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1、均值不等式的证明 (精选多篇)第一篇：常用均值不等式及证明证明常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足 hn?gn?an?qn?、ana1、a2 、?r?，当且仅当 a1?a2?an 时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即 d(-1)d(0)d(1)d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数 a,b，有 a222?b2?2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号)， a,b?0?2ab(4)对实数 a,b，有a?a-b?b?a-b?a2?b2?2ab?0(5)对非负实数 a,b，有(8)对实数 a,b,c，有a2?b2?c2?ab?bc?aca?b?c?abc(
2、10)对实数 a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳） 、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设 a0，b0 ，则?a?b?an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件 a0，b0 可以弱化为 a0，a+b0 (用数学归纳法)。当 n=2 时易证；假设当 n=k 时命题成立，即那么当 n=k+1 时，不妨设 ak?1 是则设a1,a2,?,ak?1 中最大者，kak?1?a1?a2?ak?1 s?a1?a2?ak用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数 f?x?,x1
3、,x2,?,xn 是函数 f?x?在区间(a,b)内的任意 n 个点，设 f?x?lnx，f?x?为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）第二篇：均值不等式证明均值不等式证明一、已知 x,y 为正实数，且 x+y=1 求证xy+1/xy17/41=x+y2(xy)得 xy1/4而 xy+1/xy2当且仅当 xy=1/xy 时取等也就是 xy=1 时画出 xy+1/xy 图像得01 时，单调增而 xy1/4xy+1/xy(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法
4、二：证 xy+1/xy17/4即证 4(xy)-17xy+40即证(4xy-1)(xy-4)0即证 xy4，xy1/4而 x,yr+，x+y=1显然 xy4 不可能成立1=x+y2(xy)xy1/4，得证法三：同理 0xy+1/xy-17/4=(4xy-4-17xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy0xy+1/xy17/4试问怎样叫“利用均值不等式证明 ”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!二、已知 abc，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)0a-c=(a-b)+(b-c)2(a-b)*(b-c)于是 c-a-2(a-b)*(b-c)即：1/(c-a)-1/
5、【2(a-b)*(b-c)】那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2(a-b)*(b-c)】2/ 【(a-b)*(b-c)】-1/【2(a-b)*(b-c)】=1+1/a2+.+1/an)证明：1.sqrt(a1) +(a2) +.(an) )/n)(a1+a2+.an)/n两边平方,即证(a1) +(a2) +.(an) )(a1+a2+.an) /n(1)如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：柯西不等式变式：a1 /b1+a2 /b2+.an /bn(a1+a2+.an) /(b1+b2.+bn)当且仅当 a1/b1=a2/b2
6、=.=an/bn 是等号成立只要令 b1=b2=.=bn=1，代入即可(2)柯西不等式(a1 +a2 +.an )*(b1+b2.+bn)(a1b1+a2b2+.anbn) 2.(a1+a2+.an)/nn 次根号(a1a2a3.an)(1)琴生不等式:若 f(x)在定义域内是凸函数，则 nf(x1+x2+.xn)/n)f(x1)+f(x2)+.f(xn)令 f(x)=lgx 显然，lgx 在定义域内是凸函数nf(x1+x2+.x1a2a3.an(3)数学归纳法:但要用到 (1+x)1+nx 这个不等式，不予介绍3.n 次根号(a1a2a3.an)n/(1/a1+1/a2+.+1/an)原不等
7、式即证：n 次根号(a1a2a3.an)*(1/a1+1/a2+.+1/an)n左边=n 次根号 +n 次根号 +n 次根号+.n 次根号由 2 得和n*n 次根号 (它们的积)所以左边n*n 次根号(1)=n所以(a1a2a3.an)n/(1/a1+1/a2+.+1/an)证毕特例：sqrt(a +b /2)(a+b)/2sqrt(ab)2/1/a+1/b证明：1.sqrt(a +b /2)(a+b)/2 两边平方 a +b (a+b) /4 即证(a/2-b/2) 0 显然成立2.(a+b)/2sqrt(ab)移项即证(sqrt(a)-sqrt(b)0 显然成立此不等式中 a+b 可以表示
8、一条直径的两部分，(a+b)/2=rsqrt(ab)就是垂直于直径的弦，而 r弦的一半3.sqrt(ab)2/1/a+1/b 两边同时乘上 1/a+1/b 即证 sqrt(ab)*(1/a+1/b)2而 sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)2。第四篇：均值不等式及证明一、均值不等式 （一）概念：第五篇：均值不等式的证明方法柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong（数学之家）本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是 an?gn: 一些大家都知道的条件我就不写了x1?x2?.?xnn?x1x
9、2.xn我曾经在几个重要不等式的证明中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：二维已证，四维时：a?b?c?d?(a?b)?(c?d)?2ab?2cd?4 八维时:(a?b?c?d)?(e?f?g?h)?4abcd?4efgh?8abcdefghabcd?4abcd这样的步骤重复 n 次之后将会得到x1?x2?.?x2n2n?2nx1x2.x2n令 x1?x1,.,xn?xn;xn?1?xn?2?.?x2?nx1?x2?.?xnn?a由这个不等式有a?na?(2?n)a2nn?2nx1x2.xna2?nn?(x1x2.xn)2an1?n2n即得到x1?x2?.?xnn?nx1x2.xn这个归纳法的
10、证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：例 1：n若 0?ai?1(i?1,2,.,n)证明?i?111?ai?n1?(a1a2.an)n例 2：n若 ri?1(i?1,2,.,n)证明?i?11ri?1?n1?(r1r2.rn)n这 2 个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：给出例 1 的证明：当 n?2 时 11?a1?11?a2?(1?a1?a2)?2(1?a1)(1?a2)设 p?a1?a2,q?(1?q)(2?p)?2(1?p?q)?p?2q?pq?2q?p(1?q)?2q(q?1)?p?2q，而这是 2 元均值不等式因此11?a1?1
11、1?a22n?11?a3?11?a4?此过程进行下去n?因此?i?11?ai1?(a1a2.a2n)2n令 an?1?an?2?.?a2n?(a1a2.an)n?gn有?i?1n11?ai11?ai?(2?n)n11?g?nn2?nn?n1?(gg?n1?gn)n1?g即?i?1例 3：已知 5n 个实数 ri,si,ti,ui,vi 都?1(1?i?n),记 r?t?n1nn?r,sii?1nn?sii1nn?t,uii?1nn?uii,v?1nn?v，求证下述不等式成立：ii?i?1(risitiuivi?1risitiuivi?1)?(rstuv?1rstuv?1)n要证明这题，其实看样
12、子很像上面柯西的归纳使用的形式其实由均值不等式，以及函数 f(x)?ln 因此e?1e?1xx是在 r 上单调递减rstuv?(rstuv?1rstuv?1)?n我们要证明：n?(rstuvi?1iiiirisitiuivi?1i?1)?证明以下引理：n?(xi?1xi?1ix2?1x2?1n?1)?n?2 时， ?(令 a?x1?1x1?1)()?2?a(x1x2?1?x1?x2)?(x1?x2?1?x1x2)?2a(x1x2?x1?x2?1)?a(x1x2?1?x1?x2)?(1?x1x2?x1?x2)?2a(x1x2?1?x1?x2)?(a?1)(x1x2?1)?2a(x1x2?1)显然
13、成立2?nnn因此?(i?1xi?1xi?1n)?(g?1g?1)2?nn?(ggggnnnn?1?12?n2n)， g?n?(g?1g?1n)因此?(i?1xi?1xi?1n)?所以原题目也证毕了这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明 jensen:f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)，则四维：f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?2f(x1?x2)?2f(x3?x4)?4f(x1?x2?x3?x4)一直进行 n 次有f(x1)?f(x2)?.?f(x2n)n?f(x1?x2?.?x2nn),令 x1?x1,.,xn?xn;xn?1?xn?2?.?x2?nx1?x2?.?xnnn?a有f(x1)?.?f(xn)?(2?n)f(a)nn?f(na?(2?n)an)?f(a)所以得到f(x1)?f(x2)?.?f(xn)n?f(x1?x2?.?xnn)所以基本上用 jensen 证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明而且有些时候这种归纳法比 jensen 的限制更少其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件
