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1、1FAPHBQ解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法:1、定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r2=2a。第二定义中,r 1=ed1 r2=ed2。(2)双曲线有两种定义。第一定义中, ,当 r1r2 时,注意 r2 的最小值为 c-a:第二定义中,ar1=ed1, r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与 “点到准线距离”互相转化。(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问
2、题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法” ,即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:(1) 与直线相交于 A、B,设
3、弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 。)(2bayx 020kbyax(2) 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有0,12 20(3)y 2=2px(p0 )与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.【典型例题】例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为_2(2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为 。分析:(1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 ,因而易发现
4、,PH 当A、P、F 三点共线时,距离和最小。(2)B 在抛物线内,如图,作 QRl 交于 R,则 当 B、Q、R 三点共线 时,距2F PHy0xA离和最小。 解:(1) (2, )连 PF,当 A、P 、F 三点共线时, 最小,此时 AF 的方程为 PFAHP )1(3024xy即 y=2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 ), (注:另一交点为 ( ),它为直线 AF 与抛物线的另一交点,舍22,1去) (2) ( )1,4过 Q 作 QRl 交于 R,当 B、Q 、R 三点共线时, 最小,此时 Q 点的纵坐标为 1,代RBQF入 y2=4x 得 x= ,Q( ),点评:这是
5、利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。例 2、F 是椭圆 的右焦点,A(1,1) 为椭圆内一定点, P 为椭圆上一动点。1342yx(1) 的最小值为 PA(2) 的最小值为 分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 或准线作出来考FP 虑问题。解:(1)4- 5设另一焦点为 ,则 (-1,0)连 A ,PFF542)(2 FAaPaPAP当 P 是 A 的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为 4- 。 (2)3 作出右准线 l,作 PHl 交于 H,因 a2=4,b 2=3,c 2=1, a=2,c=1,e= ,21 PFPF2,1即 A当 A、P、
6、H 三点共线时,其和最小,最小值为 3142Axca例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。3xy0ABCMD5分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:两个圆心与切点这三 点共线(如图中的 A、M、C 共线,B 、D、M 共线) 。列式的主要途径是动圆的 “半径等于半径” (如图中的 ) 。解:如图, , 26BA即 (*)8BA点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b 2=15 轨迹方程为 1562yx点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出,再
7、移项,平方,相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!4)1()1( 22yxyx例 4、ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= sinA,求点 A 的轨迹方程。53分析:由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径) ,可转化为边长的关系。解:sinC-sinB= sinA 2RsinC-2RsinB= 2RsinA5353 BCA即 (*)6点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)2a=6,2c=10a=3, c=5, b=4所求轨迹方程为 (x3)1692yx点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了
8、轨迹(双曲线右支)例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设 A(x1,x12),B(x 2,X 22),又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。(2)M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法。解法一:设 A(x1,x 12),B(x 2,x 22),AB 中点 M(x0,y 0)4xy0MAB12则 021219)()(yx由得(x 1-x2)21+(x1+x2)
9、2=9即(x 1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9 ,20204194xy19)(202020 x ,51940y当 4x02+1=3 即 时, 此时20x45)(min0)45,2(法二:如图, 322 ABFBAM , 即 ,32341 , 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。451M 到 x 轴的最短距离为 45点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消 x1,x 2,从而形成 y0 关于 x0 的函数,这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛
10、物线的定义,巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为 A、 B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的坐标也不能直接得出。5xyF120ABCD例 6、已知椭圆 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于)52(12myxA、B 、 C、D、设 f(m)= ,(1)求 f(m),(2)求 f(m)的最值。CDAB分析:此题初看很复杂,对 f(m)的结构不知如何运算,因 A、B 来源于“
11、不同系统” ,A 在准线上,B 在椭圆上,同样 C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到 x 轴上,立即可得防)()(2)(2)() CDABCDAB Xxxxxmf AC )(2BXx此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。解:(1)椭圆 中,a 2=m,b 2=m-1,c 2=1,左焦点 F1(-1,0)12myx则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x 2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x 2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x 2+2mx+2m-m2=0设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=- )5(m122)()(2 )
12、(121 xxxCDABmfACDAB(2) )()( mf当 m=5 时, 9210)(minf当 m=2 时, 34)(axf6点评:此题因最终需求 ,而 BC 斜率已知为 1,故可也用 “点差法”设 BC 中点为 M(x0,y0),通过将CBxB、C 坐标代入作差,得 ,将 y0=x0+1, k=1 代入得 , ,可10kmy 010mx12mx见 2x当然,解本题的关键在于对 的认识,通过线段在 x 轴的“投影”发现CDABf)(是解此题的要点。CBxmf)(【同步练习】1、已知:F 1,F 2 是双曲线 的左、右焦点,过 F1 作直线交双曲线左支于点 A、B ,若 ,12byax m
13、ABF 2 的周长为( )A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是( )A、y 2=-16x B、y 2=-32x C、y 2=16x D、y 2=32x3、已知ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列,且 ,点 B、C 的坐标分别为(-1,0),A(1,0),则顶点 A 的轨迹方程是( )A、 B、 1342yx )0(1342xyxC、 D、)0(2x2y且4、过原点的椭圆的一个焦点为 F(1,0),其长轴长为 4,则椭圆中心的轨迹方程是( )A、 B、)1(49)21
14、(xyx )1(9)21(xyxC、 D、 45、已知双曲线 上一点 M 的横坐标为 4,则点 M 到左焦点的距离是 1692yx6、抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p(-2,0),则弦 AB 中点的轨迹方程是8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 79、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个,则 k= 10、设点 P 是椭圆 上的动点,F 1,F 2 是椭圆的两个焦点,求 sinF 1PF2 的最大值。195y11、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴
15、上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列,若直线 l 与此椭圆相交于 A、B 两点,且 AB 中点 M 为(-2,1), ,求直线 l 的方程和椭圆方程。34AB12、已知直线 l 和双曲线 及其渐近线的交点从左到右依次为 A、B、C 、D 。求证:)0,(12bayx。CDAB【参考答案】1、C,aBFaAF2,2112 选 C,24,4maAB2、C点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离, P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右,则方程为 y2=16x,选 C3、D ,且2ABACB点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A、B、C 三点不共线,即 y0,故选 D。4、A设中心为(x,y),则