看出， 这一经 验分布函 数有较强 的规律 性， 故用直 线对上面 的离散 图像进行拟合，得 到拟合直 线的方程 为
15、： y 24.5168x 13.3277 。85 在建立这一 模型之前 ， 先假 设大象在 各年龄段 的分布 率不变， 并 采取措施 维持这 一年龄结构。从对 数据的分 析可知， 拟合直线 的斜率为 24.5168，即 k tan M 0 24.5168 ，1得到 M 0 24.5168 ， 即在样本中各 个年龄的 大象数目 都近似为 24.5168 头。 在样本中共 有 大象 1498 头， 下面就 着手从样 本的性质 推测出总 体 的性质。从 假设可知 ，只 有 11 到 60 的 大象有生育 能力，即 大象可以 生育的时 限为 50 年； 与此同时， 只有母象 有繁育能 力，而母90 象
16、的数目占 总数的一 半， 综上即可 以得到 在 11000 头 象的群落中， 160 岁年 龄段大象 数为：24.5168 11000 50 1 。 再结合母 象平均 3.5 年 产下 一个幼 象 ，以及 新生的 幼象的 存活1498 2率为 75%，即可得 到一年后 新增幼 象 数为： 24.5168 11000 50 0.5 1 0.75 ，为了1498 3.5保持象群的 总数稳定 在 11000 头，即可 得到如下 的等 式：11000 24.5168 11000 50 0.5 1 0.75 11000 7001498 3.595 其中 700 为每年移 走的大象 头数。解 上述方程 ，得到 0.975959 ，这就意味 着，当2 岁到 60 岁 之间的 象 的存活 率 为 97.5959%
