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1、第一章：矢量分析方向导数:设 M0 是标量场 =(M)中的一个已知点，从 M0 出发沿某一方向引一条射线 l, 在 l 上 M0 的邻近取一点 M，MM 0=，如图 1-2 所示。若当 M 趋于 M0 时(即 趋于零时)， 的极限存在，则称此极限为函数 (M)在点 M0 处沿 l 方向的方向导数，记为 若函数 =(x, y, z)在点 M0(x0, y0, z0)处可微，cos、cos、cos 为 l 方向的方向余弦，则函数 在点 M0 处沿 l 方向的方向导数必定存在，且为梯度:反映了一个标量场的场量随空间位置变化规律,指向标量场增加的方向(哈密顿微分算子)xyzgradeex方向导数: )
2、ssfidfifdS例如： dlxyz矢量场的通量和散度矢量场 A 在某点的散度，记为 divA 2310 1231lim()()SVdhAdv u 奇 点 处 用 反映了矢量场空间各点的净通量状态 表征了矢量场的通量源的分布特性，是矢量场在该点的通量源密度,即流出单位体积元封闭面的通量散度定理 VSAd矢量场的环量和旋度)(lim000lcosscos0l31202000013321232321lim|limlilili() ccccnaaaarotA AdlAdddhihiuuA 微 元 面 积 环 量微 元 面 法 向 的 单 位 矢 量 方 向 为 环 流 最 大 的 面 法 向微 元
3、 面 积3在点 M 处沿 l 方向的环量面密度 Mli 反映矢量场的环流特性 表征矢量场在该点处的环流、涡旋源密度 0,0FFvv0.0FFvv0,0FFvv0,0FFvv几种常用公式（A、f、g 都是良态的） 1212()()()VSsccAddAdll(其中闭合线 1、2 方向相反) ，由此式可得 fgf()0() 0slllfffdsfduABCABC斯托克斯定理 cSl)(亥姆霍兹定理: 若矢量场 F 在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即 ，其中 ，()()()A
4、rfFr1()()4|Vgrfrd，这里 r为源点的矢径，r 为场点的矢径，V为源存在的全部空1()()4|VgrFrd间区域。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。证明？例：如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设 A为一已知矢量， pAXg而 P， p和 P已知，试求 X。解 由 P，有 ()()()()AXgg故得 格林定理它可以由散度定理直接推导出来。设 w 和 u 是具有连续二阶导数的两个标量函数，并令矢量函数 为AvuwAv对矢量函数 求散度并利用(1.7.20) 式，有Avu2)(根据散度定理即式(1.7.24) ，有(1.9.
5、17) SnSV euwVwu d)(d)()d(2v因为 ，故得到格林第一定理如下：ne(1.9.18)SV nuwVuwd)(2将上式中的 w 和 u 互换，可得(1.9.19)SV)(2用式(1.9.18)减去式(1.9.19)，就得到了格林第二定理，即(1.9.20) SV SnwuVud)d(2以上给出的仅仅是标量格林第一、第二定理，另外还有矢量格林第一、第二定理。利用格林定理，可以将体积 中场的求解问题转化为其边界 上的求解问题。1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布。3
6、、球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解，如点电荷产生电场分布。第二章 电磁场的基本规律电子电荷的量值为 e =1.602 177 3310-19(单位：C )xyxzxzyzyx yxz zyyyy xxyxxxx zyzy BAeBAeBAeeee BABA v点电荷 q 位于 (位置矢量) ，()rqrv0()rrvv当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，称为恒定（稳恒）电流电荷守恒定律：在电流空间中，体积 V 内单位时间内减少的电荷量等于流出该体积总电流电流连续性方程 ： 00VVVSJdJdtdJtt vvggvg）（ 微 分 形 式 ）（ 积 分 形 式 ） （当体积 V
7、 为整个空间时，闭合面 S 为无穷大界面，将没有电流经其流出，此式可写成，即整个空间的总电荷是守恒的。0dt库仑定律 ，其中 0 是表征真空电性质的物理量，称为真空的介23004qqRF电常数，其值为 mF/16185. 92电场强度 3103 30 030()()4 () 1() ()4()()4nii SVlrqEr rrddrl vu离 散 分 布连 续 分 布 体 分 布 面 分 布 线 分 布体、面、线电荷的其他表示： VSL导体球上电荷均匀分布在导体表面，其在球外空间中产生的电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效。静电场的电位 30 001()1() ()44()VVrr
8、ErddVr故 01()()4Vrrd当取 P0 点为参考点时（参考点电位为零） ，P 点处的电位为 。当电荷分布0()PEdl在有限的区域时，选取无穷远处为参考点较为方便。此时， （可用于已知P电场求电位）拉普拉斯方程 02电偶极子 2300cos4qlpr其电场强度在球坐标中的表示式为 030(2cosin)4rpEe由对称性和电场的叠加性，合电场只有 z 分量静电场的旋度 220001444BARr ABl ledqqqEd RvvqARBRl真空中恒定磁场的基本规律 ,其中 为真空中介电12 10 12234CCCIdlRFIlvv0常数yxo1r1dIlr2r1R1 22dIlr70
9、41/HmdFIlBv毕奥萨伐尔定律 03(403 03Vs0 03CC3dlRIdlr-)(r)=4 JrR=d4JrqvRS4vv（ （ 体 电 流 ） 线（ 面 电 流 ） （ 运 动 电 电 流 ） 荷 的 磁 场 ）有限长直线电流的磁感应强度 0 012cos4IIBaBarrvv（ 导 线 无 限 长 时 ）由磁通连续性定律可知：磁力线是连续的CH2.自由空间中的电场定律体电荷密度 电荷密度 面电荷密度 线电荷密度 00limttqdI体电流密度r 1 R A z Idz B O 2 P 000 1limlilim()nvvvviaaaIqsJ ivttururrurur同 时 存
10、 在 多 种 电 荷面电流密度 0livsIKr线电流密度 I基本场量一、 洛伦兹公式 其中0FqEvHurru7041/Hm二、 电场强度 0v三、 磁场强度 （此时速度 v 与 H 垂直）02Eqv欧姆定律： ()Jr自由空间中的电磁场定律积分 场的域关系微分 场的点关系法拉第电磁感应定律：时变的磁场产生涡旋电场，（沿一条闭合路径的电动势=与该路径交链的磁通量的减少率）0csdEHat（空间各点电场强度的涡旋密度=那点的磁通密度减少率）0t修正的安培环路定律：电流和时变的电场都可以产生涡旋磁场（磁通量=与该路径交链的电流量和交链的电通量增加率之和）0cssdHJaEt（空间各点磁场强度的旋
11、度= 该点的电流密度与电通矢量随时间的变化率之0t差）电场高斯定律（自由空间中由一个闭合曲面内穿出的电通量=与该曲面所包0sVEdaQd围空间的净电荷量）（空间各点电场的通量源密度=那点的电荷密度）E磁场高斯定律：不存在磁核（自由空间中由一个闭合曲面内穿出的磁通量=0）0sHda电荷守恒定律（由一个闭合曲面导出的净流量=该区域内电荷的减少量）VsddQJatt（空间各点电流密度的散度= 该店电流密度的减少率）t【注】1、静态情况下，电场与磁场之间不存在耦合，虽然由于欧姆定律（ ） ，使得在()JEr导体的电导率有限时，可出现导体中的电场在导体中产生电流，电流又激发磁场这一情况，但是因为此时的磁
12、场不会反过来再影响电场，因此，在这种情况下，静电场和静磁场是可以分开讨论的。边界条件电磁场中的不联系界面（将两种物质接触处的过渡层看成一个厚度为 0 的界面，故而电磁性质通过该界面时会产生一个跃变）一、 法向边界条件（n：21）01()iE02nH12()iJKt二、 切向边界条件1212()0nttiEEttHKHK自然边界条件由于不存在点电荷和线电荷，因此空间各处场都应是有限的（）电荷只分布在有限区域，故在无穷远处场量为 0Ch4. 静电场的标量位无旋场保守场，故可引入标量场梯度来表示一个静电场，即标量位或称电位， ()Er常用场量1、 点电荷的场量：2 20000 1()4441()s s siirrrsRqqEiiede 电 荷 连 续 分 布2、导体球上电荷均匀分布在导体表面（或导体内部） ，其在球外空间中产生的电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效。3、带有均匀线电荷密度 0 的无限长直线的场量 00(),ln22cr ccEi r4、通有电流为 I0 的直线产生的磁场0 012cosIBaBarrvv（ 导 线 无 限 长 时 ）5、带有均匀面电荷密度 0 的无限大平面产生6、带有均匀面电流的无限大平面所产生的磁场
