分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用

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1、分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有， ， ， 等.解题的关键是通过恒等变axbycd2xcymnpxanyqsimxnypq形从分式函数中分离出常数.1.用分离常数法求分式函数的值域例 1 求函数 的值域.31()()2xf解 由已知有 .f3(2)732xx由 ，得 . .x10函数 的值域为 .()f|4yRy2.用分离常数法判断分式函数的单调性例 2 已知函数 ，判断函数 的单调性.()()xafb()fx解 由已知有 ， .1yb所以，当 时，函数 在 和 上是减函数；当 时，0ab()fx,)(,)0ab函数 在

2、 和 上是增函数.()fx,)(,3.用分离常数法求分式函数的最值例 3 设 ，求函数 的最小值.12710()xf解 ， .x0由已知有 2()fx2()5()4x(1)5x.当且仅当 ，即 时，等号成立.42(1)59x411当 时， 取得最小值 .()f9分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的

3、最值或值域问题.1.用分离参数法解决函数有零点问题例 4 已知函数 在 上有零点，求 的取值范围.2()4gxa,a解 函数 在 上有零点，方程 在 上有240x2,实根，即方程 在 上有实根.4ax2,令 ，则 的取值范围等于函数 在 上的值域.()f ()fx2,4又 在 上恒成立， 在 上是增函22()10xx,()fx2,4数. ，即 . .()(4)ff()5f4a2.用分离参数法解决函数单调性问题例 5 已知 在 上是单调递增函数，求 的取值范围.xaf2)(1,)a解 ， .x2(fx又 在 上是单调递增函数， .于是可得不等式 对于)(f1,)0)(f 2xa恒成立. .x2m

4、ax(由 ，得 . .13.用分离参数法解决不等式恒成立问题例 6 已知不等式 对满足 的所有 都成立，求 的20x2mx取值范围.解 原不等式可化为 ，此不等式对 恒成立.2(1)mx2构造函数 ， ，其图像是一条线段 .()fx根据题意有 ，即 .解得 .2()0fx2301x7132x4.用分离参数法解决不等式有解问题例 7 如果关于 的不等式 的解集不是空集，求参数 的取值x342aa范围.解 原不等式可化为 .1x原不等式的解集不是空集， .min(34)21a又 ，当且仅当 时，等号成立，34(3)xx(34)0x，即 .21a5.用分离参数法求定点的坐标例 8 已知直线 ： ， ，求证：直线 恒过定l(21)()7mxyRl点.解 直线 的方程可化为 .l4(27)0xymxy设直线 恒过定点 .由 ，得 .(,)MR4(3,1)M直线 恒过定点 .l3,1