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1、第三节 基本不等式,三年8考 高考指数:1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.,1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.,1.基本不等式： (1)基本不等式成立的条件是_.(2)等号成立的条件是：当且仅当_时取等号.(3)其中 称为正数a,b的_， 称为正数a，b的_.,a0,b0,a=b,算术平均数,几何平均数,【即时应用】判断下列不等式是否正确.(请在括号中填写“”或“”)(1)a2+b22ab(a,bR) ( )(2)ab( )2(a，bR) ( )(
2、3)( )2 (a,bR) ( )(4) 2(a,b均不为零) ( ),【解析】(1)由(a-b)20得a2+b2-2ab0，即a2+b22ab，故(1)正确.(2)由(1)可知a2+b22ab，即a2+b2+2ab4ab,即(a+b)24ab,即 故(2)正确.,(3)由 0,故(3)正确.(4)若a,b异号，如a=-1,b=1,则 =-20,n0且mn81，则m+n的最小值为_.,【解析】(1)由2=x+3y2 ,得 ,故xy ，等号当且仅当x=1,y= 时取得.(2)x0，当x=0时，f(0)=0；当x0时，f(x)= ,当且仅当 ，即x=1时取等号.所以f(x)的最大值为 .,(3)m
3、0,n0,mn81, 9,m+n2 18，故m+n的最小值为18.答案：(1) (2) (3)18,利用基本不等式求最值【方法点睛】应用基本不等式求最值应注意的类型(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式.(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等.,(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.【提醒】应用基本不等式注意不等式的条件.若多次应用基本不等式要注意等号需同时成立.,【例1】(1)若x-3，则x+ 的最小值为_.(2)已知a，b为正实数且a+b=1，则(1+ )(1+ )的最小值为_.【解题指南】(1)将
4、原式等价变形构造出应用基本不等式形式可解.(2)将 与 中的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.,【规范解答】(1)由x-3得x+30,又x+ =x+3+ -32 -3，等号成立的条件是x+3= ,即x= -3.答案：2 -3,(2)a0,b0,a+b=1,1+ =1+ =2+ ,同理1+ =2+ ,(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ )=5+2( + )5+4=9,等号成立的条件为a=b= .答案：9,【互动探究】若将本例(1)中x-3去掉，而求x+ 的取值范围，又将如何求解？【解析】分情况讨论，由题意得x-3,当x-3时，由例题可知x+ 2 -3.,当x0,x+ =x+3+ -3=
5、-(x+3)+ -3-2 -3，等号成立的条件是x=- -3.故x+ 的取值范围是(-,-2 -3 -3,+).,【反思感悟】1.利用基本不等式求最值的关键在于凑“和”或“积”为定值.2.使用基本不等式时容易忽视的是不等式成立的条件.,【变式备选】1.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是_【解析】xy=2x+y+62 +6,令xy=t2(t0),可得t2-2 t-60，注意到t0，解得t3 ,故xy的最小值为18.答案：18,2.求函数y= (x-1)的最小值.【解析】设x+1=t,则x=t-1(t0)，y= =t+ +5 +5=9，当且仅当t= 即t=2时,取等号，且此时x
6、=1，ymin=9.,基本不等式的实际应用【方法点睛】基本不等式实际应用题的解法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解,【例2】某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚
7、度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.,【解题指南】(1)由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用基本不等式求得最值，得出结论；(2)先由限制条件确定自变量的范围，然后判断(1)中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论.,【规范解答】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为 米.则总造价f(x)=400(2x+ )+2482x+80162=1 296x+ +12 960=1 296(x+ )+12 9601 2962 +12 960=38 88
8、0(元)，当且仅当x= (x0),即x=10时取等号.当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.,(2)由限制条件知 10 x16.设g(x)=x+ (10 x16),由函数性质易知g(x)在10 ，16上是增函数，当x=10 时(此时 =16),g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296(10 + )+12 960=38 882(元).当长为16米，宽为10 米时，总造价最低，为38 882元.,【反思感悟】1.本例(2)中由于条件限制应用基本不等式结果不成立，从而转化为应用函数的单调性求解，这也是此部分内容的常规解法.2.应用基本不等式解实际应用题时定义域是
9、关键,涉及到等式能否成立，因而在实际解题时要特别注意定义域的取值范围.,【变式训练】（2012西安模拟）某学校拟建一块周长为400 m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为使学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽.,【解析】设中间的矩形区域的长，宽分别为x m,y m,面积为Sm2.则一个半圆的周长为 因为操场的周长为400,所以 即2x+y所以,所以当时等号成立.答：要使做操区域尽可能大，只要矩形的长为100 m，宽为 即可.,基本不等式与其他知识的综合应用【方法点睛】基本不等式在其他数学知识中的应用以函数、方程、立体几何、解析几何、数
10、列等知识为载体考查基本不等式求最值，是本部分中常见题型，且在高考中也时常出现，其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件.,【例3】(1)设x,yR，a1,b1，若ax=by=4且a+b=2 ,则 的最大值为_.(2)已知函数f(x)=log2k(x+4)+2+1恒过定点P，且点P在直线 =2(a,bR+)上，则3a+2b的最小值为_.【解题指南】(1)用a,b表示x，y代入后，再利用基本不等式可求.(2)求得点P坐标代入直线方程，再用“1”的代换转化为基本不等式求解.,【规范解答】(1)由ax=by=4得x=loga4,y=logb4,故 =
11、=log4a+log4b=log4ab.又a1,b1,a+b=2 ,故log4ablog4( )2=log42= , ,当且仅当a=b= ,即x=y=4时等号成立. 的最大值为 .答案：,(2)由函数f(x)=log2k(x+4)+2+1可知，当x=-4时，f(x)=2,即点P坐标为(-4，2)，又点P在直线 =2(a,bR+)上，故 =2，即 =1,3a+2b=(3a+2b)( )=8+ 8+2 =8+4 ,当且仅当3a2=4b2，即a=2+ ,b= +1时等号成立.3a+2b的最小值为8+4 .答案：8+4,【互动探究】若本例(2)中函数改为f(x)=2k(x+1)+1,其余条件不变，又将
12、如何求解?【解析】由f(x)=2k(x+1)+1可知图像恒过定点P(-1，2)，依题意，P在直线 =2(a,bR+)上，故 =2,即 =1,3a+2b=(3a+2b)( )= ,等号当且仅当a= ,b= +1时取得.所以3a+2b的最小值为,【反思感悟】解决与其他知识综合的基本不等式题目，难点在于如何从已知条件中寻找基本关系.本例(1)中其关键是构建x,y与a,b的关系得到x=loga4，y=logb4，从而将 成功转化为a,b的关系，再利用基本不等式求解，而本例(2)中其关键点是确定图像过的定点，确定了这一定点后问题就迎刃而解了.,【变式备选】设x,y满足约束条件 若目标函数z=abx+y(a0,b0)的最大值为8，则a+b的最小值为_.【解析】已知x,y满足约束条件其可行域是一个四边形，四个顶点是(0,0)，(0，2)，( ，0)，(1，4)，易见目标函数z=abx+y(a0,b0)在(1，4)取最大值8，,所以8=ab+4，即ab=4，a+b2 =4,当且仅当a=b=2时，等号成立.所以a+b的最小值为4.答案：4,【易错误区】忽视题目的隐含条件导致误解【典例】(2011江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)= 的图像交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_.,
