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1、极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理 1：若 ，则 存在，且BxgAxf)(lim,)(li )(lixgf。m)(证明： 只证 ，过程为 ，对 ，当Af)(li 00,1时，有 ，对此 ， ，当10x 2)(Axf 2时，有 ，取 ，当22)(Bxg,in1时，有0x 2)()()()()()( BxgAfBxgAxfBAgf所以 。xfx)(lim0其它情况类似可证。注：本定理可推广到有限个函数的情形。定理 2：若 ，则 存在，且BxgAxf)(lim,)(li )(lixgf。f证明：因为 ，f)(li,)(li ,)(,)(BAf（
2、 均为无穷小） ，记, )Bxgf， 为无穷小， 。BAxgf)(lim推论 1： （ 为常数） 。)(lim)(lifcxfc推论 2： （ 为正整数） 。nnx定理 3：设 ，则 。0)(li,)(li BgAf )(lim)(lixgfBAxgf证明：设 （ 为无穷小） ，考虑差：xxf)(,)( ,)()( BAABxgf其分子 为无穷小，分母 ，我们不难证明0)(2B有界（详细过程见书上） 为无穷小，记为 ，所以)(1B)(A， 。Axgf)( Bxgf)(lim注：以上定理对数列亦成立。定理 4：如果 ，且 ，则 。)(xbxax)(li,)(lia【例 1】 。baxbaxbax
3、x00000 limlili)(lim【例 2】 。nxnx00推论 1：设 为一多项式，当nn axaf 11)(L。)(li 000100 fxaxf n推论 2：设 均为多项式，且 ，则 。)(,xQP0)(xQ)()lim00xQPx【例 3】 。315105(lim221 x【例 4】 （因为 ） 。97397li550x 035注：若 ，则不能用推论 2来求极限，需采用其它手段。)(0Q【例 5】求 。32lim1xx解：当 时，分子、分母均趋于 0，因为 ，约去公因子 ，1x)1(x所以 。532li32li11 xxx【例 6】求 。)(lim1x解：当 全没有极限，故不能直接
4、用定理 3，但当 时，,3 1x，所以12)(1312xxx。)(lim(lim22131 xx【例 7】求 。li2x解：当 时， ，故不能直接用定理 5，又 ，考虑：0 42x，42lim2x。2limx【例 8】若 ，求 a,b 的值。3)1sin(lm21xbax当 时， ，且1)sin(22x0)(lim21baxx0, =)ab22(1(1)1)xxxa21lim324, 5xab【例 9】设 为自然数，则nmba,0,0。 时当 时当 时当 mnbaxbmmnnx 0li10L证明：当 时，分子、分母极限均不存在，故不能用1.6 定理 5，先变形：mnmnxmnnx xbbaabxbaa LL1010 lili 时当 时当 时当 mnba0000L【例 10】求 。)21(lim2nn解：当 时，这是无穷多项相加，故不能用定理 1，先变形：原式 。2li)(1lim)(li 22 nnnnL【例 11】证明 为 的整数部分。xx,1证明：先考虑 ，因为 是有界函数，且当 时， ，所x1xx01x以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得。1lim0)1(li0limxxxx
