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1、 半波损失现象的分析及仿真摘要：本文依次阐述了电磁波，机械波和物质波的半波损失现象，利用菲涅耳公式讨论电磁波在两介质分界面反射过程中的半波损失现象，运用力学的振动和波动方程讨论机械波在两介质无分离、无滑动的边界条件下的半波损失现象，运用微观粒子的波动方程的连续性条件分析了物质波的半波损失现象，并运用 MATLAB 对电磁波、机械波和物质波的半波损失现象进行了仿真。关键词：电磁波、机械波、物质波、半波损失、仿真。 目 录引言 .11 电磁波的半波损失现象 的证明 .21.1 菲涅耳反射折射公式 .21.1.1 入射、反射和折射光束的描述及相应的坐标架 .21.1.2 菲涅耳公式 .31.2 相位
2、关系和半波损失问题 .31.2.1 反射光的相位变化 .31.2.2 反射过程中的半波损失 .42 机械波的半波损失 .62.1 机械波的振动方程和波动方程 .62.2 机械波波函数的边界条件 .63 物质波的的半波损失 .83.1 物质波的波函数 .83.2 物质波波函数的边界条件 .94 对三种波的整体总结 .13参考文献 .13附录 .14致谢 .191引言：振动和波是经典物理学中的一种重要的运动形式，在经典力学中有机械振动和机械波，在光学中有电磁波，量子力学也与振动和波有莫大的关联。基于以上的叙述，我们可以把波分成三类：电磁波、机械波和物质波。这三种波虽说本质不同，可是它们的波动具有共
3、同的特征,波动所遵守的规律也很相似,比如，不管是物质波还是经典力学的波都会在一定的条件下产生干涉和衍射,并都能用形式类似的波函数描述波动状态。电磁波、机械波和物质波在从一种介质射入另一种介质的时候，波会在两种介质的分界面发生“半波损失”现象，这是分析波的干涉现象需要考虑的不可或缺的因素。要把波的半波损失现象弄清楚，而波又包括三大类，每类波的本质是互不相同的，所以在分析波的半波损失现象时，要分别讨论，就要分别研究这三种波，并且用 MATLAB 将这三种波的半波损失现象仿真出来。21 电磁波的半波损失现象光是电磁波的一种，在证明电磁波的半波损失现象时我们以光为例来讨论。1.1 菲涅耳反射折射公式1
4、.1.1 入射、反射和折射光束的描述及相应的坐标架入射光从一种介质射向另一种介质，一种介质的折射率为 ，另一种介质的折1n射率为 。坐标系如图（1） ，x 轴、y 轴、z 轴是呈右手正交系。入射光、反射光和2n透射光组成入射面。假设入射角为 、反射角为 、和折射角为 。为了更好的理1i1i2i解菲涅耳公式，清楚表示入射光、反射光、和透射光中的电矢量的各个分量，还需要在每束光线建立局部坐标架。 、 、 ， ，k1、s1、p1， 、 、 是入1ks1p2ks2p射波、反射波、透射波的波矢方向，垂直入射面、平行入射面方向电矢量分量的单位矢量。基矢 s 的正方向沿+y 的方向，基矢 p 的正方向由下式
5、规定。;11/KSP;。22/也就是说，电场矢量的 p，s 分量和波矢 k 组成的局部坐标架遵守右手正交系的原则。利用这三个局部坐标架，就能把入射光的电矢量 E，反射光的电矢量 E1和透射光的电矢量 E2 在 p 分量和 s 分量的方向上分解。且 p 分量和 s 分量的正负是对于局部坐标架而言的，对于下面的菲涅耳公式也是。图（1）三条光束内 ， ， 正交坐标架的选取syxk2p2s2p1 k1s1i2i1i1k1p1s1n1n231.1.2 菲涅耳公式菲涅耳公式：（1） s12s121s1 iin-coini-EEE）（ ）（ （2） PP 121p12121 itaii ）（ ）（(3) s
6、21s21 iinccoinsiS ）（ （4）p12EEP（1） ， （2）式表述的是反射光束的电矢量的 s 分量和 p 分量与入射光束的电矢量的 s 分量和 p 分量的关系。 【1】 （3） ， （4）表述的是折射光波的电矢量的 s 分量和 p分量与入射光束的电矢量的 s 分量和 p 分量的关系。 【1】振幅反射率： （ 5） ， （6） 。 p1rE1sEr振幅透射率： （7） ， （8） 。 pt12Sst12将（2）代入（5）式， （1）代入（6）式， （4）代入（7）式， （3）代入（8）式，算出 为：pspstr，（9）（ ）（ 2121s isin-coin-（10）)ita(
7、iir21212p （11）（ 2121s isincocint （12） 2p1.2 相位关系和半波损失问题1.2.1 反射光的相位变化菲涅耳公式中的 都是复振幅， 和 间的相位差是 的幅角，21E、 1E r和 间的相位差是 的幅角， （11） （12）式等式右端始终是大于零的实数，也就2E1t是说 和 的幅角是零，即 与 总是同相位的，而（9） （10）式说明 ， 的stp21 sp幅角比较复杂。 【1】 下面仔细加以分析。（1）当 时，根据折射定律，对于 s 分量， ,（9）式中，21n 1i24、 ，得 ，则 与 总有 的相位差，而关于 p 分0)sin(210)sin(210srS
8、E1s量，当 较小时， 也较小，且 ， ， ， ，21i0)tan(2i21i0)tan(21i。则 与 的相位差为零；当 较大，有 ，而 有可能超prPE11)ta(过 ，则有 ，此时 与 的相位差为 。相位差由 0 到 的转变点20)tan(2ipE 为 处，此时 ，对于这时的入射角，我们成为布儒斯特角 ,将1ipr Bi和 代入折射定律 ，得：BBi2 21sini（15）1arctni（2）当 ，这时 ，当 会发生全反射，全反射临界角 ,当 由221ici1 Bci1零经 增大到 时， 和 的相位差 由原来的 ，在布儒斯特角突变到零，而BiCipE p和 的相位差 始终等于零；当 时，
9、 和 将成为复数，这是因为当入sE1ssci1prs射角大于临界角 发生全反射时，虽然折射定律在形式上还可写成 ，ci 12sini但它大于 1，结果 和 中的 将成为虚数，由此可导出 和 当 ，由零prs2coi psc1单调增加到 。1.2.2 反射过程中的半波损失根据菲涅耳公式研究反射光的相位突变时，不管是电矢量的 p 分量还是 s 分量，当 ，即 ，说明反射光振动状态和局部直角坐标系一致，我们认为没有0r“半波损失” 。当 ，即 ，说明反射光振动状态态和局部直角坐标系相反，0r我们认为产生了半波损失。（1）光正入射时，反射光束和透射光束的相位突变根据菲涅耳公式，当 时， ，反射光的 p
10、 分量与坐21n0,0pspstr标架相同，s 分量与坐标架相反，而折射光的 p 分量和 s 分量与坐标架相同。当时， ，反射光的 p 分量与坐标架相反，s 分量与坐标21n,0,0pps tsr架相同，而折射光的 p 分量和 s 分量均与坐标架相同。 【1】 即与入射光相比较，当时，反21射光的 p 分量和 s 分量都与入射光相反，即存在半波损失，如图 2-a 是用 MATLAB 仿真出来的半波损失的效果。 【1】 当 时，反射光的 p 分量和 s 分量都与入射光相21n同，即不存在半波损失。如图 2-b。5该图是当 n1n2时，电磁波从一种介质垂直射向另一种介质时，用 MATLAB 仿真出
11、来的电磁波的入射波、透射波和反射波的波形，透射波的振动态和入射波一样，没有发生相位突变，即没有产生半波损失现象。反射波相比较入射波，振动态也是一样的，即没有发生相位突变，没有产生半波损失现象。（2）当 时，掠入射时反射光中的电矢量的各个分量的相位突变21n在 时， ，按照前面的思路分析，可以推知反射光中中 p 分量与入1n0,srp射光相反，s 分量也与入射光方向相反，即存在半波损失。2 机械波的半波损失2.1 机械波的振动方程和波动方程平面简谐波入射波、反射波和折射波的波动方程：（16）)cos(11xktAy（17）2（18）)(23t分别为振幅、角频率、初相位。、2.2 机械波波函数的边
12、界条件我们定义两介质交界面为 x=0 平面，根据介质无分离、无滑动的边界条件，从图 2-b 当 n1n2时，电磁波入射波、透射波和反射波的振动态7介质两侧看 x=0 处的介质元的位移应相等。 【2】 用公式可以表示为：（19）03021)(xxyy根据牛顿第三定律 x=0 处的质元受到左右两侧的应力应该相等。 【2】 用公式表示为：（20）032021)(xxYY“其中 和 代表不同介质 1 和介质 2 的弹性模量 E，切变模量 G，或体积模量 K”。 【2】 且 ， ， , ， 和 是介质 1 和介质 2 的密1uk21Yu212度， 和 分别是介质 1 和介质 2 中的波速。 【2】12把（16） 、 （17） 、 （18）代入（19）得：（21） )cos()cos()cs( 22121 tAtAt把（16） 、 （17） 、 （18）代入（20）得：（22） )sin()in()i( 23212121 tAkttkuu（21）和（22）式在任何时刻，都满足所以必须满足以下四式：（23）
