[初一数学]一次不定方程及方程的整数解问题-1

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1、一次不定方程（组）及方程的整数解问题【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组） ，我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组） ，其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.重要定理：设 a、b、c、d 为整数，则不定方程 有：cbyax定理 1 若 且 d

2、 不能整除 c，则不定方程 没有整数解；,),(cbyax定理 2 若 是不定方程 且的一组整数解（称为特解） ，则 （t 为整数）是,0yxbyax aybx0,方程的全部整数解（称为通解）. （其中 ,且 d 能整除 c）.),(定理 3 若 是不定方程 ， 的特解，则 是方程 的一个),(0yx1byaxa),(0cyxcbyx特解. （其中 ,且 d 能整除 c）.ba求整系数不定方程 的正整数解，通常有以下步骤：yx（1） 判断有无整数解；（2） 求出一个特解；（3） 写出通解；（4） 有整数 t 同时要满足的条件（不等式组） ，代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.解不

3、定方程（组） ，需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式. 【学法指导】【例 1】求下列不定方程的整数解（1） ； （2） .862yx1305yx【分析】根据定理 1、定理 2 确定方程的整数解.【解答】 （1）原方程变形为： ， 观察得到 是 的一组整数解（特解） ，43yx1,y4yx根据定理 2 ， 是原方程的所有整数解.)(1,是 整 数t（2）（5，10）=5，但 5 不能整除 13，根据定理 1，原方程的无整数解.【点评】

4、先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1） ； （2） .147yx145yx答案：（1）无整数解；（2） )(51,是 整 数ty【例 2】求方程 的所有正整数解.2397x【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用 y 来表示 x ,再将含 y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予 y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的 y0，然后再求 x0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】（7，1

5、9）=1，根据定理 2，原方程有整数解.由原方程可得 ，753207531407913 yx 由此可观察出一组特解为 x0=25，y 0=2.方程的通解为 .)(2,5是 整 数ty其中 072,195t7,19t 725t0,1t代入通解可得原方程的正整数解为 .2,.9,6yxyx或【点评】根据定理 2 解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.【实践】求方程 的正整数解. 答案： x=4,y=3.2654731y【例 3】大客车能容纳 54

6、人，小客车能容纳 36 人，现有 378 人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车 x 辆，小客车 y 辆，根据题意可列方程 ，即 . 378654yx21yx又（3，2）=1，根据定理 2，原方程有整数解. 易知 是一个特解，通解为9,1)(9,1是 整 数tyx由题意可知 解得 相应地09,21t.3,21t .0,7.3,5.6,.9,1yxyx答：需要大客 1 车辆，小客车 9 辆；或需要大客车 3 辆，小客车 6 辆；或需要大客车 5 辆，小客车 3 辆；也可以只要大

7、客车 7 辆，不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做 20 道小题，对 1 道得 8 分，错一道扣 5 分，不做不得分.某生共得 13 分，他没做的题目有几道？答案：7【例 4】某人的生日月份数乘以 31，生日的日期数乘以 12，相加后得 347，求此人的生日.【分析】本题的隐含条件是：月份的取值1，12 ，日期的取值 1，31.【解答】设此人生日的月份数为 x ,日期数 y. 根据题意可列方程 31x+12y=347. 方法一 方法二特解： )(316251是 整 数通 解 ： tyyx )3147(|231472xxyQ16505)(mod

8、yxtt代 入 原 方 程 得 ：把 是 整 数.165032是 符 合 题 意 解解 得yxttQ答：此人的生日为 5 月 16 日. 【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加 3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的 ，求一切31这样三位数的和. 答案：432【例 5】(新加坡数学竞赛题)设正整数 m,n 满足 ，则 m 的最大值为 .698nm【分析】把 m 用含有 n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出 m 的最大值.【解答】 ， ，698n69)(由题意可得，n8， ，8687

9、298nnm,n 为正整数， 当 n=9 时，m 有最大值为 75.【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有 8 个连续的正整数，其和可以表示成 7 个连续的正整数的和，但不能 3 个连续的正整数的和，那么这 8 个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案：28【例 6】我国古代数学家张建丘所著算经中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？ 【分析】分析：用 x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：1035zyx如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【

10、解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为 x,y,z.(2)3(1)得：14x+8y=200，即 7x+4y=100.)2(1035zyx方法一 )(7184.84是 整 数通 解 ：，特 解 ： tyx.2,00710tttyx解 得Q 84127814,zyxzyx原 方 程 有 三 组 解 ：相 应 地方法二 下 面 的 方 法 同 方 法 一 为 整 数 ）（通 解 ：的 特 解是其 特 解 为令 .75043.1047503,147 tyxyxyyxyx 方法三 下 面 方 法 同 一 是 整 数得 ：代 入把是 整 数 ，即， ).(7184718)3(4).(4 )(mod3:o

11、d1)70(|30 tyxtytxtx 【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【实践】如果 1 只兔可换 2 只鸡，2 只兔可换 3 只鸭，5 只兔可换 7 只鹅.某人用 20 只兔换得鸡、鸭、鹅共30 只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7） 、 （4，12，14） 、 （6，3，21）【例 7】求方程 的整数解.2372zyx【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设 ，则原方程可看作 对于方程（1）x=-t,y=t 是一个特解，tyx32)2(.37,zttyx从而（1）的

12、整数解是 )4(.2,-是 整 数uy又 t=2,z=3 是方程（2）的一个特解，于是（ 2）的整数解是 )()6.725,3是 整 数vtz将（6）代入（3） 、 （4）消去 t 得到原方程的所有整数解为： )(.3,是 整 数、uvzyx【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式.【实践】求方程 的整数解. 789243zyx答案： )(.1,8是 整 数、 vuzvy【例 8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有 28 个核桃，乙组同学每人有

13、30 个核桃，丙组同学没人有31 个核桃，三组共有核桃总数是 365 个.问：三个小组共有多少名同学？【分析】设甲组同学 a 人，乙组同学 b 人，丙组同学 c 人，由题意得 . 要求 ，3651028cbacba可以运用放缩法从确定 的取值范围入手.c【解答】设甲组同学 a 人，乙组同学 b 人，丙组同学 c 人，则 .3 ， .)(31653028)( bab 2865165cba 是整数， =12 或 13.但当 =13 时，得 ，无正整数解.cc1答：三个小组共有 12 名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radio

14、s, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay 302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay 508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?答案：96【例 9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字 1，黄球上标有数字 2，蓝球上标有数字 3.小明从布袋中摸出 10 个球，它们上面所标的数字和等于 21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.【解答】 （1）设小明摸的红球有 x 个，黄球有 y 个，蓝球有 个，则 ，）（ yx1021)0(32yxy整理，得 ，因为 x、y 均为正整数，可知 x 的最大值为 4.即红球最多不超过 4 个.y29（2）由（1）知蓝球的个数是 ，)29(10z又 .,0xxzy解 得 .4,31因此共有 4 种不同的摸法，如下：（1，7，2） ， （2，5，3） ， （3，3，4） ， （4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取