用粒子有限元方法解决

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1、用粒子有限元方法解决流体-土壤- 结构相互作用问题的可能性摘要我们提出一些粒子有限元方法（PFEM）的发展以针对在涉及到流体-土壤-结构相互作用（FFSI ）的复杂耦合问题的分析。该 PFEM 采用修正后的拉格朗日描述来模拟节点（粒子）同时在流体与土壤域（后者包括土壤/岩石和结构）中的运动。联结这些粒子（节点）的网定义了离散域，其中主要的方程的每个组成元素都能用标准有限元分析解决。处理不可压缩连续体的稳定性将通过有限微分（FIC）法介绍。增量迭代计划作为解决非线性瞬态耦合的 FSSI 问题的方法已经介绍过了。这种用来模拟摩擦接触条件和在流体-土壤及土壤- 土壤界面的材料腐蚀的程序已经介绍过了。

2、我们提出一些通过 PPEM 法来解决 FSSI 问题的一些例子，比如岩石受到水流作用的运动，临近河床的桥梁基础受到的腐蚀，防洪堤和海上结构的稳定性以及山体滑坡的研究。1 介绍对于包括流体、土壤/岩石和结构之间的相互作用的问题的分析在许多工程领域上是相关的。在对山体滑坡及其对水库和相邻结构的影响，大波浪对海上及港口结构，受洪水和海啸侵袭的结构，在溢流情况下填石坝的土壤侵蚀和稳定性等问题的研究上的例子具有广泛性。这些研究可以看作是所谓的流体-结构相互作用（FSI）问题的一种扩展46 。在自由表面流使用 FEM 的欧拉或者 ALE 模拟的 FSI 分析中的典型困难包括对流项和在流体方程中不可压缩性约

3、束的修正，建模以及对流体中自由表明的追踪，在流体和移动的土壤域间通过表明接触的信息的转移，对波浪飞溅的建模，在流体域中处理多实体的大运动的可能性，对于结构和流体的有限元网格的有效更新，等。通过 ALE 和时空 FEM 来对 FSI 问题进行 3D 分析的范例报告在以下4,6,26,27,31,34,40。如果用朗格朗日描述来模拟土壤和流体域的控制方程，上述大部分问题就得到了解决。在拉格朗日模拟中，单个粒子的运动可以被追踪，所以，在有限元网格中的节点可以看作移动的材料点（这里称作“粒子” ） 。因此，在网格离散总域（包括流体和土壤部分）中的运动在瞬态解决方案中是可以遵循的。一个针对 FSI 分析

4、的成功的朗格朗日法就是所谓的 Soboran Grid CIP 技术，其已被成功地应用在解决不同种类的 3D 问题中44 。研究人员已经在之前工作中成功地开发了特定种类的拉格朗日配方以解决涉及到（自由表明流体）与土壤间的复杂相互作用的问题。该方法被称为有限元法（PFEM， ，将流体与土壤域中的网格节点看作粒子，其可自由移动，甚至从主要流体域代表中分离，例如水滴滴落的效果。网格联结了离散在域中的节点，在该域中控制方程可通过稳定的有限元法来解出。朗格朗日配方的一个优点是，对流项从流体方程中消失了11,48。然而，难题则转移到了如何充分（并且有效）地移动网格节点的问题上。我们用混合了不同形状的元素一

5、个网格再生过程，这些形状使用一种特殊形状函数的扩展Delaunay tessellation17,19。该 PFEM 的理论和应用报告在如下文献中2,7,10,18,20,21,23,26,32,3439。（不可压缩的）流体流动问题的有限元解决方案意味着解决了动力和不可压缩性方程。这并不是一个简单的问题，因为不可压缩条件限制了 FE 近似值对于速度和压力的选择于众所周知的 div-稳定条件11,48 。在我们的作品中，我们使用基于有限元微积分（FIC）的稳定混合有限元方法，其允许对速度和压力变量取线性近似值15,2931,33,34。在其他的有类似特征的稳定有限元方法我们提到有 PSPG 法4

6、1 ，多尺度法3,6,8和 CBS 法8,48。本文的目的是介绍目前针对流体-土壤- 结构相互作用（ FSSI）问题的 PFEM法的最新进展。这些问题在土木、水利、海洋与环境工程及其他许多领域中都是相关的。它表明，PFEM 法提供了一个通用的分析方法，通过简单并且有效的方式来修正这些复杂的问题。本文的布局如下。在接下来的部分对 PFEM 的主要思想进行了概况。接下来，使用拉格朗日描述和有限元微分配方的对于可压缩/不可压缩连续体的基本方程通过示意图给出。然后将简要介绍针对瞬态解决方案的一种算法。对耦合FSSI 问题及网格生成和自由面节点的识别方法的修正进行概述。对于修正流体、土壤和结构表面间的摩

7、擦接触的程序已进行过说明。我们提出几个应用 PFEM法来解决 FSSI 问题的例子，例如岩石受水流作用的运动，临近河床的桥梁基础的侵蚀，防护堤和受海浪结构的稳定性以及山体滑坡的研究。2 粒子有限元的基本方法让我们考虑一个既含有流体子域也含有固体子域（固体子域可能包括土壤/岩石材料和/或者结构元件）的域。移动的琉璃粒子与固体边界相互作用，从而导致固体的变形，其反过来影响流动运动，因此，该问题是完全耦合的。在 PFEM 中流体域与固体域都是通过更新的拉格朗日配方进行建模47。也就是说，所有的变量都假设为在 t 时刻的当前配置。在两个域中的变量的新设定在下一个或在 t+t时刻更新的配置中寻找。有限元

8、法（FEM）用于解决针对每个子域的连续介质力学的方程。因此，必须生成一个离散这些域的网格以解决在标准 FEM 领域中针对各个子域的控制方程问题。数值解的质量取决于标准 FEM 法中的离散值选择。自适应网格细化技术可用于改善立体或结构发生大运动区域中的解决方案。2.1 PFEM 的基本步骤为清楚起见，我们将定义集合或节点云（C）为流体域及固体域，用体积（V）来定义流体和固体的分析域，并用网格（M）定义这两个域的离散。一个 PFEM 的的典型解决方案包括下列步骤。1. 在每个时间点的起始点是在流体域和固体域的点云。例如 nC 表示在时刻t=tn（图 1）的云计算。2. 用流体域和固体域的确定界限定

9、义流体与固体中的分析域为 nV。这是重要的一步，因为一些边界（例如流体中的自由表面）可能会在解决过程中（包括分离和重新进入节点）被严重扭曲。阿尔法形状法12用于边界定义。3. 通过有限元网格 nM 离散流体域和固体域。在我们的作品中，我们使用的是基于扩展 Delaunay tesselation 的创新网格生成方案17,19,20。4. 解决流体域和固体域中耦合的运动的拉格朗日方程。计算在这两个结构域中在下一个（更新的）针对 t + t的组合的状态变量：速度、压力以及在所述流体和位移下的粘性应力，还有固体中的应力和应变。5. 将网格节点移动到一个新的位置+1C，就时间增量大小而言，在该处 n+

10、1 表示时刻 tn+t。这个步骤是步骤 4 解决方案过程的典型结果。6. 回到步骤 1，对下一个时间步长重复求解过程 得到 n+2C (Figure 2)。3 对拉格朗日连续体进行有限元微分/有限元计算3.1 控制方程要解决的方程是连续介质力学中的标准方程，写在拉格朗日参照系中：动量压力-速度关系在上述公式中 vi 是沿着全球（笛卡尔）轴的第 i 个速度，p 是压力（假定为可压缩） 和 K 分别代表密度和材料的体积模量，特别地，b i 和 ij 是 body forces 和（柯西）应力。公式（1）和（2）完全符合本构 constitutive 关系：不可压缩连续体可压缩/ 准不可压缩连续体其

11、中 ij 为应力张量的分量其中 S 是第二 Piola-Kirchhoff 应力张量，F 是变形梯度张量并且 J=detF22,47。参数 和 采用以下针对流体或固体材料的取值：其中 v 是泊松比，G 为剪切模量并且 t为时间增量。在方程（3）和（4）中，s ij 是偏应力， ij 是变形率， 是粘度并且 ij 是Kronecker delta。 t()表示 t 时刻的值。在方程（1）（4）中指数的范围从 ij=1.nd，其中 nd 是问题中空间维度的数量（即 nd=2 就是二维问题） 。这些方程完全符合机械问题规定的速度和表面牵引力的标准边界条件11,36,47,48。3.2 方程离散在方程

12、（1）（4）的数值解的一个关键问题就是对不可压缩情况下质量平衡条件的满足（即在方程（2）中 K = ） 。若干用来解决这些问题的程序已存在于有限元文献中11,48。在我们的方法中我们使用基于所谓的有限积分程序的配方法15,2931,33,34 。这种方法的精华是一种改进的质量平衡方程的解决方案，表述如下其中 q 为权重函数，T 是一个由34给定的稳定化参数。在以上的描述中，h 是每个有限元的特征长度，|v|是速度矢量的模载体。在方程（5）中 i 是辅助压力头像变量选择以确保方程（5）中的第二项可以被解释为动量方程的残差的加权总和，因此可以在精确解中消去。控制方程的设置完全是通过加入下列约束方程

13、32,36其中 wi 是任意的加权函数。积分方程的其余部分通过应用标准的加权残值计算到控制方程（1） ， （2） ，（3 ）和（5）中与其相应的边界条件获得的11,22,48。我们插入介绍下一个标准有限元领域的变量设置问题。在三维问题中，存在三个速度 vi，压力 p，温度 T 以及三个压力梯度投影 i。在我们的作品中，我们对所有 3 节点三角网格（二维）和 4 节点四面体网格（三维）情况下所有变量使用同阶线性插值法。由此产生的离散方程的设置使用的是标准 Galerkin技术，如下表所示在公式（8）（10）中， ()表示节点的变量，() = 。不同的矩阵和向量由以下给出22,34,36。在使用公

14、式（8）（10）时的解法可以使用任意时刻的积分方案的典型更新拉格朗日有限元法来进行36,47。一中基本算法在以下第二节的概念过程中进行描述，呈现在 Box 1 中。4 新的网格生成PFEM 成功的一个关键点是在根据在该空间域中的节点位置每一个时间步长的网格快速重生。事实上，任何快速网格算法都可用于该目的。在我们的作品中，在每一时间步长的网格生成都使用了所谓的扩展 Delaunay tesselation（EDT） ，见文献17,19。CPU 时间要求网格随着节点数量线性增长。CPU 时间用于解决方程超过所需的网格节点增长数量。这种情况已经在所有用 PFEM 解决的问题中都有出现。作为对每一步消

15、耗总 CPU 大约 15%的大型三维问题网格一般规则，而方程的总结果（通常 3 次迭代至达到在一个时间步长内的收敛）和该系统组装消耗接近70%并且每个时间步长分别消耗 CPU 的 15%。这些数字指向由标准单处理器Pentium IV PC 对所有的计算和证明获得结果，并且证明了网格的生成在 PFEM中具有可以接受的成本。网格重划的成本类似于以下报道24。事实上，相当速度能够用平行计算技术来获得。5 边界表明的识别在 PFEM 法中的一个主要任务是对边界域进行正确的定义。边界节点有时会明确标出。在其他情况下，节点的总体设置是唯一的可用信息并且其算法必须先确认出边界节点。在我们的作品中，我们使用

16、一个扩展的 Delaunay 分区来识别边界节点 19。考虑到该节点遵循变量 h（x ）的分布，其中 h（x ）一般是两个节点间的最小距离。在一个半径比 h 大的空心球体上的所有节点，被认为是边界节点。在实践中 是一个接近但大于 1 的参数。 取值于 1.3 至 1.5 之间已被发现是在所有分析实例中的最佳取值。这个标准与阿尔法形状概念相符12。一旦边界上的节点被确定，该边界表面就由所有的多面体表面（或在二维情况下为多变形）具有边界上所有节点并且只属于一个多面体定义出来。该方法据描述还允许确定在主要流体域外的隔离流体粒子。这些粒子被视为外部边界处的部分，其压力值固定位大气压力值。我们回想一下，每个粒子是由其所属的固体域或流体域密度表征的一个质点。当边界元由于从主分析领域分离出发成为一个节点而被淘汰时，质量消失后会在该“飞”