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1、离散型随机变量的分布列基础梳理1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.2.对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件.3.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.从集合角度来看， A、 B 两个事件互斥，则表示 A、 B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.4.事件 A、 B 的和记作 A+B，表示事件 A、 B 至少有一个发生.当 A、 B 为互斥事件时，事件 A+B 是由“A 发生而 B 不发生”以及“ B 发生而 A 不发生”构成的
2、，因此当 A 和 B 互斥时，事件 A+B 的概率满足加法公式： P（ A+B）= P（ A）+ P（ B） （ A、 B 互斥） ，且有 P（ A+ ）= P（ A）+ P（ ）=1.当计算事件 A 的概率 P（ A）比较困难时，有时计算它的对立事件 的概率则要容易些，为此有P（ A）=1 P（ ）.对于 n 个互斥事件 A1， A2，A n，其加法公式为 P（ A1+A2+An）= P（ A1）+ P（ A2）+ P（ An）.5.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.6.相互独立事件：事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件
3、.7.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生 k 次的概率为 Pn（ k）=C npk（1 p） n k.8.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.9.互斥事件与相互独立事件是有区别的：两 事 件 互 斥 是 指 同 一 次 试 验 中 两 事 件 不 能 同 时 发 生 ， 两 事 件 相 互 独 立 是 指 不 同 试 验 下 ， 二 者 互 不 影 响 ；两
4、 个 相 互 独 立 事 件 不 一 定 互 斥 ， 即 可 能 同 时 发 生 ， 而 互 斥 事 件 不 可 能 同 时 发 生 .10.事件 A 与 B 的积记作 AB， AB 表示这样一个事件，即 A 与 B 同时发生.当 A 和 B 是相互独立事件时，事件 AB 满足乘法公式 P（ AB）= P（ A） P（ B） ，还要弄清 AB，的区别. 表示事件 与 同时发生，因此它们的对立事件 A 与 B 同时不发生，也等价于 A 与B 至少有一个发生的对立事件即 ，因此有 ，但 = .11三种分布(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D (X)p(1p) ； (2)XB(n，p) ，
5、则 E(X)np，D (X)np(1 p)；(3)若 X 服从超几何分布，则 E(X)n .MN六条性质(1)E(C)C (C 为常数) (2)E(aXb)aE( X)b(a、b 为常数) (3)E(X1X 2)EX 1EX 2(4)如果 X1，X 2 相互独立，则 E(X1X2)E(X 1)E(X2) (5)D(X)E( X2)(E( X)2(6)D(aXb)a 2D(X)典型例题：【例 1】某社区举办 2010 年上海世博会知识宣传活动，并进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有 10 张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物) 图案，参加者每次从盒中抽取两张卡
6、片，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是 .求抽奖者获奖的概率；13(2)现有甲、乙、丙、丁四个人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用 表示获奖的人数，求 的分布列及 E()，D() 解 (1)设“世博会会徽”卡 n 张，由 ，n6，故“海宝”卡有 4 张，抽奖者获奖的概率为 .C2nC210 13 C24C210 215(2)由题意知，符合二项分布，且 B ，故 的分布列为 P(k)C k 4k (k0,1,2,3,4) 或(4，215) k4(215)(1315) 0 1 2 3 4
7、P 4(1315)C 314215(1315)C 2 224(215)(1315)C 334(215)(1315)4(215)由 的分布列知，E( )4 ，D() 4 .215 815 215 (1 215) 104225【例 2】袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 .现有甲、乙两人从袋中轮流17摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 X 表示取球终止时所需要的取球次数(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量 X 的分布列；(3)求甲取到白球的概率解 (1)设袋中白球共有
8、x 个，根据已知条件 ，即 x2 x60，解得 x3，或 x2(舍去)C2xC27 17(2)X 表示取球终止时所需要的次数，则 X 的取值分别为：1,2，3,4,5.因此， P(X1) ，A13A17 37P(X2) ， P(X3) ， P(X4) ， P(X5) .A14A13A27 27 A24A13A37 635 A34A13A47 335 A4A13A57 135(3)甲取到白球的概率为 P .A13A17 A24A13A37 A4A13A57 37 635 135 2235【例 3】甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮
9、空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为 ，且各局胜负相互独立，求：12(1)打满 3 局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数 的分布列与期望 E()解 令 Ak，B k，C k分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满 3 局比赛还未停止的概率为P(A1C2B3)P(B 1C2A3) .123 123 14(2) 的所有可能值为 2,3,4,5,6，且P(2)P( A1A2)P(B 1B2) ，P (3)P(A 1C2C3)P(B 1C2
10、C3) ，122 122 12 123 123 14P(4)P( A1C2B3B4)P(B 1C2A3A4) ，P (5)P( A1C2B3A4A5)P(B 1C2A3B4B5)124 124 18 ，125 125 116P(6)P( A1C2B3A4C5)P(B 1C2A3B4C5) ，125 125 116从而 E()2 3 4 5 6 (局)12 14 18 116 116 4716【例 4】 A、 B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 A 赢得 B一张卡片，否则 B 赢得 A 一张卡片规定掷硬币的次数达 9 次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏
11、终止设 X 表示游戏终止时掷硬币的次数(1)求 X 的取值范围；(2)求 X 的数学期望 E(X)解 (1)设正面出现的次数为 m，反面出现的次数为 n，则Error!可得：当 m5，n0 或 m0，n5 时，x5.当 m6，n1 或 m1，n6 时，X7.当 m7，n2 或 m2，n7 时，X9.所以 X 的所有可能取值为： 5,7,9.(2)P(X5) 2 5 ；P(X7)2C 7 ；P(X9)1 ；(12) 232 116 15(12) 564 116 564 5564E(X)5 7 9 .116 564 5564 27532【例 5】某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有 A、 B
12、 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响若有且仅有一项技术指标达标的概率为 ，至少一项技术指标达标的概率为 .按质512 1112量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品(1)求一个零件经过检测，为合格品的概率是多少？(2)依次任意抽出 5 个零件进行检测，求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少？(3)依次任意抽取该零件 4 个，设 表示其中合格品的个数，求 E 与 D .解 (1)设 A、B 两项技术指标达标的概率分别为 P1、P 2，由题意得：Error!解得Error!或Error!所以 PP 1P2 ，即一个零件经过检测，为合格品的概率为 .12 12(2)任意抽
13、出 5 个零件进行检测，其中至多 3 个零件是合格品的概率为 1C 5C 5 .45(12) 5(12) 1316(3)依题意知 B ，故 E()4 2，D ()4 1.(4，12) 12 12 12【例 6】甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为 ，乙机投弹一次23命中目标的概率为 ，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响12(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；(2)记目标被命中的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望解答示范 设 Ak表示甲机命中目标 k 次，k0,1,2，B l表示乙机命中目标 l 次，l0,1
14、,2，则 Ak，B l独立由独立重复试验中事件发生的概率公式有P(Ak)C k 2k ，P (Bl)C l 2l .k2(23)(13) l2(12)(12)据此算得 P(A0) ，P(A 1) ，P(A 2) .19 49 49P(B0) ，P(B 1) ，P(B 2) .(2 分)14 12 14(1)所求概率为1P(A 0B0A 0B1A 1B0)1 1 .(4 分)(1914 1912 4914) 736 2936(2) 的所有可能值为 0,1,2,3,4，且P(0)P( A0B0)P(A 0)P(B0) ，19 14 136P(1)P( A0B1)P(A 1B0) ，19 12 49 14 16P(2)P( A0B2)P(A 1B1)P (A2B0) ，(8 分)19 14 49 12 49 14 1336P(3)P( A1B2)P(A 2B1) ，49 14 49 12 13P(4)P( A2B2) .(10 分)49 14 19综上知， 的分布列如下： 0 1 2 3 4P 136 16 1336 13 19从而 的期望为 E()0 1 2 3 4 .(12 分)136 16 1336 13 19 73
