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1、 数列的通项与求和一、选择题（每小题 6 分，共 42 分）1.数列a n的前 n 项和 Sn=2n2-3n+1,则 a4+a5+a6+a10 等于（ ）A.171 B.21 C.10 D.161【答案】D【解析】原式=S 10-S3=2102-310-(232-33)=161.2.数列a n的通项公式是 an= ，若前 n 项和为 10，则项数 n 为（ ）1A.11 B.99 C.120 D.121【答案】C【解析】因 an= ，n11故 Sn=( -1)+( - )+( )= -1,231由 Sn=10,故 n=120.3.数列a n的通项公式为 an=4n-1,令 bn= ,则数列b
2、n的前 n 项和为（ aanL21）A.n2 B.n(n+2) C.n(n+1) D.n(2n+1)【答案】B【解析】a n=4n-1,数列a n是等差数列，且 a1=4-1=3,b n= =2n+1.a2)43(21 L显然数列b n是等差数列，且 b1=2+1=3，它的前 n 项和 Sn=b1+b2+bn= =n(n+2).)(4.数列 1， （1+2） ， （1+2+2 2） ， （1+2+2 2+2n-1）,的前 n 项和等于（ ）A.2n B.2n-n C.2n+1-n-2 D.n2n【答案】C【解析】令 n=1,排除 A、D，又令 n=2，排除 B.选 C.5.数列 1， ， ，
3、， 的前 n 项和等于( )234521A.Sn=3- - B.Sn=3- -1-1n 212nC.Sn=3- - D.Sn=3-n2n-22【答案】A【解析】令 Sn=1+ + + , 234n1 则 Sn= + + . 214321n-得 Sn=1+ +321n=1+ 112)(n= .13nS n=3- - ,故选 A.或者用特殊法.6.Sn=1+ + 等于( )321nL321A. B. C. D. 1212n【答案】B【解析】a n= ,)1()(2321nnLS n=2(1- )+( - )+( )1=2(1- )1= .2n7.(2010 全国大联考，10)已知数列a n满足 a
4、n= 则a n的前*),(,)2, Nn为 奇 数为 偶 数 2k-1 项的和为( )A.k2-k+1- B.k2+k+1-1k 1kC. D.23 23【答案】A【解析】取 k=1，S 1= ，排除 B、C；取 k=2,S3= ,排除 D。3514二、填空题（每小题 5 分，共 15 分）8.已知数列a n的前 n 项和 Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),那么 S15+S22-S31 的值为_. 【答案】-76【解析】S 15=1-5+9-13+57=1+(9-5)+(17-13)+(57-53)=29,同理可得：S 22=-44，S 31=61,S 15+S2
5、2-S31=-76.9.(2010 湖北八校模拟，14)数列a n中，S n 是前 n 项和，若 a1=1,an+1= Sn(n1), 则3an=_.【答案】a n=).2()341,12n【解析】a n+1= Sn, a n= Sn-1. 31-得 an+1-an= an, (n2).341na 2= S1= 1= ,当 n2 时，a n= ( )n-2.34a n=).2()1,12n10.数列a n满足 a1= ,a1+a2+an=n2an,则 an=_.【答案】 (nN *)(【解析】a 1+a2+an=n2an a 1+a2+an+an+1=(n+1)2an+1. -得a n+1=(
6、n+1)2an+1-n2an, .1a n=a1 .23 )1()(21,534212 nnnL三、解答题（1113 题每小题 10 分，14 题 13 分，共 43 分）11.求 a+2a2+3a3+nan. 【解析】设 S=a+2a2+3a3+nan.若 a=0,则 S=0；若 a=1,则 S= ;)1(n若 a0,且 a1,则 S=a+2a2+3a3+nan, aS=a2+2a3+(n-1)an+na n+1 -得（1-a） S=a+a2+an-nan+1= -nan+1.an1)(S= .n)(1212.(2010 湖北黄冈中学模拟， 17)已知等比数列a n中，a 1=64,公比 q
7、1,a 2,a3,a4 又分别是某等差数列的第 7 项，第 3 项，第 1 项.(1)求 an;(2)设 bn=log2an,求数列|b n|的前 n 项和 Tn.【解析】 （1）依题意有 a2-a4=3(a3-a4)，即 2a4-3a3+a2=0,2a1q3-3a1q2+a1q=0，即 2q2-3q+1=0.q1,q= .故 an=64( )n-1,(2)bn=log264( )n-1=log 227-n=7-n，1|b n|=.7,n7 时，T n= ;n7 时，2)13(Tn=T7+ 6=21+ ，)(故 Tn=).7(21)6(7,3n13.(2010 中科大附中模拟，19)等差数列a
8、 n是递增数列，前 n 项和为 Sn,且 a1,a3,a9 成等比数列，S 5=a52;(1)求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足 bn= ,求数列b n的前 99 项的和.12na 【解析】(1)设数列a n公差为 d(d0),a 1,a3,a9 成等比数列 ,a 32=a1a9,(a1+2d)2=a1(a1+8d),d2=a1d. d0,a 1=d.S n=a52,5a 1+ d=(a1+4d)2. 4由得：a1= d= ,53a n= +(n-1) = n.53bn= .)1(925)1(92)1(532 nnb 1+b2+b3+b99= 99+(1- )+( - )+( )9
9、109= (100- )= .504114.设数列a n的前 n 项和为 Sn，若对于任意的 nN *,都有 Sn=2an-3n,(1)求数列a n的首项与递推关系式 an+1=f(an);(2)先阅读下面定理，若数列a n有递推关系 an+1=Aan+B,其中 A、B 为常数，且 A1,B0,则数列a n- 是以 A 为公比的等比数列，请你在第（1）题的基础上应用本定理，求B1数列a n的通项公式 ;(3)求数列a n的前 n 项和 Sn.【解析】(1)S n=2an-3n,S n+1=2an+1-3(n+1).a n+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3.故 an+1=f(an)=2an+3.(2)a n+1+3=2(an+3),a n+3为等比数列，首项为 a1+3=6,公比为 2，故 an+3=62n-1=32n.a n=32n-3.(3)Sn=a1+a2+a3+an=3(2+22+2n)-3n=32n+1-6-3n.
