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1、第一节 椭 圆,三年9考 高考指数:1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质；2.了解椭圆的参数方程.,1.椭圆的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点；2.数形结合、分类讨论、函数与方程思想及待定系数法求椭圆方程是重点也是难点;3.选择题、填空题、解答题三种题型都有可能出现，选择、填空题经常考查椭圆的定义、标准方程、几何性质；解答题经常,以两问的形式出现，第一问考查椭圆的定义、标准方程以及几何性质，第二问则考查直线与椭圆的位置关系及学生分析问题、解决问题的能力.,1.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1、F2的距离的_等于常数(大于|
2、F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆；(2)平面内与一个定点F和一条定直线l(F_l上)的距离的_是常数e(e(0,1)的动点的轨迹叫做椭圆.,和,不在,比,判断下列点的轨迹是否为椭圆.(请在括号内填“是”或“否”)(1)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于2的点的轨迹 ( )(2)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于4的点的轨迹 ( )(3)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于6的点的轨迹 ( ),【解析】由椭圆的定义可知:(1)距离之和小于|AB|，所以点的轨迹不存在；(2)距离之和等于|AB|，点的轨迹是以A、B为端点的一条线段；(3)符合椭圆定义，点
3、的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆.答案：(1)否 (2)否 (3)是,2.椭圆的标准方程及几何性质,a2=b2+c2,【即时应用】(1)思考：椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系?提示：因为离心率 所以，离心率越接近于1，b就越接近于0，即短轴的长接近于0，椭圆就越扁；离心率越接近于0，a、b就越接近，即椭圆的长、短轴长越接近相等，椭圆就越接近于圆，但永远不会为圆.,(2)已知椭圆 的焦点在y轴上，若椭圆的离心率为则m的值为_.【解析】 的焦点在y轴上，所以a2=m,m2 b2=2，离心率为 又离心率为 所以 解得答案：,(3)已知椭圆的短轴长为6，离心率为 则椭圆的一个焦点到
4、长轴端点的距离为_.【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3 又因为离心率为 所以 = 又因为a2=b2+c2 解组成的方程组得：a=5,c=4.所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1.答案：9或1,椭圆的定义及标准方程【方法点睛】1.椭圆参数的几何意义,M1,K1,A1,F1,B,O,F2,P,A2,K2,M2,(1)|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|= (2)a-c|PF1|a+c;(3)|F1K1|=|F2K2|=(4)焦半径：|PF1|=e(x+ )=a+ex，|PF2|=e( -x)=a-ex.,2.椭圆的标准方程(1)当焦点在x轴上时，标准方程为 (
5、ab0)；当焦点在y轴上时，标准方程为 (ab0)；(2)当已知椭圆的焦点不明确时，其标准方程可设为 (m0,n0,mn)，为避免讨论和复杂的计算，也可设为Ax2+By2=1(A0,B0,AB).,【例1】(1)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为_.(2)P为椭圆上任意一点，F1，F2为左右焦点，如图若PF1的中点为M，求证：|MO|=5- |PF1|；若F1PF260，求|PF1|PF2|的值；求|PF1|PF2|的最值.,【解题指南】(1)可先设椭圆的方程为 或(ab0)，再根据题设条件求出相应的系
6、数值即可.(2)利用椭圆第一定义及三角形中位线求解.利用余弦定理求解.由焦半径公式，结合P点坐标的取值范围求解.,【规范解答】(1)设椭圆方程为 或 (ab0)，因为P到两焦点的距离分别为5、3，所以2a=5+3=8，即a=4，又因为过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，所以(2c)2=52-32=16，所以c2=4，因此b2=a2-c2=12，所以椭圆方程为： 或答案： 或,()在F1PF2中，MO为中位线，|PF1|+|PF2|=10,|PF1|2+|PF2|2=100-2|PF1|PF2|,在F1PF2中，由余弦定理得,解得|PF1|PF2|=设P点坐标为(x1,y1),则|PF1
7、|PF2|=(a+ex1)(a-ex1)=又-5x15,0 25,当 =0时，(|PF1|PF2|)max=25.当 =25时，(|PF1|PF2|)min=25-9=16.,【互动探究】本例(1)将条件“过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点”改为“点P和两焦点构成的三角形为直角三角形”,结果如何？【解析】当其中一个焦点为直角顶点时，与例题条件相同，所以，椭圆方程为当直角顶点为点P时，则有(2c)2=52+32=34，所以 又因为a=4，所以所以椭圆方程为：,综上可知：所求椭圆方程为：,【反思感悟】1.求椭圆的标准方程主要有定义法和待定系数法两种方法，有时还可根据条件用代入法.用待定系数
8、法求椭圆方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能.(2)设方程：根据上述判断设椭圆的方程.(3)找关系：根据已知条件建立关于a、b、c或m、n的方程组.(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.,2.当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离或焦点弦长等条件时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即用焦半径公式来解决.,【变式备选】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两准线间的距离为 焦距为(2)椭圆经过两点【解析】(1)设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，所求椭圆方程为,(2)设椭圆方程为椭圆方程为
9、,椭圆的几何性质及应用【方法点睛】1.椭圆几何性质中的不等关系对于椭圆标准方程中x、y的范围，离心率的范围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这些不等关系.2.利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当,涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.3.求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式(或不等式)，利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.【提醒】椭圆离心率的范围:0e1.,【例2】(2011天津高考)在平面直角坐标系xOy中，点
10、P(a,b)(ab0)为动点，F1,F2分别为椭圆 的左,右焦点已知F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，M是直线PF2上的点，满足 求点M的轨迹方程【解题指南】(1)可由F1PF2为等腰三角形，得出a、b、c之间的关系式，消去b，即得离心率的值；(2)可用直接法求出轨迹方程.,【规范解答】(1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c0)，由题意，可得|PF2|=|F1F2|,即 整理得 得 (舍)，或 所以 (2)由(1)知：a=2c,b= c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2的方程为y= (x-c).A，B两点的坐标满足方
11、程组,消去y并整理，得5x2-8cx=0.解得x1=0,x2= c.M(x,y)，令则由y= (x-c),得c=x- y.于是 由 即,化简得将 代入 得所以x0.因此，点M的轨迹方程是,【反思感悟】1.依据题设条件求椭圆的离心率，其关键是依据题设条件寻找关于a、c的一个等式，解方程求出离心率的值；有些题目求离心率的范围，解题思路也是如此.2.列方程求轨迹方程的方法是最基本的方法，应用已知条件中的等式求方程，但要注意同解变形，注意变量的取值.,【变式训练】(2012无锡模拟)设椭圆 (ab0)的两个焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，且tanPF1F2=2,则该椭圆的离心率等于_.【解析】因为
12、 所以PF1PF2，得F1PF2为直角三角形，又因为tanPF1F2=2，所以可设|PF1|=m，则|PF2|=2m，2a=3m，2c= m，所以离心率答案：,【变式备选】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E： (ab0)的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB30，则椭圆E的离心率等于_.【解析】依题设知：点C的坐标为 又因为点C在椭圆E上，所以有 解得a2=9b2，因此，a2=9(a2-c2)，即 所以椭圆E的离心率等于 .答案：,直线与椭圆的位置关系【方法点睛】 1.直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程；(2)消元得出关于x(或y)的
13、一元二次方程；(3)当0时，直线与椭圆相交；当=0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离.,2.直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)、B(x2，y2),则或 (k为直线斜率k0).3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法【提醒】利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.,【例3】(2011北京高考)已知椭圆G: 过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.【解题指南】(1)根据标准方程可求出焦点坐标和离心率；(2)先讨论切线l斜率不存在时的两种情况，当斜率存在时，联立切线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及弦长公式可表示出|AB|，再求|AB|的最大值.,【规范解答】(1)由已知得a=2,b=1，所以 所以椭圆G的焦点坐标为(- ,0),( ,0)，离心率为(2)由题意知，|m|1.当m=1时，切线l的方程为x=1，点A,B的坐标分别为(1, ),(1,- ),此时|AB|= ；当m=-1时，同理可得|AB|= ；当|m|1时，设切线l的方程为y=k(x-m).由 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.,
