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1、1位能和能量守恆定律位能一、位能：物體系統由於形變或產生相對位移時所儲存的能量稱為位能。例如拉伸一彈簧使其變長則需作功，此功就轉成彈簧分子間作用的彈力位能，又如兩個帶異性電荷的質點若其由相距 d1拉開成相距 d2必須作功，此功儲存於二者的相對位置變化當中，當物體回到原位則將該能量依不同型式放出來。 （可能是動能或勢能、光能等）二、重力位能：質量 m 的物體和地球間有萬有引力，其和地球間距離拉開將需作功，此功儲存於二者拉開的位置變化當中，稱為重力位能。1.地表之重力位能：在地球表面物體被移動的距離相對看來很短，故地球和物體間之引力（即重力）視為定值，一般以代表質量 m 之物體所受的重力。將質量
2、m 之物體鉛直向上舉 h 高度，則需作功 w h，此功將成為重力位能，因此可知：(1)物體在高度差為 h 之兩位置的位能差為： U h(2)我們無法定義某點位置的絕對位能值為何。(3)我們可定某一位面為標準之零位面，然後相對於此位面去知道其它位置之相對位能。將長 l，質量為 m 且粗細均勻之木條一端懸起，由垂直位置轉動 60，則重力位能變量為何？ l ： 41範例 1主題 1 位能與重力位能2質量為 2m 及 m 之 A、 B 二球，各繫於一輕繩之兩端，此繩跨過一無摩擦之滑輪，如圖所示。設 A 球距地面 h 高而 B 靜止於地面。 A 球釋放後：(1)當 A、 B 二球同高時，二球之位能變化量
3、為何？(2)總位能變化量為何？：以動能 10J 及仰角 60斜拋一小石頭，當其運動方向與水平成 30時，重力對小石頭的作功是多少？【南一習題】6.7J ：在美國尼加拉布每秒大約有 5.5106的水下落 50m，則每秒下落的水中有多少位能轉變為動能？【南一習題】每秒有 h(5.5106)(9.8)(50)2.7109J ：長為 ，質量 m 之均勻粗繩，置於光滑水平桌面上（一半在桌上） ，若全部拉回桌上，則其位能改變多少mg ： 81範例 2範例 3範例 4ABh範例 5範例 63在同一水平直線上運動的 A、 B 二滑車，各載有一根固定不動的強力磁棒（如圖） ，今令二車自遠距離互相接近，結果二者接
4、近至某一程度尚未接觸，即互相推離，設摩擦力可以忽略，則在運動過程中，下列敘述何者正確？(A)此系統位能和保持不變 (B)此系統之動能和保持不變 (C)此系統之總能量保持不變 (D)此系統之重力位能保持不變 (E)兩車距離越小時，它們之間之位能越大。 【71 日大】(C)(D)(E) ：一、對彈性體作功：施一力於彈簧，使其形變（伸長或壓縮） ，若彈簧之力常數為 k，而形變量為 x0，則所作之功 W 為W kx021即 Fx 曲線下之面積。二、所作之功儲存為彈力位能 Us：前面所討論的功 W kx021將被彈簧系統儲存為位能；若形變量由 x1變成 x2，則其位能差為 Us。 Us k(x22x12
5、)一彈簧槍內之彈簧，其彈簧力常數為 9102牛頓/公尺，現將彈簧壓縮 5102公尺，緊貼其前放一質量為 0.01 公斤的鐵球，若不考慮摩擦力，且放鬆彈簧後所有彈力位能皆變成動能，則鐵球的速率為_公尺/秒。 【彰化師大】：範例 1主題 2 彈性位能xFx0kx0N NSSA B4一垂直懸掛的彈簧，當在底端掛 10 仟克的物體時，其長度為 1 米，若把物體換成 20 仟克，則彈簧長度變為 1.25 米，則彈之彈力常數_彈簧增加之內能為_焦耳。 【彰化師大】392N/m, 36.75 ：壓縮一彈簧 x 長，需施力 F，做功 W。若再繼續壓縮 x 長，則(A)需力 F (B)需力 2F (C)需再做功
6、 2W (D)需再做功 3W (E)需再做功 Fx。 【70 夜大】23(B)(D)(E) ：一氧化碳分子中碳與氧原子在平衡時相距 1.131010米，當兩原子之距離增大至 1.151010米時，兩原子之間之吸引力為 3.741010牛頓。假定虎克定律成立，則當兩原子距離自 1.131010米增大至 1.151010米時，分子位能增加 (A)2.461020焦耳 (B)4.310 20焦耳 (C)7.5810 22焦耳 (D)3.7410 22焦耳。 【70 日大】(D) ：如右圖，質量 m 之質點置於光滑地面，兩邊各以原長 ，力常數 k 之相同理想彈簧聯接後固定於牆上，則：(1)將 m 自
7、O 點沿彈簧軸 x 之方向向右平移 a 距離，則彈力位能變化多少？(2)將 m 沿垂直彈簧軸之 y 方向平移 b 距離，則彈力位能變化多少？(1) ka2 (2) k( )2 ： 2l範例 2範例 3範例 4範例 5Ox 光滑地面y5力學能的守恆一、保守力：1.力學能：動能加位能稱為力學能。2.定義：力在一系統內作用，使得此系統內的總力學能仍保守（即保持恆定值） ，則該力為保守力（或守恆力） 。3.保守力之特性：(1)由保守力造成的位能差 U 只和起點和終點有關，與如何由起點到終點的積分過程無關。(2)由保守力造成的力場中，力對任何封閉環路的環場積其值必為 0。(3)保守力的功可以用位能的型式
8、來表示。試舉一例說明保守力，再舉一例說明非保守力。答： 萬有引力就是保守力，例如行星以 橢圓軌道繞太陽轉時，其與太陽之距離 一直在變，當其更接近太陽時其位能變小，但功能卻等值增加， 故總機械能仍守恆，因此行星和太陽之間的萬有引力為保守力。摩擦力是非保守力。一個在 h 高度的物體沿斜面往下滑，物體與斜面間的摩擦力使得物體在下滑的任一時刻其機械能一直減少，故摩擦力為非保守力。二、力學能守恆定理：獨立系統中，其僅有保守力的作用，則系統的力學能為一定值。以數學式表達則為：總能 E位能 U動能 Ek定值因為總能是定值故任意時刻總能變化量 E 為 0，故 E 0 U Ek U Ek由上式可知位能增加量就等
9、於動能減少量，相反的，若系統動能增加 Ek，則其位能也減少同樣的量 U Ek。三、力學能守恆實例地表均勻重力場下物體的運動：如右圖所示，物體質量 m，初速 V1鉛直掉落 h 高度差後末速成為 V2，主題 3 力學能的守恆hh1h2 m初速 V1末速 V2地面 h06則其位能變化量為 U ( h) h而其動能變化量為 Ek mV22 mV12，由能量守恆原理知： U Ek得 h ( mV22 mV12)則 ( h2h1) mV22 mV12 h2 mV12 h2 mV22 常數定值若以地面處之位能為 0，則上式表示任意高度 h 處之位能 U(h)動能 Ek(h) 常數定值 總能 E若掉落地面時速
10、度為 V，則總能變成：E 0 mV2 mV21整理可得地表力學能守恆公式如下：總能 E h mVh2 mV21如右圖所示：有一質量為 2 公克之球，繫於一長為 10 公分之繩索一端，繩之另一端則掛於天花板上，某人將此球拉高至與天花板成 30角時鬆手。試問此球向下擺至最低點時，速度大小為若干？（設 g10m/s2）(A)3m/s (B)2m/s (C)1.5m/s (D)1m/s (E)5m/s。 【四技】：從地表面以 V0初速，斜向拋出一質量為 m 的球，球抵最大高度 h 時，仍有 V 的速率，假設空氣阻力可忽略，試求 V0大小？ (A) (B) (C) (D) 。gh22V2ggh2【84
11、台中專夜】：範例 1範例 2302g107(1)自地面垂直上拋質量為 2 克之石子，兩秒鐘後該石落回原處，設地面上該石子之位能為零，則該石子能達到之最大位能為_。(2)上述石子能達到之最大動能為_。又該石子在空中時之最大總能量（動能位能）為_。【日大】(1) 9.6102J (2) 9.6102J, 9.6102J ：從地面向斜上方拋出 m 仟克的物體。此物在達其最大高度 h 時仍有 v 米/秒的速率。此物離開地面時的初速度大小為：(A) (B) (C) (D) (E)v (F) 。 【日大】gh22v2vghgvgh21(B) ：一質量為 m 之質點附在一質量可略去之長桿一端。該長桿能以其另
12、一端為軸在一垂直面上無摩擦地自由旋轉。若長桿最初靜止於與鉛垂線成 60角之位置（如圖） ，則放下後質點落到最低點時長桿之張力為：(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5。範例 3範例 4範例 5m608【日大】：設單擺之最大擺角為 0， （0 0 ） ，則當擺角為 時，繩上之張力：2(A) (B)cos (C)sec (D)3cos 2cos 0 (E)cos 0cos 。 【日大】(D) ：如圖，一物體由 A 點以 3.00 公尺/秒的速率，沿光滑表面滑下，當物體行至 B 點時，物體的速率為(A)11.3 公尺/秒 (B)12.9 公尺/秒 (C)13.8 公尺/秒 (D)14.5
13、公尺/秒。 【80 三專】：一長度為 L 質量為 m 的均勻繩子，其 長度置於一無摩擦力的水平桌面上，53另外 長度吊於桌邊下垂（右圖） ，則將此繩自由釋放當全部繩子恰脫離桌緣52時，繩子的動能為：(A) (B) (C) (D) (E) 。 【北一女】0gL925g60gL1350mg2150gL23範例 6範例 7VAVBBAh110 公尺h22 公尺範例 8 L5329(D) ：一如圖之單擺，擺長為 ，靜止時小球離地面之高度亦為 。如擺線拉直與鉛垂線成 角，將小球放開使其自由擺動，當小球擺動至最低點時將擺線切斷，則小球落地點與懸掛點之水平距離 d 為： (A)2 (B)2sincos1(C
14、)2sin (D) (1cos) (E) 。 【大學聯考題】in2l(B) ：天花板上 O 點懸一單擺，擺長 ，於 O 點正下方 P 點（OP ）有一釘，32將擺錘自 A 點靜止釋放，則：(1)在 C 點時之速度為_。(2)此時繩子張力為_。(1) (2)2.5mg ： lg32均勻繩質量 m，長 之 AB 跨過光滑滑輪兩邊對齊後放置，將 A 接下少許，即 A 端漸漸滑下至 B 恰離開滑輪時繩之速度為：(A) (B) (C) (D) (E) 。lg2l3gl4l8gl範例 9 d範例 10ABCP6060O範例 11A B10(B) ：一光滑圓軌道半徑為 R，軌道平面與水平面垂直。一質點受重力
15、及軌道正向力的作用，在軌道上運動時，其最大速率是最小速率的 倍。設重力加速度為 g，則此質點的最小速率是56(A) (B) (C) (D) (E) 。 【80 日大】56gg10g2010R10R(E) ：見右圖，光滑軌道之右端彎成半徑為 R 之半圓。一質量為 m 之物塊，自高度為 h 處釋放，沿軌道下滑。若恰在半圓形軌道高度為 3R/2 之P 點脫離軌道，則高度 h 為 (A)3 R/2 (B)7R/4 (C)2R (D)9R/4。【78 三專、88 台北區聯合模聯考】(B) ：一個小孩坐在冰堆成的半球上，他被稍微推了一下，開始滑下冰球。如果冰是沒有摩擦，試證明他離開冰之點的高度為 。3R2：範例 12範例 13hRP 23m範例 1411如附圖，設平面 AB 與圓形曲面 BCD（半徑為 r）均光滑，一質點以初速v0 自 A 點朝曲面
