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1、1第五届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体决赛口试试题及解答必答题(112 题)1. 纸板上已经画有一个 60的角，请你用一个正方形模板作工具(如图 5-11)，在纸板上画出一个 75的角.答：正方形模板有以下三个功能：（1将已知线段延长， （2）画直角， （3）画 450角。于是可以得到画 75角的各种作法。作法 1:将正方形模板的一个顶点与 O 重含，并使相对的项点落在射线 ON 上的 C 点处。设正方形模板落在MON内部的顶点为 D。则DOC45.MOD604515.（见图 5-11a）利用正方形边画 BO 的反向延长线 OB，则DOB90,所以BOM901575.作法 2: 将正方形
2、模板的一个顶点与 O 重合，一个相邻顶点落在射线 ON 上的 B 点。设正方形模板落在MON 内部的顶点为 C，则COB45。利用正方形模板画出MOB90.这时，BOB30所以COB453075（见图 5-11b）作法 3:利用正方形的边画 ON 的反向延长线 OB，再将正方形模板的一个顶点与 O 点重合，相对的顶点落在射线 OB上的 D 点（如图 5-11c） ，DOC45，所以COM180456075.评注：还有其它作法，同学们可以自己去试试看。图 5-11图 5-11a 图 5-11b 图 5-11c22. 用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料.如图 5-12 所示：裁出七个同样大
3、小的圆铝板.问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米?答：8 平方厘米.理由：由图 512 可见，大圆直径是小圆直径的 3 倍。因此，大圆半径是小圆半径的 3 倍。91)(2大 圆 半 径小 圆 半 径大 圆 面 积小 圆 面 积 所以一个小圆面积是平方厘米） ，七个小圆面积是 4728（平方厘米） 。49136因此所余边角料总面积是 36288（平方厘米） 。3. 如图 5-13，BD、CF 将长方形 ABCD 分成四块，红色三角形面积是 4 平方厘米.黄色三角形面积是 6 平方厘米.问：绿色四边形面积是多少平方厘米? 答：绿色四边形面积是 11 平方厘米. 理由：连结 BF（见图 5-13
4、a） 。则BDF 的面积CFD 的面积，上面二式同减DEF 的面积可得：BEF 的面积CED 的面积6 平方厘米。又由三角形面积公式 46的 面 积的 面 积的 面 积的 面 积 DEFBCDEB所以BCE 的面积 （平方厘米）.94646的 面 积CBCD 的面积BCE 的面积CDE 的面积9615（平方厘米）ABD 的面积与BCD 的面积相等，也是 15 平方厘米。所以,四边形 ABEF 的面积ABD 的面积DEF 的面积15411（平方厘米） 。4. 正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米.M 是 AB 中点，N 是 CD 中点，P 是 EF 中点(图 5-14).问：三角形 M
5、NP 的面积是多少平方厘米?答：三角形 MNP 的面积是 2.25 平方厘米.理由：将正六边形分成六个面积为 1 平方厘米的正三角形，再取它图 5-12图 5-13图 5-13a3们各边的中点将每个正三角形分为 4 个面积为 的小正三角形。于1是正六边形 ABCDEF 被分成了 24 个面积为 的小正三角形，如图 5-14a。数一数三角形 MNP 由 9 个面积为 的小正三角形所组成，所4以三角形 MNP 的面积 92.25（平方厘米） 。41另一方法：将正六边形分成六个面积为 1 平方厘米的正三角肜，将另外三个面积为 1 平方厘米的正三角形分别拼在边BC、DE、AF 外面（图 5-14b）,
6、得到一个大的正三角形 XYZ，其面积是 9平方厘米。这时，M、N、P 分别是边 XY、YZ、ZX 的中点。三角形 MNP 的面积是三角形 XYZ的面积的 ，所以三角形 MNP 的面积9 2.25（平方厘米） 。41415. 27 名小运动员所穿运动服的号码恰是 1，2，3，26，27 这 27 个自然数.问：这些小运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻两个运动员号码数之和都是质数?请说明理由.答：不能办到.理由：27 名小运动员所穿运动服的号码恰是 1，2，3，26，27 这 27 个自然数，要便任意相邻两个运动员号码之和都是质数，相邻二运动员号码必定奇偶性相反，这表明号码为奇数的运动员与号码为
7、偶数的运动员个数必相等。因此，运动员总数为偶数个。这与运动员个数是奇数（27）不符。所以，题设要求的站圈排列法是不能办到的。另一方法：共有 27 名小运动员，围成一圈，相邻两个运动员号码之和的个数共有 27 个，且都是质数，都是奇数，总和也是奇数。但是，另一方面，这个和又等于2（1232627）是个偶数。这样就得出“奇数偶数”的矛盾。因此，题设要求的站圈排列法是不能办到的。评注：有趣的是，若将 27 名运动员排成一排，即“二十七名小运动员所穿运动服的号码恰是 1，2 ，3， ，26 ，27 这二十七个自然数。问：这些小运动员能否站成一排，使得任意相邻两运动员号码数之和都是质数？”答案是可以办到
8、。比如：3，26 ， 5，24 ， 7，22，9，20，11，18，13 ，16，15，14，17，12，19，10，21，8，23，6 ，25，4，27，2图 5-14图 5-14a 图 5-14b4，1 相邻两数之和要么是质数 29，要么是质数 31 和 3，满足题目条件要求。当然排法不只此一种，请读者再给出其它的排法。细心的小朋友会发现，当恰有 9 名编了号的小运动员时，也能办到。例如：1，2，9，4，7 ，6 ，5，8，3 那么，当有 45 名编了号的小运动员时，又如何呢？6. 圆林小路，曲径通幽.如图 5-15 所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成.问：内圈三角形石
9、板的总面积大，还是外圈三角形石板的总面积大?请说明理由. 答：内圈三角形石板的总面积与外圈三角形石板的总面积一样大。理由：两个相邻的正方形夹着一个外圈三角形石板和一个内圈三角形石板。如图 515a 所示EAF 与BAC 互补。如图 5-15a,将BAC 绕 A 点顺时针旋转 90补到三角形EAD 的位置。因为DAEEAF180.所以 D、A、F 在一条直线上。因为 ADAC，从而 ADAF，于是三角形EAF 与三角形 EAD 面积相等。也就是三角形 EAF 与三角形ABC 面积相等。由于两个相接触的正方形石板所夹的外圈三角形面积等于内圈三角形面积，所以内圈三角形石板总面积等于外圈三角形石板的总
10、面积。7. 有如图 5-16 所示的十二张扑克牌，2 点、6 点、10 点各四张.你能从中选出七张牌，使上面点数之和恰等于 52 吗?说明理由.答：不能。理由：由于各脾点数都等于 2奇数，即 221，623，1025。从十二张牌中任取七张牌点数之和，等于 2 乘以七个奇数之和是一个奇数的两倍。但 52226 是一个偶数的两倍，因此，无论怎洋从十二张牌中选取七张牌，其点数之图 5-15图 5-16图 5-15a5和都不会等于 52。另一解法：由于从所给十二张牌中任取七张点数之和被 4 除都余 2，而 52 被 4 整除，所以不能相等。8. 在大圆周上有 16 个小圆圈，小明将其中一些不相邻的小圆
11、圈涂成红色.这时无论再将哪个小圆圈涂成红色，都会使圆周上出现两个相邻的红色小圆圈(图 5-17).问：小明最少涂红了几个小圆圈?说明理由.答：小明最少涂红了 6 个小圆圈.理由：如图 5-17a 所示，小明涂红了 6 个小圆圈。这时，再将任何一个小圆圈涂红时，都会出现两个相邻的红色小圆圈。下面证明 6 个小红圆圈是最少的。如若不然，设小明至多涂 5 个小圆圈(图5-17b)。那么至少有 16511 个小圆圈未披涂红,它们被至多 5 个红色小圆圈隔开，11除 5 余 1，所以至少可以在 2 个红色小圆圈之间插入 3 个未披涂红的小圆圈，在将中间的小圆圈涂红就可会满足题设要求，所以小明最少涂红了
12、6 个小圆圈。9. 给出如下十个自然数：6907，73，769，3043，19，1480，373，41321，21768，178.请你说出 25758 是其中哪几个数之和?答：21768+3043+769+17825758.理由：将十个数从小到大排列：19，73，178，373，769，1480，3043，6907，21768，41321。 发现左边连续几个数之和都小于其右边紧邻的那个数。如：1973，197392178，1973178270373，1973178373643769等等。这时，我们从大往小选取，4132 显然应淘汰，选 21768；6907 应淘汰，选 3043；1480应淘汰
13、，选 769；373 不能选，选 178，从尾数上看所选的四个数之和的尾数已经恰是 8。经验算：217683043769178 之和恰等于 25758。10. 请在算式：11 中的四个方框内填入四个互不相同的数码，使等号图 5-17图 5-17a 图 5-17b6成立.问：所填的四个数码之和是多少?答：所填的四个数码之和是 15.理由：当等号成立时，左、右两边乘积的质因数分解式完全相同。困此，等号左右两边应含有相同的质因数。这个算式是由四个首位为 1 的两位数组成，它们只能是10，11，12，13，14，15，16，17，18，19 这十个自然数中的四个。质数7，11，13，17，19 在它们
14、中均只出现一次，因此，这些质因数中的 11，13，17，19 及合数 14 不可以在算式中出现，于是还有五个数 10，12，15，16，18 可供选择。由于 162222，而 10，12，15，18 中只有三个质因数 2，因此 16 不能出现在算式之中，所以所求算式只能由 10，12，15，18 填在等号两边组成。显然其中最大者 18 与最小者 10 放在等号的一边，12 与 15 放在另一边才有可能相等：即 18101215。经检验等式确实成立。所以四个方框内所填人的四个数码是 8，0，2，5。它们的和：802515。11. 1995 的数字和是 1+9+9+524.问：小于 2000 的四
15、位数中数字和等于 24 的数共有多少个?答：小于 2000 的四位数中数字和等于 24 的数共有 15 个。理由：小于 2000 的四位数千位数字是 1，要它数字和 24，只需其余三位数宇和是 23。因为十位、个位数字和最多为 9918，因此，百位数字至少是 5。于是百位为 5 时，只有 1599 一个；百位为 6 时，只有 1689，1698 两个；百位为 7 时，只有 1779，1788，1797 三个；百位为 8 时，只有 1869，1878，1887，1896 四个；百位为 9 时，只有 1959，1968，1977，1986，1995 五个；总计共：1234515 个。12. 有一块边长为 4 米的正方形地面.要铺满边长为 20 厘米的红、黄两种颜色的正方形地板砖.铺设方法是：从正方形地面中心按图 5-18中所示的规律向四周铺设.问：铺满地面需要多少块红色的地板砖?答：共需边长为 20 厘米的红色正方形地板砖 180 块。理由：铺满地面共需边长为 20 匣米的正方形地板砖为 2020400 块 图 5-187由中心处看第一层正方形每边 2 块地板砖，第二层每边块地板砖，第三层每边 6 块地板砖，依次下推，到第十层每边 20 块地板砖，将第二层的四块红砖补到第三层，第四层的四块红砖补到第五层，第六层的四块红砖补到
