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矩 阵 论 电 子 教 程,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,Department of Mathematics,内 积 空 间,第 二 章,教 学 内 容 和 基 本 要 求,1.理解内积空间的概念,掌握正交基及子空间的正交关系.,3. 理解酋空间的概念,会判定空间是否酋空间的方法,,2. 了解内积空间的同构的含义,掌握判断正交变换的判定 方法.,4. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质,重点: 内积空间的概念;正交基及子空间的正交关系难点: 正交变换的判定方法,定义: 设 是一个 维酉空间, 是 的一个线性变换,如果对任意的 都有,则称 是 的一个酉变换。,1.酉变换的定义,一, 酉变换与正交变换,定理1:酉(正交)变换是线性变换定理2:设 是一个 维酉(正交)空间, 是 的一个 线性变换,那么下列陈述等价:(1) 是酉(正交)变换; (2)(3)将 的标准正交基底变成标准正交基底;(4)酉(正交)变换在标准正交基下的矩阵表示为 酉(正交)矩阵。推论:设 为 阶酉(正交)矩阵,则 为 上的酉(正交)变换,二. 正交投影,性质1 正交投影是线性变换,性质2 设 是酉(欧氏)空间 到 的正交 投影,则:,定理1:设 是酉(欧氏)空间 到 的正交投影, 是 的标准正交基,则: 是 的标准正交基。,定理2: 阶矩阵 为酉空间 正交投影的充分必要条件是:,Good,Bye,