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1、大学物理习题及解答习题一1-1 r 与 有无不同? tdr和 有无不同? tdv和 有无不同?其不同在哪里?试举例说明解：（1） 是位移的模， r是位矢的模的增量，即 r12，12rv；（2） td是速度的模，即 tdvts.tr只是速度在径向上的分量.有 r（式中 r叫做单位矢） ，则 trtddr式中 td就是速度径向上的分量， tr与不同如题 1-1 图所示. 题 1-1 图(3) tdv表示加速度的模，即 tvad， 是加速度 a在切向上的分量.有 (表轨道节线方向单位矢） ，所以 tvt式中 dtv就是加速度的切向分量.( trQ与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)1-2 设质
2、点的运动方程为 x= (t)， y= (t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r 2，然后根据 v= trd，及 a 2dtr而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即v=22dtytx及 a=22dtytx 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 jyixrv， jtyitxravv22dd故它们的模即为 2222dtytxattvyxyx而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 2dtratrv其二，可能是将 2dtr与误作速度与加速度的模。在 1-1
3、 题中已说明trd不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样， 2dtr也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分 22dtrta径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 rv在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 r及速度 的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3 一质点在 xOy平面上运动，运动方程为=3t+5, y= 21t2+3 -4.式中 t以 s 计， , 以 m 计(1)以时间 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出 =1 s 时刻和 2s 时刻的位置矢量，计算这1 秒内质点的位移；(3)计算 t0 s 时刻到 t4s 时刻内的平均速度；(4)
4、求出质点速度矢量表示式，计算 t4 s 时质点的速度；(5)计算t 0s 到 t4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)解：（1） jtitrvv)4321()53(m(2)将 1t, 2代入上式即有 jirv5.081m42jv.3(3) jirjrv167,40 14 s53201jitv(4) 1sm)3(djtitrvv则 jiv734 1sm(5) jiv,40241jtva(6) sdjtva这说明该点只有 y方向的加速度，且为恒量。1-4 在
5、离水面高 h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸 S 处，如题 1-4 图所示当人以 0v(m 1s)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小图 1-4解： 设人到船之间绳的长度为 l，此时绳与水面成 角，由图可知22sh将上式对时间 t求导，得ttld题 1-4 图根据速度的定义，并注意到 l,s是随 t减少的， tsvtlvd,d0船绳即 cos0s船或 vhlv2/120)(船将 船v再对 t求导，即得船的加速度 32020 020)(ddsvhsl vsltsltva船船1-5 质点沿 x轴运动，其加速度和位置的关系为 a2+6 2x， a的单位为 2sm， 的单位为 m. 质
6、点在 x0 处，速度为 10 1sm,试求质点在任何坐标处的速度值解： xvttvadd分离变量： xdx)62(两边积分得 cv321由题知， 0x时， 0, 5 13sm2xv1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a4+3 t2s，开始运动时， x5 m， =0，求该质点在 t10s 时的速度和位置解： tv34d分离变量，得 )(积分，得 12ctv由题知， 0t,v, 01c故 234t又因为 dtxv分离变量， ttx)234(d积分得 2321ctx由题知 0t, 5, 2c故 5213tx所以 s10t时 m705120s94310 12xv1-7 一质点沿半径为 1 m 的
7、圆周运动，运动方程为 =2+3 3t，式中以弧度计， t以秒计，求：(1) t2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成 45角时，其角位移是多少?解： tt18d,9d2(1) s2t时， 2sm3618Ra 22)(n(2)当加速度方向与半径成 45角时，有145tann即 R2 亦即 t18)9(2则解得 93t于是角位移为rad67.293t1-8 质点沿半径为 的圆周按 s20btv的规律运动，式中 s为质点离圆周上某点的弧长, 0， 都是常量，求：(1) t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于 解：（1） btvts0dRtvan202)(
8、则 2422bt加速度与半径的夹角为 20)(arctnbtv(2)由题意应有 2402Rtb)sin(2coi0tRtvtx即 0)(,)(402402 btvRbtvb当 bvt0时， a1-9 半径为 R的轮子，以匀速 0v沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点 B的运动方程为 x )sin(tt， y )cos1(t，式中0v/ 是轮子滚动的角速度，当 B与水平线接触的瞬间开始计时此时 所在的位置为原点，轮子前进方向为 x轴正方向；(2)求点速度和加速度的分量表示式解：依题意作出下图，由图可知 题 1-9 图(1) )cos1()cos1(2intRy(2)sindco1(tRtyv
9、xtvayyxxdcos21-10 以初速度 020 1sm抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60的夹角，求：(1)球轨道最高点的曲率半径 1R；(2)落地处的曲率半径 2R(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)解：设小球所作抛物线轨道如题 1-10 图所示题 1-10 图(1)在最高点， o016csvx2mgan又 1van m10)60cos2(2nv(2)在落地点， 202v1s,而 o60cgan m8s)(22n1-11 飞轮半径为 0.4 m，自静止启动，其角加速度为 =0.2 rad 2s，求 t2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度解：当 t时， 4.
10、02.t1srad则 16.04.Rv1s 6.).(2Ran 2sm8 222 10.04. n1-12 如题 1-12 图，物体 A以相对 B的速度 v gy沿斜面滑动，y为纵坐标，开始时 在斜面顶端高为 h处， 物体以 u匀速向右运动，求 A物滑到地面时的速度解：当滑至斜面底时， hy，则 gvA2, 物运动过程中又受到B的牵连运动影响，因此， 对地的速度为 jhiuvA v)sin()cos( 地题 1-12 图1-13 一船以速率 1v30kmh -1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率 240kmh -1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?解：(1)
11、大船看小艇，则有 121vr，依题意作速度矢量图如题 1-13 图(a)题 1-13 图由图可知 1212 hkm50vv方向北偏西 87.364arctnrt2(2)小船看大船，则有 12，依题意作出速度矢量图如题 1-13图(b)，同上法，得 5012v1hk方向南偏东 o87.361-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后 2 m的甲板上，篷高 4 m 但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前 3 m ，如雨滴的速度大小为 8 ms-1，求轮船的速率解： 依题意作出矢量图如题 1-14 所示题 1-14 图 船雨雨 船 vv 船雨 船雨 由图中比例关系可知 1sm
12、8雨船 v习题二2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为 1m的物体，另一边穿在质量为 2m的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度 a下滑，求 1， 2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为 1，其对于 2则为牵连加速度，又知 2对绳子的相对加速度为 a，故 2m对地加速度，由图(b)可知，为 12又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 f在数值上等于绳的张力 T，由牛顿定律，有 11amTg22 联立、式，得 211212)()magTfaag讨论 (1)若 0a，则 21表示柱体与绳之间无相对滑动(2)若 g2，则 f，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时1m, 均作自由落体运动题 2-1 图2-2 一个质量为 P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 0v运动， 0的方向与斜面底边的水平线 AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道解: 物体置于斜面上受到重力 mg，斜面支持力 N.建立坐标：取0方向为 X轴，平行斜面与 X轴垂直方向为 Y轴.如图 2-2.题 2-2 图X方向： 0xF tvx0
