弹簧模型和细线模型的暂态问题探讨

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1、弹簧模型和细线模型的暂态问题探讨元济高级中学（314300） 钱少林单纯的一个弹簧或一根细线，并无多大的物理意义至少在动力学方面如此。我们遇到的往往是弹簧或细线与物体的结连体问题，分析它们中的弹力或连结体的运动情况，特别是在某些情况下二者（弹簧强细线）的不同表现，才是我们感兴趣的地方，也是本文试图探讨的问题。为简便计，在此姑且把这类用弹簧和细线（轻绳等）的连结体问题归结为弹簧模型和细线模型，在外界条件突变时（如外力的突然产生或突然变化） ，它们达到最终稳定状态前的过程称之为暂态过程。一、两种模型的统一我们知道，一切物体在外力作用下都会或多或少地发生形变，并且在弹性形变状态下对所接触的其它物体施

2、以弹性力，其大小决定于该形变物体的性质（材料、结构等）以及所发生的形变特征和大小。在连结体问题中，弹簧和细线是常见的构件，它们的形变及弹力正是我们经常关注的对象。一般地，弹簧在受到一定的拉力、压力时，发生较明显的形变，且形变和弹力的关系（在弹性限度内）遵守胡克定律 f=KX。细线或柔软的绳，在拉伸形变时，发生的形变比较小，但其形变和弹力的关系同样可以认为遵守胡克定律，只不过劲度系数大小不同而已。劲度系数是由其材料、结构特性所决定的。为避免弹簧或细线自身有质量带来的各处弹力不等造成问题的复杂化，又能不失模型的内涵，两种模型中，弹簧或线、绳均以“轻质”为例，不计质量。对于弹簧的连结体模型，我们自然

3、首先想到的是弹簧振子，想到简谐振动。在此，我们也不妨从分析竖向的弹簧振子的运动开始。设在一轻质弹簧下面系一重物质量为 m，则我们知道平衡时弹簧已伸长X 0=mg/K,如图 1 所示，设 O 为现在的平衡位置。现若把重物再拉下距离 A 后由静止释放（设在弹性限度内） ，则我们也知道，在不考虑磨擦及空气阻力情况下，重物将在平衡位置 O 两侧作振幅为 A 的简谐振动，圆频率为 ，周期为2 。如设向下方向为正方向，为原点，则位移mK/ K/随时间的变化关系为：costcos tm/据此我们反过来推知回复力-cos tK/我们所关注的弹簧中的弹力 f据:+f有 f-cos t 0mK/-K( 0+cos

4、 t)其中 0+cos t 正是弹簧对原长的形变量,可记为X,/即:X 0+cos t，mKf-X可见,形变量X、弹力都是关于时间 t 的函数(其中负号表示弹力的方向与位移的方向反向)，它们都随时间作周期性变化。若问题中把此弹簧换成一弹性细绳，成为“细线模型” ，而其它情况不变，则放手后又如何呢？显然作为弹性细线，使得重物在细线原长的下方就象在弹簧下面一样作振动（平衡位置也在细线原长位置下方 0=mg/K 处，K 为细线的劲度系数） ，而回到细线原长处后，细线开始松驰，重物作竖直上抛运动，到最高点后再自由下落至原长处，又进入振动状态。如此重复进行，其下部分的振动和弹簧模型的下部分完全一样，只不

5、过一般因 K 很大，而振动频率（、）很大，振动很快而已。实际上，由于摩擦、介质阻力的存在，特别是线、绳的非弹性压缩阻力的影响，这种振动（或叠合上抛的运动）将不断衰减，直至最后停止或达到稳态。所以这里的衰减振动（或称无阻尼振动、减幅振动）只不过是外界条件突变后引起的一个暂态过程，是进入稳态前的一个过度过程。暂态过程的长短决定于振动能量衰减的快慢，而这除与受到的阻力大小有关以外，还决定于振动的快慢振动频率（、）的大小。频率大、振动快，振动衰减也快，暂态过程短，频率小，振动衰减也慢，暂态过程长。正如前面所述，我们已经知道，振动圆频率 。对于相同的振mK/动小球，圆频率主要决定于劲度系数 K 的大小。

6、对弹簧振子，由于 K 总是一个有限的定值（在弹性限度内） ，所以振动圆频率 有限，振动衰减的暂态过程就相对较长，足以观察和分析而不能视而不见或忽略不计。由位置或形变的连续性可知（由前面所得X、f 表达式）当 时，X （ 0+cos t） 0+0t0limt /f -(cos t 0)-( 0+)0lit K/可见，在刚突变（放手拉力突然撤去）的瞬间，也即暂态开始时，弹簧的形变量及其弹力均保持突变前的量值或特性。这就是弹簧模型的特征。如果其它条件不变，仅增大劲度系数，则 、增大，振动加快，结果是振动衰减也快，暂态过程就变短。当 时， ， ，相当于振动极快而振动衰减也极快，即kx振幅 A 很快地趋

7、于零，以致这种振动实际很难观察到，暂态过程极短，即可忽略暂态过程而直接进入稳态。因此，在放手瞬间 时，形变、弹力即可认0t为突变至稳态情形重物静止、弹力 f=mg、形变XX 0mg/K。与弹簧模型已全然不同，此为“细线模型” 。由有限的劲度系数到劲度系数 ，已完成了从弹簧模型到不可伸长的k细线模型（一般题意中，不可伸长即意味着 ）的演变。二、两种模型的区别由上可知，弹簧模型和细线模型的联系统一可从劲度系数 K 上得到体现，而其不同也是从 K 上导致。当外界条件突变时，对于一定的劲度系数的弹簧，在进入与之相适应的稳态之前，首先进入一个起源于突变前的暂态过程，而对于“不可伸长”的细线模型，因 而忽

8、略暂态过程直接进入稳态，立即适K应新的情景。因此如放手瞬间 时，弹簧模型类，其弹性形变的大小和其0t弹力均来不及变化，仍保持原有的量值；而细线模型类，即作跟随突变，反应极快，不计时间。下面我们再将前面的例子作一下改动，作为分析两种模型对比的实例。A、B 两个质量均为 m 的小球，A 球都用细线悬挂于 O 点，B 球分别用一个轻质弹簧和细线连接挂于 A 球的下方。如图 2（甲） 、 （乙）所示，其中弹簧的劲度系数为 K。现用剪刀分别剪断细线 OA，则在剪断瞬间 A、B 两球的加速度各多大？显然，剪断前甲图中 AB 间的弹簧和乙图中 AB 间的细线均已有形变和弹力，弹力的大小均等于 B 球的重力

9、mg，形变量的大小一般细线远小于弹簧。剪断AABB甲 图 2 乙 OA 瞬间，线 OA 中的拉力均立即消失。对甲图，A、B 间弹簧的形变和弹力均不能突变，系统在重力和弹力作用下运动，在进入稳态A、B 一起作自由落体、弹簧形变消失前，有一个暂态过程。此过程中，一方面整体（质心）只受重力作用作自由落体运动，另一方面 A、B 两球相对于系统质心作同振幅、反相位的减幅振动。 时的瞬间，即弹簧暂态开始时依然保持原有的形变和弹0t力 fmg，故 A、B 两球的受力如图 3（甲） 、 （乙）所示。故gmGfa2方向竖直向下 0faB而对乙图中，剪断 OA 瞬间，A、B 间细线反应极快，忽略暂态过程直接进入稳

10、态，即 A、B 间细线的微小形变及弹力均立即消失，故 A、B 两球均只受重力，故 ，方向竖直向下。ga/可见二者结果完全不同。弹簧模型有一个暂态过程，细线模型作跟随突变，这是由 K 的不同引起的两种模型的不同结果，是一种由量变引起质变的过程，也是一种理想化模型思想的运用。明确了两种模型的对立、统一关系，它们的暂态过程的不同表现及对此的思想化处理思想，就可对弹簧和细线的连接体问题作出简明的分析。三、应用举例例 1质量为 m 的小球 A，用轻质弹簧和细线悬挂于天花板和墙壁之间，且细线 AB 保持水平，弹簧 OA 与竖直线成 角，如图 4 所示。问剪断细线 AB瞬间 A 球运动的加速度及剪断以后 A

11、 球的运动情况。分析剪断前，A 球平衡，受力如图 5（甲）所示，有tancosmgfBOAGA=mg f=mgf=mgGB=mg乙甲 图 3AB图 4O 弹簧 OA 已发生形变， cosKmgfxOA在剪断 AB 瞬间， 消失；但作为弹簧的 OA 暂态开始时，其弹力和形变ABf依然如故，所以此时 A 球受力如图 5（乙）所示，所以合力 ，方tanmgF合向水平向右，因此 A 的加速度 ，方向水平向右。tangmFa合剪断 OA 之后，A 球经过一个较长的暂态过程，在这暂态过程中，我们可以从径向和横向分析其运动。一方面，径向似弹簧振子一样地作减幅振动（因受摩擦、介质阻力等） ，只不过振动的轴线在

12、绕 O 点不断旋转；另一方面，在横向因受重力的横向分力的作用而作单摆似的摆动，当然其摆长也在不断地变化。如果题目中 OA 间的弹簧也改为细线，则剪断 AB 前，A 球受力仍如图5（甲） ；剪断瞬间 0，OA 中细线也立即发生突变，立即适应新的情景，ABf进入暂稳态切向单摆似的摆动。在剪断瞬间 ，如图 6 所示，有径向0vcos: 0/ 2/mgflvOA得由即弹力由原来的 瞬间变为 ，形变由原来的 ，cos/mgcosmgcos/Kmgmg乙甲图 5ABf Af AmgAOAf合F图 6mgAOf突变为 。A 球此时的加速度也只存在于横向kmg/cos可见完全不同于弹簧模型的结局了。 sini

13、gaFa得， 由当然，一个连接体问题是归属于弹簧模型还是细线模型，须根据问题的实质来定，不能单看表面现象。同样是一根细线或绳子有时却须归入弹簧模型加以处理。例 2光滑水平面上，一个质量为 m 的小球被一劲度系数为 k 的弹性细绳系于弹性墙上，绳被拉直时至水平状态，如图 7 所示。已知绳原长为 L0，开始时把小球拉至距平衡位置为 a 时放手，求小球振动的周期（设运动过程中无机械能损失） 。分析题中“劲度系数为 k 的弹性细绳”等语，把表面上是细线类的连接体归纳到弹簧模型之中了指在拉伸形变时。细绳已有明显的形变如 a、一定的劲度系数 k 等，所以细绳的伸长振动过程已不是一个可忽略的暂态过程了，题意

14、中忽略了能量损失，已使这个暂态过程成为稳态了，且正是要分析的过程。所以，以此绳子连接的小球的运动，在平衡位置右侧完全是一个“弹簧振子”的振动，振幅为 a，周期为 ；而在平衡位置的左侧，却又kmT20具有绳子、线类不能产生压缩弹性形变及相应弹力的特征，只能松弛，不对小球的运动产生任何影响，小球作匀速直线运动往返。所以小球运动的周期为，其中右左 tTvLtkm021左右 式中 v 为小球在平衡位置及左侧的运动速率，可根据机械能转化与守恒求得由 221kammkava图 7故小球在平衡位置两侧所作的非对称性振动的周期为。kmaLkaLmT0022综上所述，弹簧模型和细线模型的连接体问题，当外界条件发生突变时，其暂态过程是有区别的，理想化处理情况下，往往认为弹簧模型的暂态过程不能忽略，故弹簧的形变和弹力不能突变。而细线模型，则忽略暂态作跟随突变处理。至于连接体问题的归类，须根据题意和实际情况而定。一般地具有有限劲度系数的弹簧、弹性细绳和橡皮条（在拉伸情形时）等，均应归入弹簧模型处理，它们往往发生较明显的形变，其形变和弹力不能发生突变。对于“不可伸长”的细线、绳子和细直杆（它在压缩、拉伸时均可）等，因其 ，形k变很小，可以忽略这微小的形变的产生或变化的过程和时间，作跟随突变处理。（完）