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1、基本不等式1 内容提要（1） 如果 ，且 n1，那么 叫作这 n 个正数的算1,(0,)naK1naK术平均数， 叫作这 n 个正数的几何平均数。12na注：N 个数的算术平均数不小于几何平均数。（2） 若 a，b R，则 （当且仅当 a=b 时取等号） 。22b（3） 均值不等式：若 a，b 为正数，那么 （当且仅当 a=b 时取等ab号） 。2 利用基本不等式证明不等式（1） 常用来证明积 ab 与和 a+b 有关联的不等式。2(,)ababR（2） 常用来证明平方和与积有关联的不等式。2(,)（3） 常用来证明和与平方和有关联的不等式。22(,)ababR例 1已知 a，b，c 都是正数
2、，且 a+b+c=1。求证：。2326证明： ()1,32.()321.32()96.1,abcabQ同 理 ， 有但 由 于上 式 不 能 取 等 号32326.abc例 2 设 a0,b0,则以下不等式中不恒成立的是（ ）A B.14ab32abC. D.22解析 ， A 成立；Q114ababC 成立；222 0对于 D，如果 ，显然成立，如果 ，则2()0,2()0ababab而 成 立故 D 也成立。所以选 B。也可取特殊值，如 ，易验证 B 不成立1,例 3 已知 ，求证：,abcR（1） ；222()bcabc（2） 44a分析 由不等式两边的结构特点，联想到重要不等式，故可运用
3、它们进行证明。22 2(),)xyxy xyR 及 变 形 不 等 式 ：证明（1） ，22()abQ。2 ()ab同理 ， 。2()bcbc2()ac三式相加得 。222ab（2） 4442,bcbacQ22()()即 。44acac 又22222222, ,()(),abcabcabcabc即点评 证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性练习题：1、下列结论正确的是（ ） 。A. 当 B. 当 时，10lg2xx且 时 ， 0x12xC. 当 时， 的最小值为 2 D. 当 时， 无最大值2 22、 已知 a，
4、b 均为正数，且 ，则 的最大值为（ ）1ababA. B . C. 2 D. 423、 已知 ,则1(),(0,)xfab2(),(),()ababAfGfaHfA,G,H 的大小关系是( )A. B. C. D. AGHA4、 已知 ,有不等式 : 启发我们可0x12,x243,x以推广为 ,则 a 的值为( )1na()NA. B. C. D. n221n5、 已知 ,且 ,那么( )0bbA. B. 4a42abbC. D. 42bb4a6、已知 ,且 ,求证: .0ab21a234ab7、若 ab1，P ，Q （lgalgb） ，Rlg（ ） ，则（ ）lg 2baA.RPQ B.P
5、QR C.QPR D.PRQ8、若正数 a、b 满足 ab=a+b+3，则 ab 的取值范围是 .9、若 ，则下列不等式 ； ； 中，01ab|;|ba2a正确的不等式有 （ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个10、已知不等式 对任意正实数 恒成立，则正实数 的最小值为 1()9axy,xya（）（）8（）6（C）4（D）23 运用重要不等式求最值（1） “和定积最大”： ；2ab（2） “积定和最小”： 。运用最要不等式求最值要注意满足三个条件：正、定、等。即 a，b 都是正数，和或积是定值，a 与 b 能相等。 例 1 设实数 x,y,m,n 满足 ，求 mx+ny 的最大值。223
6、,1xymn解：常见的错误解法是2222()mnxny xy其中等号成立的充要条件是 m=x,n=y ,矛盾。2213mn下面给出两种正确解法：解法一：22223()311()33xymxnynxyng当且仅当 x= m,y= n, 时，mx+ny 取得最大值 。321m解法二： 三角代换设 x= cos ,y= sin ,m=cos ,n=sin ,以后过程请自己完成。例 2 （1）已知 ，求函数 的最大值；54x1425yx （2）已知 190,xyxyx且 求 的 最 小 值 。分析 不是常1（ ） 因 为 4-5b0,求 的最小值。)(162ba8、 ，且 ，则 的最小值是_。0,ba
7、b19、下列命题中正确的一个是 （ ） A 2 成立当且仅当 a,b 均为正数B 成立当且仅当 a,b 均为正数baClog ablog ab2 成立当且仅当 a,b(1,) D|a |2 成立当且仅当 a0110、已知实数 x,y 满足 x2y 21，则代数式(1xy)(1xy)有 （ ）A最小值 和最大值 1 B最小值 和最大值 143C最小值 和最大值 D最小值 124311、实数_，y=_。 xyxyxyx ， 此 时的 最 大 值 是， 那 么， 且， _logl02212、设 ，则 x+y 的最小值为_。1(,）且 yR13、求函数 y=sinxcosx+sinx+cosx 的最大
8、值。14、设 a1，0b1，则 的取值范围为 （ ）abaloglA B C D,2),2( )2,(2,15、设 0x1,a、 b 为正常数，则 的最小值为（ ）xb12A4ab B C D )(22ba2)(ba2)(ba4重要不等式在实际问题中的应用用均值不等式求函数的最大（小）值时，注意三个必要条件即一正（各项的值为正）二定（各项的和或积为定值）三相等（取等号的条件） 。例 1 某村计划建造一个室内面积为 800 的矩形蔬菜温室，在室温内，沿左2m右两侧和后侧内墙各保留 1m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，当矩形室温的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
9、解：设矩形室温的左侧边长为 a ，后侧边长为 b ，则 ab=800。蔬菜的种植面积为S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b).S 808-4 =648( ).2b2m当且仅当 a=2b，即 a=40,b=20 时，取等号。答：当矩形室温的左侧边长为 40 ，后侧边长为 20 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为 648 。2例 2 为处理某种含有杂质的污水，要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后，从 B 孔流出。设箱体的长度为 a 米，高度为 b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比。现有制箱材料 6
10、0 平方米，问当 a，b 各为多少米时，沉淀后，流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B 孔的面积忽略不计） 。解法一 由题意，有 。230a， 30b设 ，则abx230,523.18.xab当 a=2b 时等号成立，即 a=6，b=3 时流出的水中该杂质的质量分数最小。解法二 （以 b 为主元）依题意有 4260(,)abb得 3021a，可见要使 y 最大即要 a+2b 最小。()30232(1)321()441bba bg当且仅当 = 时取等号， 最小，y 达到最大值。这时321b()2ab，把 代入得 。,5()b舍 去 6故当 米， 米时，经过沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。6
11、a注：以 a 为主元可同理得出正确答案。解法三 （同时考虑 a 和 b）依题意有 。4260(,),230(,)babab得变形得 ()13()2(1)34(2)4()218aabag即当 = 即 时取等号，易得 时 最大。1b6,3ba练习题：1、建造一个容积 8 ，深为 长的游泳池，若池底和池壁的造价每平方米分别为 1203m2元和 80 元，则游泳池的最低总造价为_元2、 某工厂第一年年产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的增长率为 b,这两年的平均增长率为 x,则( )A. B. C. D . 2abx2abx2abx2abx3、 某家庭用 14.4 万元购买了一辆汽车,使用中维修
12、费用逐年上升,第 n 年维修费用约为0.2n 万元,每年其它费用 0.9 万元.报废损失最小指的是购车费、维修费及其它费用之和的年平均值最小,则这辆车应在_年之后报废损失最小.4、 已知函数 的图象与 x、y 轴分别相交于 A、B, ( , 分别是()fxkb2Bijur与 x、y 轴正半轴同方向的单位向量),函数 .2()6gx(1)求 k,b 的值;(2)当 x 满足 时,求函数 的最小值.()fx()1fx5、 某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状), 高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米造价 45 元,屋顶每平方米造价 20 元.试计算:(1)仓库面积 S 的最大允许值是多少 ?(2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算 ,那么正面铁栅应设计为多长?6、某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位： m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8cm2. 问 x、y 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省? 7、某工厂计划在新世纪中使全厂产值大幅度增长。2001 年的增长率为 ，2002(0)a年的增长率为 ，试判断这两年的平均增长率与 的大小。(0)b2ab
