立体几何复习专题(空间角)

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1、1专题:空间角一、基础梳理1.两条异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围： 。(0,2（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线 垂直，记作 。,abab（3）求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。1：三棱柱 ，平面 平面 OAB，1BAO1O，且oo90,602,，求异面直线 与 所成角的余弦。3A112直线和平面所成的角（简称

2、“线面角” ）（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为 0角。直线和平面所成角范围：0， 。2（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。（3）公式：已知平面的斜线 a与 内一直线 b相交成 角，且 a与相交成 1角， a在上的射影 c与 b相交成 2角，则有 。coscos2由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直ABO1A1B121 cbaP OAB2线所成角中最小的角。考

3、点二：直线和平面所成的角例 2. 如图，在三棱柱 中，四ABC边形 是菱形，四边形 是矩形，A, ，CB02,4,6求 与平面 所成角的正切。3：（1）在 的二面角 的两个面 与 内分别有两点 ，已知点 和点 到02PaQPAB、 B棱的距离分别为 ，且线段 。求：,4cm10ABcm直线 和棱 所成角的正弦值； 直线 和平面 所成角的正弦值。ABaQ（2） （08 全国11）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内1ABC1ABC的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（ ）ABC 1A B C D1323323（3）如图，在矩形 中， ，沿对角线 将 折起，使点 移ABD3

4、,BBC到 点，且 点在平面 上的射影 恰在 上。求直线 与平面 所成角的大C OAD小。CA BCCD3AB()O3（4） 为平面 的斜线，则平面 内过ABA点的直线 与 所成的最小角为 _，l最大角为_。平面内过 点的直线 与 所成角 的范围为 _。 与平面 内不过 点的直线所成的角的范围为_。直线 与平面 所成的角为 ，直线 与 所成角为 ，则 与平面 所成角的取值范1l032l1062l围是_。设直线 平面 ，过平面 外一点 与 都成 角的直线有且只有lA,l03( )（）条 （）条 （）条 （）条过正方体的顶点 作截面，使正方体的 12 条棱所在直线与截面所成的角皆相等。试写出满A足

5、条件的一个截面_（注：只须任意写出一个） ，并证明。3二面角（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为 ，两个面分别为 的二面角记为 。l,l（2）二面角的平面角：过二面角的棱上的一点 分别在两个半平面内O作棱的两条垂线 ，则 叫做二面角,AB的平面角。l说明：二面角的平面角范围是 ，因此二面0,角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直。ABllBO ABO A4（3）二面角的求法：

6、（4） （一）直接法：作二面角的平面角的作法：定义法；棱的垂面法；三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法）（二）间接法：面积射影定理的方法。（4）面积射影定理：面积射影定理：已知 的边 在平面 内，顶点 。设 的面积为 ，它在ABCABCS平面 内的射影面积为 ，且平面 与 所在平面所成的二面角为 ，则1SBC00(9)。1cosS注：面积射影定理反映了斜面面积、射影面积和这两个平面所成二面角的平面角间的关系；可以推广到任意的多边形。ABC在二面角的平面角不易作时，经常采用“面积射影定理法” 。例 3如图，在四棱锥 中，底面 为SABCDAB正方形，侧棱 底面 分别为

7、的中点。 EF， ， SC，（1）证明 平面 ；EF（2）设 ，求二面角 的大小。2SD如图所示，在直三棱柱 中，1ABC09,1,ACB， 为侧棱 上一点，13,6CAM。B（1）求证： ；1平 面（2）求二面角 的大小；（3）求点 到平面 的距离。AA B CDEFSABMC1 1B1CABCD1S5四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 底面 ，ABCDEBEABCDE， ， 。2A证明： ；设 与平面 所成的角为 ，求二面角 的大小。45o为直角梯形 所在平面外一点SABCD0,9,ABCS面 ， ，求平面 与平面,12D所成二面角的大小。等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角 的余弦值为

8、 ，ABCDEABCABD3分别是 的中点，则 所成角的余弦值等于 。MN， ， MN，C DEABSABC6例 4如图所示，已知平行六面体的底面1ABCDABCD是矩形，且侧面 底面1， ,3,N、 分别是 、 的中点，ME是 的中点， ，F4,2M侧棱与底面 成 的角。ABC05（1）求证： 底面 ；D（2）求二面角 的大小；（3）求 与平面 所成角的大小。N1E1 （1）已知正三棱柱 ABCA1B1C1中，A 1BCB 1，则A1B 与 AC1所成的角为（）（A）45 0 （ B）60 0（C）90 0 （ D）120 0（2） （08 全国10）已知正四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等，

9、 是 的中点，SACESB则 所成的角的余弦值为（ ）ES，A B C D132332（3） 的斜边在平面 内，顶点 在 外， 在平面 内的射影是 ，RtBAAC则 的范围是_。C（4）从平面 外一点 向平面 引垂线和斜线， 为垂足， 为斜足，射线 ，这时P B为钝角，设 ，则（ ）,xAyA. B. C. D. 的大小关系不确定xyy,xABC1 1B1CED1 MFN 1 鴱鴱7（5）相交成 60的两条直线与一个平面 所成的角都是 45，那么这两条直线在平面 内的射影所成的角是（ ）A30 B45 C60 D90（6）一条与平面相交的线段，其长度为 10cm，两端点到平面的距离分别是 2c

10、m，3 cm，这条线段与平面所成的角是 ；若一条线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是 2cm，3 cm，则线段所在直线与平面所成的角是 。（7） PA、 PB、 PC是从 P点引出的三条射线，每两条夹角都是 60，那么直线 PC与平面 PAB所成角的余弦值是（ ）A B C D12363（8）如图，在正方体 中，1DAC分别是 上的点，若 ，,MN1, 09NM那么 的大小是（ ）A.大于 B.小于 0909C. D.不能确定（9）已知 所在平面于 点，且 到 三点等距离，若 中，有SOABCOS,ABCABC，则 点（ ）cossinA.必在 的某一边上 B.必在 外部（不含边界） C

11、.必在 内部（不含边界） D.以上都不对（10）如果直角三角形的斜边与平面 平行，两条直角边所在直线与平面 所成的角分别为，则（ ）21和A B1sini2 1sini212C D（11）如图， lAI， ， ， ，到 的距离分别是 和 ， 与 所成的角分别B， lab，是 和 ， 在 内的射影分别是 和 ，若 ， mnab则（ ）A Bmn， ，C D， ，（12）与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是_。2.已知直三棱柱 为 上一点， 。1,ACF1B12,FBCa（1）若 为 的中点， 为 上不同于 的任意一点，证明： ；EAD、 E（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值

12、。13BaF1 AF1A1B1CDD1AB1C1NA Babl83.已知直角三角形 的两直角边 ， 为斜边 上的一点，现沿 将ABC2,3ABCPABCP折起，使 点到 点，且 在面 内的射影在 上。当 时，求二面角P 7的大小。4如图正三棱柱 中，底面边长为 ，侧棱1ABCa长为 ，若经过对角线 且与对角线 平行的平2a1BC面交上底面于 。 （1）试确定 点的位置，并证明你D的结论；（2）求平面 与侧面 所成的角及平面1A与底面所成的角；（3）求 到平面 的距离。 1ABD5如图, 在直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，ABAD2，DC2 ，AA 1 ，ADDC3，ACBD, 垂足为

13、E。（I）求证：BDA 1C；（II）求二面角 A 1BD C 1的大小；（III）求异面直线 AD 与 BC 1所成角的大小。23()BPGFEDC1B1A1CBA96.如图，平面 平面 ，四边形 与 都是直角梯形，ABEFCDABEFCD， ， 。90Do12 12 （）证明： 四点共面；， ， ，（）设 ，求二面角 的大小。FABCDE7 （08 江西 20）如图，正三棱锥 的三条侧棱 两两垂直，且长度均为OABCO， ，2。 分别是 的中点，H 是 的中点，过 的一个平面与侧棱EF， AB， EF或其延长线分别相交于 ，已知 。OC， ， 11， ， 132A（1）证明： 平面 ；1（

14、2）求二面角 的大小。1ABCHFOC1A1EB1108如图，已知平行六面体 的底面为正方形， 、 分别为上、下底面的1ABCD1O中心，且 在底面 上的射影是 。1AO（1）求证：平面 平面 ；1O（2）若点 分别在棱 上，且 ，问点 在何处时， ？,EF1, 12EAFEAD（3）若 ，求二面角 的大小（用反三角函数表示） 。01619如图，正四棱柱 ，侧棱长为 3，底面边长为 2， 是棱 的中点。1ABCDEBC（1）求证： 平面 ；1/E（2）求二面角 的大小；（3）在侧棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？证明你的结论。P1CD10.如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD为菱形，PA平面 ABCD， ,E， F分别是 BC, PC的中点。60ABC（）证明：AEPD；（）若 H为 PD上的动点，EH 与平面 PAD所成