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1、1第四章练习题及参考解答4.1 假设在模型 中， 之间的相关系数为零，于iiii uXY32132X与是有人建议你进行如下回归： iii 2311(1)是否存在 ？为什么？32且(2) 11会 等 于 或 或 两 者 的 某 个 线 性 组 合 吗 ？(3)是否有 ？3322 varrvarr 且练习题 4.1 参考解答：(1) 存在 。32且因为 23232 iii iiii xxyy当 之间的相关系数为零时，离差形式的32X与 032ix有 2232 iii xyxy同理有： 3(2) 11会 等 于 或 的 某 个 线 性 组 合因为 ，且 ，23YX12YX13Y由于 ，则 32且11
2、222 11333 YYXX 则 11123231 (3) 存在 。3322 varrvarr 且2因为 2321varrxi当 时，023 22232 var ii x同理，有 33varr4.2 在决定一个回归模型的“最优”解释变量集时人们常用逐步回归的方法。在逐步回归中既可采取每次引进一个解释变量的程序(逐步向前回归 )，也可以先把所有可能的解释变量都放在一个多元回归中，然后逐一地将它们剔除(逐步向后回归) 。加进或剔除一个变量，通常是根据 F 检验看其对 ESS 的贡献而作出决定的。根据你现在对多重共线性的认识，你赞成任何一种逐步回归的程序吗？为什么？练习题 4.2 参考解答：根据对多
3、重共线性的理解，逐步向前和逐步向后回归的程序都存在不足。逐步向前法不能反映引进新的解释变量后的变化情况，即一旦引入就保留在方程中；逐步向后法则一旦某个解释变量被剔出就再也没有机会重新进入方程。而解释变量之间及其与被解释变量的相关关系与引入的变量个数及同时引入哪些变量而呈现出不同，所以要寻找到“最优”变量子集则采用逐步回归较好，它吸收了逐步向前和逐步向后的优点。4.3 下表给出了中国商品进口额 Y、国内生产总值 GDP、居民消费价格指数 CPI。表 4.11 中国商品进口额、国内生产总值、居民消费价格指数年份 商品进口额 (亿元) 国内生产总值 (亿元) 居民消费价格指数(1985=100)19
4、85 1257.8 9016.0 100.01986 1498.3 10275.2 106.51987 1614.2 12058.6 114.31988 2055.1 15042.8 135.81989 2199.9 16992.3 160.21990 2574.3 18667.8 165.21991 3398.7 21781.5 170.81992 4443.3 26923.5 181.71993 5986.2 35333.9 208.431994 9960.1 48197.9 258.61995 11048.1 60793.7 302.81996 11557.4 71176.6 327.9
5、1997 11806.5 78973.0 337.11998 11626.1 84402.3 334.41999 13736.4 89677.1 329.72000 18638.8 99214.6 331.02001 20159.2 109655.2 333.32002 24430.3 120332.7 330.62003 34195.6 135822.8 334.62004 46435.8 159878.3 347.72005 54273.7 183084.8 353.92006 63376.9 211923.5 359.22007 73284.6 249529.9 376.5资料来源：中国
6、统计年鉴，中国统计出版社 2000 年、2008 年。请考虑下列模型： ittt uCPIGDYlnlln3211)利用表中数据估计此模型的参数。2)你认为数据中有多重共线性吗？3)进行以下回归： itt itt vCPIGDBYA3211lnlnll 根据这些回归你能对数据中多重共线性的性质说些什么？4)假设数据有多重共线性，但 在 5%水平上个别地显著，并且总的 F 检验也是显32和著的。对这样的情形，我们是否应考虑共线性的问题？练习题 4.3 参考解答：(1) 参数估计结果如下422ln()3.061.57ln()1.057ln() ) 9 2.9.F.93GDPCIR进 口(括号内为标
7、准误)(2)居民消费价格指数的回归系数的符号不能进行合理的经济意义解释，且 CPI 与 GDP 之间的简单相关系数呈现正向变动。可能数据中有多重共线性。计算相关系数:(3)最大的条件数（病态指数）CI=108.812，表明 GDP 与 CPI 之间存在较高的线性相关。 Spss 软件中 analyze/regression/linear 的对话框中选 Statistics 选项框中点选 Collinearity diagnostic 共线性诊断，然后做回归。方差膨胀因子为3.381，小于10，不存在严重的多重共线性CoefficientsaCollinearity StatisticsMode
8、l Tolerance VIFx1 .296 3.3811x2 .296 3.381a. Dependent Variable: y最大的条件数Collinearity DiagnosticsaModel Dimension特征值Eigenvalue条件值或病态指数= Conditioimn IndexVariance Proportions方差比例5(Constant) GDP CPI1 2.745 1.000 .01 .01 .002.2333.429=23.0745.15 .29 .0013.02211.192=02.745.85 .70 .99a. Dependent Variable
9、: y方差比例值在第三行中均较大，表明常数项、GDP、CPI 之间存在复共线性。(4)分别拟合的回归模型如下：22lnY4.0971.86ln() t=(-5) (3.0 198.6GDPRF622lnY5.4.637ln(PI) t=(-1) (8090.8. 136.47CRF22ln()1.4380.6ln(PI) t=-95) (.7 28.710GDPCRF方差膨胀因子 VIF=1/(1-0.9309)= 14.47178，表明 LnGDP 与 LnCPI 之间存在较高的线性相关单方程拟合效果都很好，回归系数显著，可决系数较高，GDP 和 CPI 对进口分别有显著的单一影响，在这两个
10、变量同时引入模型时影响方向发生了改变，这只有通过相关系数的分析才能发现。(5)如果仅仅是作预测，可以不在意这种多重共线性，但如果是进行结构分析，还是应该引起注意。4.4 自己找一个经济问题来建立多元线性回归模型，怎样选择变量和构造解释变量数据矩阵 X 才可能避免多重共线性的出现？练习题 4.4 参考解答：本题很灵活，主要应注意以下问题:(1)选择变量时要有理论支持，即理论预期或假设；变量的数据要足够长，被解释变量与解释变量之间要有因果关系，并高度相关。（2）建模时尽量使解释变量之间不高度相关，或解释变量的线性组合不高度相关。4.5 克莱因与戈德伯格曾用 1921-1950 年(1942-194
11、4 年战争期间略去 )美国国内消费 Y和工资收入 X1、非工资非农业收入 X2、农业收入 X3 的时间序列资料，利用 OLSE 估计得出了下列回归方程：737.10 95.0 (1.09) (6) ()823245.13.FRXXY括号中的数据为相应参数估计量的标准误差。试对上述模型进行评析，指出其中存在的问题。练习题 4.5 参考解答：从模型拟合结果可知，样本观测个数为 27，消费模型的判定系数 ，F 统计量95.02R为 107.37，在 0.05 置信水平下查分子自由度为 3，分母自由度为 23 的 F 临界值为 3.028，计算的 F 值远大于临界值，表明回归方程是显著的。模型整体拟合
12、程度较高。依据参数估计量及其标准误，可计算出各回归系数估计量的 t 统计量值：01238.13.0590.450.12.9,6.1,.69,.27 9ttt t除 外，其余的 值都很小。工资收入 X1 的系数的 t 检验值虽然显著，但该系数的估计值1jt过大，该值为工资收入对消费边际效应，因为它为 1.059，意味着工资收入每增加一美元，消费支出的增长平均将超过一美元，这与经济理论和常识不符。另外，理论上非工资非农业收入与农业收入也是消费行为的重要解释变量，但两者的t 检验都没有通过。这些迹象表明，模型中存在严重的多重共线性，不同收入部分之间的相互关系，掩盖了各个部分对解释消费行为的单独影响。
13、4.6 理论上认为影响能源消费需求总量的因素主要有经济发展水平、收入水平、产业发展、人民生活水平提高、能源转换技术等因素。为此，收集了中国能源消费总量 Y (万吨标准煤) 、国民总收入(亿元)X1(代表收入水平)、国内生产总值 (亿元)X2(代表经济发展水平) 、工业增加值(亿元)X3 、建筑业增加值( 亿元)X4、交通运输邮电业增加值(亿元)X5(代表产业发展水平及产业结构) 、人均生活电力消费 (千瓦小时 )X6(代表人民生活水平提高) 、能源加工转换效率(%)X7(代表能源转换技术)等在 1985-2007 年期间的统计数据， 具体如表4.2 所示。表 4.12 19852007 年统计
14、数据能源消费 国民总收入 国内生产总值 工业增加值 建筑业增加值 交通运输邮电 增加值 人均生活电力消费 能源加工转换效率年份y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X71978 3645.2171979 4062.57981980 4545.6241981 4891.5611982 5323.3511983 5962.6521984 7208.0521985 76682 9040.7 9016 3448.7 417.9 406.9 21.3 68.291986 80850 10274.4 10275.2 3967 525.7 475.6 23.2 68.321987 86632 12050.
15、6 12058.6 4585.8 665.8 544.9 26.4 67.481988 92997 15036.8 15042.8 5777.2 810 661 31.2 66.541989 96934 17000.9 16992.3 6484 794 786 35.3 66.511990 98703 18718.3 18667.8 6858 859.4 1147.5 42.4 67.21991 103783 21826.2 21781.5 8087.1 1015.1 1409.7 46.9 65.91992 109170 26937.3 26923.5 10284.5 1415 1681.8 54.6 66.001993 115993 35260 35333.9 14188 2266.5 2205.6 61.2 67.321994 122737 48108.5 48197.9 19480.7 2964.7 2898.3 72.7 65.21995 131176 59810.5 60793.7 24950.6 3728.8 3424.1 83.5 71.051996 138948 70142.5 71176.6 29447.6 4387.4 4068.5 93.1 71.51997 137798 77653.1 789
