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1、学案制教学下双曲线的教学案例韶关一中 李赞伟【摘要】：本文从教学案例出发探讨学案制教学中学案的使用与实施【关键词】：双曲线、椭圆学情分析：学生在学习了椭圆及其标准方程的基础下，在理解椭圆定义时不难引出“动点到两定点的距离之差为一个常数”的问题探究。本学案通过问题探究、动态演示的方式加深学生对圆锥曲线的定义理解，分清 椭圆与双曲线的定义区别 。引入 类比的思想更好的理解双曲线的定义与标准方程与椭圆的不同之处。内容摘要：定义、标准方程、问题教学、类比思想。下面仅以我在我校上的一堂校级公开课的课题实录来说明。课堂构设：、 复习引入师：前面的学习中我们已经学习了椭圆的定义，现在我们请 一位同学来回顾椭
2、圆的定义。生：平面内，到两定点的距离之和 为一个常数（大于两定点 间的距离）的点的轨迹。查漏补缺：不少学生会在回答的时候漏掉平面内、大于两定点间的距离这些关键词， 这里教师要起到规范定义的严格性，和学生 讲清为什么要有平面内、大于两定点间的距离的关键性，也为了双曲线的定义的引入做一个很好的铺垫。师：那么如果是平面内到两定点的距离之差为一个常数的时候的点的轨迹会有什么效果呢？生：双曲线的一支。课堂情况分析：由于学案制教学的特殊性，不少同学根据学案做的 课前预习能够回答出双曲线，但是极少数同学能够回答出双曲 线的一支的情况。 这里教 师要充分的发挥主导作用，让同学们能够起到很好的讨论作用。师：好，
3、下面我们通过几何画板的 动态演示来理解这个内容。课堂情况分析：几何画板的演示拉链的轨迹 1 过程中，教 师 要很好的帮助学生理解：“”这个式子中的 、常数所代表的分别是拉链的那部分，常 数|12MF|MF|12、引导学生观察在整个运动的过程中那些量产生了变化，那些量一直没有变。师：那么是不是只有这样的曲线呢？生：老师，下面还有。生：老师左边也应该有。课堂情况分析：这里大部分学生应该能够判断轨迹 2 的轨迹。部分学生还能够判断出轨迹 3和 4.师：我们把这样的两条曲线定义为双曲线。那么同学 们现在回想下我 们刚才的动画过程，能不能给我们双曲线下一个具体定义？生：平面内，到两定点的距离之差的绝对值
4、为一个非零常数 的点的轨迹。课堂情况分析：学生在这里给的双曲线的定义中往往漏掉“绝对值”与“非零常数”这里教师要引入学案的知识梳理的四个问题，帮助学生分析双曲 线的定 义， 让学生能够更好的理解双曲线的定义。师：现在，我们已经清楚了双曲 线的图象，下面我 们来研究它的方程，根据曲线与方程的思想，我们在研究未知曲线时要按照那些步骤来研究的？生：建、设、列、化、检。课堂情况分析：帮助学生复习求未知曲线的一半步骤。师：那我们应该怎样建系最好呢？生：两定点所在直线为 X 轴，两定点所在线段的中垂线为 Y 轴。师：类比椭圆的标准方程的建立和求解过程，我 们可以快速的 设出点 M(x,y)为双曲线上的一点
5、，F 1(-C,0)、F2(C，0)为两定点，常数为 2a0则 aycxycx2)()(2化简得 122a令 b2=c2-a2.则双曲线的标准方程为： （a0， b0）2byx课堂情况分析：由于学生在椭圆的标准方程的课时已经详细的推导了 2 个根号的方程的化简，这里教师可以不用详细推导过程， 应该着重的强调类比性。师：类比我们的椭圆，我们现在得到的双曲 线的标准方程是建系在：两定点所在直 线为 X 轴，两定点所在线段的中垂线为 Y 轴。那要是建系在：两定点所在直线为 Y 轴，两定点所在线段的中垂线为 X 轴。我们可以得到的双曲线的标准方程为？生： （a0，b0 ）12xy师：由此我们得到了 2
6、 个双曲线的标准方程： （a0， b0）和12byx（a0，b0），那么这两个方程分别代表了焦点在 X 轴和 Y 轴的双曲线的标准12xy方程。类比椭圆我们要看分母的大小，同学们觉得双曲线的 标准方程应该怎样判断焦点在 X轴还是 Y 轴？生：看系数。师：很好。那我们再来看看，类比椭圆的标准方程确定双曲 线的标准方程要知道哪些量？并且这些量之间有没有关系？生：确定 a、b；b2=c2-a2。师：很好，下面我们来看看学案的例 1-（1）。通过检查，发现 不少同学已经做好了，下面我 们来看看何姗的学案（投影），何 姗你给我们说说你的想法。何姗：我先判断了焦点在 X 轴 ，然后发现 a=3，c=5，所
7、以 b=4。所以方程为： .1692yx师：很好，给予掌声鼓励。例 1-（2）。姜楠你 说说你的想法。姜楠：老师，我只能判断焦点在 Y 轴，列出了方程 （a0，b0），然后就做不下12xy去了。师：有没有同学能够帮助姜楠同学解决这个问题？华利：把点的坐标代进双曲线的方程就可以了。师：哦，为什么可以代入啊？生：曲线上的点的坐标满足曲线的方程。课堂情况分析：要通过课前的批改学案， 发现学生的易错点加以 讲评。师：很好，最后答案是： 。132xy师：那我们现在已经学了椭圆的标准方程和双曲线的标准方程了，我们来类比一下他们的区别，同学们尝试完成下面的表格。椭圆 双曲线焦点在 X 轴 焦点在 Y 轴 焦
8、点在 X 轴 焦点在 Y 轴方程焦点坐标a、b、c关系如何判断焦点位置师：（投影分析）。师：今天，我们学习了双曲线及其 标准方程。我 们今天学到了什么知 识、题型与方法呢？学生讨论分析，教师加以点评 。布置作业：学案学习资料前做好。教后反思：学案制教学在我校已经实施快 2 年时间，我校的学案制度教学模式是：学生 带着学案预习，完成自我评价的一部分自己能 够做好的题目，学有余力的学生可以完成所有题目。本堂课经过以上教学过程后，学生 对于双曲线的定义、 标准方程、焦点位置判断、求解双曲线的标准方程都掌握良好，在公开 课评课时获得一致好评 。附：几何画板动态演示课件。我校双曲线及其标准方程学案（两课时）
