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1、第八章 第 1 页讲授内容： 8.1 多元函数基本概念教学目的与要求：1、 了解平面点集、n 维空间、多元函数的基本概念.2、 理解二元函数的极限、连续的的概念.3、 会利用二元函数的极限的定义、连续的性质求二元函数的极限.教学重难点：重点二元函数的极限与连续.难点二元函数极限的定义.教学方法：讲授教学建议：讲清二元函数与一元函数极限的区别对理解二元函数极限的定义有很大的帮助.学时：2 学时教学过程：以前我们学习了一元函数的微分学，在本章我们将学习多元函数的微分学的相关知识.一、 平面点集 n 维空间1. 平面点集坐标平面上具有某种性质的点的集合称为平面点集.记为:E=(x,y)|(x,y)具
2、有性质 P.2. 邻域:U(p0,)= p| |pp0|02020)()(yx(p0,)= p| 003. 区域:第八章 第 2 页1) 内点:E(R 2)为一个点集,若 U(p)E,则称点 P 称为 E 的内点,显然 pE.2) 外点: E(R2)为一个点集,若 U(p)E=,则称点 P 称为 E 的外点,显然pE3) 边界点:若U(p): U(P)E 且 U(p)E.则称点 p 为 E 的边界点.点 P 可能属于 E,也可能不属于 E.边界点的全体称为 E 的边界,记为E.4) 聚点:若0,(p,)E,则称点 p 为 E 的聚点.显然, 点 P 可能属于 E,也可能不属于 E.5) 开集:
3、点集 E 的点都为 E 的内点,则称 E 为开集.6) 闭集:若点集 E 的余集 Ec 为开集,则称 E 为闭集.7) 连通集:如果点集 E 内任何两点都可以用折线连接起来,且折线上的点都属于 E,则称 E 为连通集.8) 区域:连同的开集称为区域或开区域 .9) 闭区域:区域连同它的边界一起称为闭区域 .10) 有界点集:对点集 E,若r0,使得 U(O,r)E,则称点集 E 为有界集.11) 无界集:若集 E 不是有界集,则称 E 为无界集.4. n 维空间:1) n 元有序数组(x 1,x2,xn)的全体用Rn=RRR=(x1,x2,xn)|xiR,i=1,2,n表示可以用 x=(x1,
4、x2,xn)表示 Rn 中的元素.x i 称为 x 的第 i 个坐标.特别地:O=(0,0,0)或 0=(0,0,0)2) Rn 中的线性运算及两点间的距离:3) 设 x=(x1,x2,xn),y=(y1,y2,yn),R 定义:x+y=(x1+y1,x2+y2,xn+yn) x=(x1,x2,x n).x=(x1,x2,xn)和 y=(y1,y2,yn)的距离记为 (x,y),则有:(x,y)= 2)( nyxyxyxL第八章 第 3 页二、 多元函数的概念1. 二元函数的定义:定义: 设 D 是 R2 中的一个非空点集.称映射:f:DR 2 为定义在 D 上的二元函数,记为:z=f(x,y
5、), (x,y)D 或 z=f(p), pD.定义域: D; 自变量: x,y; 因变量: z; 对应法则:f. 值域:f(D)=z|z=f(x,y),(x,y)D.一般地:设 D()Rn,称映射 f: DR 为 D 上的 n 元函数.记为:u=f(x1,x2,xn) (x1,x2,xn)D.或 u=f(x),x=(x1,x2,xn)D 或 u=f(p),p(x1,x2,xn)D.当 n2 时,称 n 元函数为多元函数.当 n=2 或 3 时,将点(x 1,x2)记为(x,y),将点(x 1,x2,x3)记为(x,y,z).2. 二元函数的几何意义:空间点集: M= (x,y,z)|z=f(x
6、,y),(x,y)D称为二元函数的图形,通常表示一张曲面.例如函数 z=x2+y2 的图形为旋转抛物面.例 1. 求函数 z=arcsin(x-y2)+lnln(10-x2-4y2)的定义域.思想：一般求多元函数的定义域，往往是求自然定义域，即求出使函数有意义的自变量的取值范围.解: 14102yx1942yx第八章 第 4 页 D= 1,194),( 222 yxyxy注：由此可见，二元函数的定义域是平面上的区域，三元函数的定义域是空间中空间区域.例 2. 设 f(x+y,y/x)=x2-y2.求 f(x,y)的表达式.解:(换元法) 令 u=x+y,v=y/x,则有 ,代入函数得 :vuy
7、x1,f(x+y,y/x)=f(u,v)= vu)()()1(222 f(x,y)= yx2(变形法) x2-y2= =yx2)( xy/1)(2 f(x,y)= y1)(2三、 多元函数的极限1. 二重极限:z=f(x,y)当 xx 0,yy 0 即 p(x,y)p 0(x0,y0)的极限注:pp 0 表示 P 以任何方式趋于 P0,即:|pp0|= 0.22)()(yx定义: 设函数 z=f(p)=f(x,y)的定义域为 D,p0(x0,y0)为 D 的聚点,如果0, 0,使得当 p(x,y)D(p0,),第八章 第 5 页即对满足不等式00,y0 时,则由 得2102yx00,x1),证
8、明: + =2zxyzln1解: =yxy-1; =xylnxxzz + = + =xy+xy=2z.zyyln11yxxyln例 4. 已知理想气体的状态方程 PV=RT(R 为常数),证明:=-1PTV证明:因为 P= RT2RV= PPTVT= =RR所以 = = =-1PTVV2PT注:此题表明 是一个整体 ,不同于 表示微分之商.xfdxf3二元函数 z=f(x,y)偏导数的几何意义二元函数 z=f(x,y)在点 M0(x0,y0)的偏导数 fx(x0,y0)几何意义:平面 y=y0 上,曲线 在 M0(x0,y0)处的切线 M0Tx 对 x 轴的斜率.0,(yxfz第八章 第 13
9、 页例 5求曲线 在点 处的切线与 轴正向所成的倾角12xyz)0,(y解：依偏导数的几何意义，函数 在点 处对 求导的值就等21xz)1,(于 ，则 ，所以 =-2，tan1yxz21yxtan2arctn4偏导数存在与函数连续之间的关系例 6讨论 z=f(x,y)= 在(0,0)处的连续性与可导性.0 , 0,22yx解:由于 不存在, 所以函数在(0,0)处不连续;20limyxy但 =0yxz 0),()0,(li xff从而 fx(0,0)=0,同理 fy(0,0)=0所以,函数在(0,0)处的两个偏导数存在.例 7讨论函数 在(0,0)处的连续性与可导性.2xz解:由于 =0=f(
10、0,0),所以函数在(0,0)处连续;20limyyx但 = = 不存在,0yxzxff)0,(),(li xlim因此 fx(0,0)不存在 . 同理 fy(0,0)不存在;从而函数在(0,0)处的两个偏导数不存在.由此可知:函数在某点的偏导数存在与函数连续不存在必然联系.注：为什么不象一元函数一样，可导一定连续？因为对多元函数而言，可导是 的一种单方向趋近，连续是 的一种多方式趋近.0x0p第八章 第 14 页二、 高阶偏导数1. 如果 fx(x,y),fy(x,y)对变量 x,y 的两个偏导数存在,则=fxx(x,y); =fyy(x,y)(2z)(2yz=fxy(x,y); =fyx(
11、x,y)(2xzy )(2zx称为函数 z=f(x,y)的二阶偏导数 .其中后面两个偏导数称为混合偏导数.定理 如果函数 z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数在区域 D 内连续,则这两个混合偏导数必相等.例 8设 z=x3y2-3xy3-xy+1,求 ; ; ; .2xzyz2xy解: zx=3x2y2-3y3-y; zy=2x3y-9xy2-x;zxx=6xy2; zyy=2x3-18xy;zxy=6x2y-9y2-1; zyx=6x2y-9y2-1例 9设 f(x,y)= 求 ; .0 ,0,)(22yxxyxfy并证明 fxy(0,0)fyx(0,0)解:当 x2+y20 时,fx(x,
12、y) = =2222)()()3(yxxyx）；2534)(yxfy(x,y)=第八章 第 15 页=2222)()()3(yxyyx） 2435）（ yx当 x2+y2=0,即 x=y=0 时,fx(0,0)= = =0; 同理 fy(0,0)=0.xffx)0()(lim0， xlim于是 =xf0 042253yxy， ，）（=yf0 0422435 yxyx， ，）（fxy(0,0)= = =-1yffxxy),(),(lim0 50limyfyx(0,0)= = =1xffyyx),(),(li0 50lixy所以 fxy(0,0)fyx(0,0)作业：高等数学 A 练习册习题四十九
13、教学后记：第八章 第 16 页教学参考书高等数学第五版，同济大学应用数学系主编，高等教育出版按社高等数学应用 205 例 高等教育出版按社 李心灿数学考研题集 东北大学出版社 史俊贤等复习思考题1. 与一元函数比较，说明二元函数连续、偏导之间的关系. 2. 若 ，试求 且说明其几何意义.2yxz1yxz3. 举例说明一元函数的复合函数求导法则在求二元函数的偏导数时仍有效.1、答：一元函数在可导点处必连续, 但二元函数在偏导数存在处不一定连续. 因为 只反应 在 处连续， 只反),(0yxf ),(0yxf),(0yx),(0yxf应 在 处连续，即曲面 关于平面 和fz的截线在 处连续不能代表
14、曲面 在 处连续.0y),(0 ),(),0反之，二元函数在连续点处也不一定存在偏导数.2、解：因为 , 故 =2.xz21yxz上式在几何上表示曲线 在（1，1，1）处沿 轴方向的切线斜,2zx率为 2.3、解：例如 可看成是由 复合而成，按xyzarctnexyvuz,arctn,e一元函数复合函数求导法则有：第八章 第 17 页2arctn2e)(1e)(arctn)e yxxyvxyvxz yuu 把 看作常数，直接求导数得：yxxyz)(arctnearctn )(1e2arctnxyxy)(e22arctnxyxy 2arctneyxy二者是一样的.讲授内容：8.3 全微分及其应用
15、教学目的与要求：1、 理解全微分的定义、函数可微与偏导数之间的关系.第八章 第 18 页2、 掌握求多元函数全微分的方法.3、 了解全微分在近似计算中的应用.教学重难点：重点全微分的计算.难点全微分的定义.教学方法：讲授教学建议：1、讲清全微分的定义，函数连续、可导与可微之间的关系.2、在讲解函数连续、可导与可微之间的关系时可通过逐步设问的方式来进行.学时：2 学时教学过程：一、 全微分的定义1. 几个概念:偏增量:关于变量 x 的增量: xz=f(x+x,y)-f(x,y) 关于变量 y 的增量: yz=f(x,y+y)-f(x,y) 全增量:关于变量 x,y 的全增量: z=f(x+x,y+y)-f(x,y) 偏微分:关于变量 x 的偏微分: fx(x,y)x 关于变量 y 的偏微分
