《【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 4.1角的概念及任意角的三角函数配套课件 理 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 4.1角的概念及任意角的三角函数配套课件 理 新人教A版（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节 角的概念及任意角的三角函数,三年3考 高考指数:1.了解任意角的概念、弧度的意义；2.能正确地进行弧度与角度的换算；3.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；4.了解余切、正割、余割的定义.,1.弧度与角度的换算及任意角的三角函数定义是本节的重点，三角函数定义的应用是难点;2.本节一般不会单独命题，但本节内容是后续学习的基础.,1.任意角的相关概念(1)任意角定义：角可以看成平面内_绕着_从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.分类：正角、_和_.(2)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S=|=_.,一条射线,端点,负角,零角,+k360，kZ,(3)象限角,|k
2、360k360+90,kZ,|k360+90k360+180,kZ,|k360+180k360+270,kZ,|k360+270k360+360,kZ,【即时应用】思考：(1)始边和终边都分别相同的两个角一定相等吗？(2)=k360+90(kZ)是第几象限角?(3)在平面直角坐标系中，始边与x轴正半轴重合的60与120角的终边有什么关系？,提示：(1)不一定，始边和终边都分别相同的两个角可能相等，也可能相差360的整数倍.(2)不是任何象限的角，=k360+90(kZ)是终边落在y轴非负半轴上的角，不是任何象限的角.(3)关于y轴对称，数形结合易知.,2.角度制与弧度制(1)角度制与弧度制的互
3、化360=_rad,1=_rad,1rad=( )57.30=_.(2)扇形的弧长与面积设扇形的弧长为l,圆心角为(rad),半径为r,面积为S,则l=_;S= _.,2,5718,|r,【即时应用】(1)30=_rad，45=_ rad,60=_ rad,90=_ rad.(2) = _， = _.(3)半径为1,圆心角为120的扇形的弧长为_，面积为_.,【解析】(1)30= ,同理可得45= ,60= ,90= .(2)(3)120角的弧度数为 ,弧长 ，面积S= .,答案：(1) (2)120 150(3),3.任意角的三角函数(1)定义条件：设是一个任意角，其终边上任意一点P(除端点
4、外)的坐标是(x,y)，它与原点的距离|OP|=r=_.,图示：,结论：sin=_;cos=_;tan=_;cot=_;sec=_;csc=_.,(2)三角函数线概念:三角函数线是表示三角函数值的有向线段.有向线段的方向表示了三角函数值的_.有向线段的长度表示了三角函数值的_.,正负,绝对值,图示:,如图所示：正弦线用线段_表示余弦线用线段_表示正切线用线段_表示,MP,OM,AT,【即时应用】(1)思考：根据三角函数的定义，角的正弦与余割、余弦与正割、正切与余切有什么关系？各象限角的三角函数值的符号有何规律?,提示：由三角函数的定义易知，角的正弦与余割、余弦与正割、正切与余切分别互为倒数；第
5、一象限角的三角函数值都是正的，第二象限角只有正弦与余割是正的，其他四个值是负的；第三象限角正切与余切是正的，其他四个值是负的；第四象限角只有余弦和正割是正的，其他四个值是负的，可简记为一全正，二正弦(余割)，三两切，四余弦(正割).,(2)结合三角函数的正弦线，在 内与sin的大小关系为_sin.【解析】数形结合易知，在单位圆中，弧长大于垂线段的长度，而在 内弧长l=1=，所以sin.答案：,(3)已知角终边上一点的坐标为A(-2,2)，则=_.【解析】由点A的坐标可知角终边在第二象限，由三角函数的定义可知 ，所以= .答案：,角的概念【方法点睛】1.角的范围角的范围由初中熟悉的角的范围018
6、0(0,)推广到任意角，即有负角、零角和正角.正角的度数可以很大，负角的度数可以很小.,2.终边相同的角角大小不同，其终边位置可能相同；终边相同，角的性质也相同，这就是角的周期性.与终边相同的角可表示为：k2+(kZ)，即与终边相同的角与相差2的整数倍.3.象限角根据角的范围可以确定角的终边的位置，解答与角的终边有关的问题常用数形结合法.,【例1】(1)在-720720内写出与45角终边相同的角构成的集合.(2)如果角是第三象限角，那么角-,-，+的终边在第几象限？【解题指南】(1)写出与45角终边相同的所有角，再确定在-720720内的角;(2)根据的范围，确定-，-,+的范围，再根据范围确
7、定所在象限.,【规范解答】(1)与45角终边相同的角可表示为45+k360(kZ)，在-720720内，k可取-2,-1,0,1.所以与45角终边相同的角构成的集合为-675,-315,45,405.,(2) , -终边在第二象限.又由各边都加上，得 .-终边在第四象限. ,+终边在第一象限.,【互动探究】对本例(2)，试探究的终边与-,-,+的终边的关系.【解析】在同一坐标系里画出角，-, -,+如图所示.,由图易知角的终边与-的终边关于x轴对称，与-的终边关于y轴对称，与+的终边关于原点对称，此结论对任意角都成立.,+的终边,-的终边,的终边,-的终边,【反思感悟】1.根据角的取值范围，确
8、定与有关的角的取值范围时,要注意不等式的变形与应用.2.利用与角的终边相同的角的集合S=|=+k2,kZ，可以把任意角转化到0,2)内来研究.,【变式备选】已知是第一象限角，试分别确定2， 的终边所在位置.【解析】为第一象限角， ,(1)4k24k+，故2是第一象限角或第二象限角或其终边在y轴的非负半轴上.,(2) ,当k为偶数时，设k=2n，nZ,则 ;当k为奇数时，设k=2n+1，nZ，则 ,故 是第一象限角或第三象限角.,与扇形有关的问题【方法点睛】与扇形弧长、面积有关的问题因为弧度数是借助于扇形定义的，所以有关扇形的周长及面积问题的解答常用到扇形的圆心角的弧度数，设扇形的半径为r，弧长
9、为l，面积为S，圆心角的弧度数为(0)，则l=r,S= .,【例2】(1)已知扇形的面积为 ，半径为4，则扇形的圆心角的弧度数为_.(2)已知扇形的周长是c(c0)，当其圆心角是多少弧度时，扇形的面积S最大，最大面积是多少？【解题指南】(1)先求弧长，再求角的弧度数.(2)建立S关于(或弧长l)的函数，通过求函数的最值解决问题.,【规范解答】(1)设扇形的弧长为l，圆心角为，则答案：,(2)设扇形的半径为R，弧长为l,方法一，2R+l=c,即2R+R=c, R= .S扇= ,当且仅当= ,即=2时等号成立.即当=2时，扇形的最大面积是 .,方法二，2R+l=c，R= ,S扇= ,当l= 时，(
10、S扇)max= ,此时= ,即当=2时，扇形的最大面积是 .,【互动探究】试求本例(1)中扇形的弧长所在弓形的面积.【解析】如图，由本例(1)知S弓=S扇形AOB-SAOB= .,【反思感悟】求函数最值时，要分清哪是常数，哪是变量，然后选择正确方法求解.如本例(2)可以创造条件用基本不等式求最值， 也可以求二次函数的最值.,【变式备选】一条弦的长度等于其所在圆的半径r，求这条弦所对的劣弧的长及这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【解析】如图所示，在半径为r的O中弦AB长度为r，则OAB为等边三角形，所以AOB= ，则弦AB所对的劣弧长为SAOB= ,S扇形AOB= ，S弓形=S扇形AOB-SAOB
11、= .,三角函数定义的应用【方法点睛】三角函数定义的理解与应用(1)根据三角函数的定义可知，角的各个三角函数值与终边上取点的位置无关，只与角的大小有关，当角的终边落在y轴上时，其正切值不存在.,(2)角的各个三角函数(比如正弦 )中涉及三个量，已知两个量，可以求另一个量. 【提醒】若角的终边与单位圆交于点P(x,y)，则sin=y,cos=x.,【例3】(2011江西高考)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4,y)是角终边上一点，且sin= ,则y=_.【解题指南】首先根据条件求出|OP|的长度，再根据任意角三角函数定义列方程求y的值.,【规范解答】sin= 及P(4,y)是角
12、终边上一点，可知为第四象限角，y0. ,根据任意角三角函数的定义，得 ，解得y=-8.答案：-8,【反思感悟】解答本题易误填8，出错的原因是解方程时两边平方，扩大了y的取值范围，而忘了检验，在以后的学习中要养成检验的良好习惯.,【变式训练】1.比较大小,sin10_0，tan10_0.【解析】310 ,10rad是第三象限角,sin100,tan100.答案： ,2.已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos，tan的值.,【解析】角的终边在直线3x+4y=0上,可在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),则x=4t,y=-3t,r= .当是第四象限角时,t0,r=5t,sin= ,cos= ,tan= ;,当是第二象限角时，t0,r=-5t,sin= ,综上可知,当是第四象限角时,sin= ,cos= ,tan= ;当是第二象限角时，sin= ,cos= ,tan= .,【易错误区】三角函数定义的应用误区【典例】(2012玉林模拟)设是第三、四象限角，sin= ，则m的取值范围是_.【解题指南】根据三角函数的定义，列关于m的不等式，解答时要注意不等式的等价转化.,【规范解答】由题意,得-1sin0，即 , 由 得 ，即(m+1)(m-4)0,-1m4.又由 ,得(2m-3)(m-4)0， 或m4, .答案：,
