《高等数学课件：10.5向量函数 空间曲线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：10.5向量函数 空间曲线（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、10.5 向量函数向量函数 空间曲线空间曲线1向量函数向量函数向量函数向量函数:从从 Rn R3 ( 或或 R2 , 或或 Rm ) 的映射的映射称为称为向量函数向量函数 .例如例如本节我们仅讨论本节我们仅讨论 的向量函数的向量函数 .例例求坐标原点处质量为求坐标原点处质量为 m0 的质点对位于点的质点对位于点处质量为处质量为 m 的质点的引力的质点的引力 解解由万有引力定律由万有引力定律 , 的大小的大小其方向其方向所以所以称为称为引力场引力场 .2 空间曲线空间曲线 一元向量函数一元向量函数1、一元向量函数、一元向量函数称为称为一元一元向量函数向量函数 . 如果如果 在在 a , b 上连
2、续上连续 ,则称则称 为为 a , b 上上连续的向量函数连续的向量函数 . 2、空间曲线的表示、空间曲线的表示 ( 一元向量函数一元向量函数 )空间曲线的向量形式表示空间曲线的向量形式表示:(1)将将 (1) 用坐标分量表示得用坐标分量表示得 :(2) C:(2) 式称为空间曲线的式称为空间曲线的参数方程表示参数方程表示 . 动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的
3、角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距例例. 求空间曲线 :绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程 .解解:点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 则这就是旋转曲面满足的参数方程 . 例如例如, 直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 , 得旋转曲面方程为绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如又如, xoz 面上的半圆周说明说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C. C例例画出曲线画出曲线 C: 的图形的图形解解是单位半球面是单位半球面
4、母线平行于母线平行于 z 轴的圆柱面轴的圆柱面3、 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影设设 C 是一空间曲线是一空间曲线 , 是一平面是一平面 , 由由 C 上的点在上的点在 上的投影点形成的曲线称为上的投影点形成的曲线称为 C 在在 上的上的投影曲线投影曲线经过曲线经过曲线 C 且与平面垂直且与平面垂直的柱面的柱面 称称为 C 到到 上的上的 投影柱面投影柱面可以看到可以看到: C 在在 上的上的投影曲线投影曲线 , 即为其投影即为其投影 柱面柱面 与与 的交的交线 因此因此 , 计算投影曲线计算投影曲线 的问题的问题 , 关键在于关键在于 C 到到 的投影柱面的计算的投影柱面
5、的计算 设曲线设曲线 C :(4)(5)下面计算下面计算 C 在在 xy 平面上的投影曲线平面上的投影曲线由于由于 C 到到 xy 平面上的投影柱面的母线与平面上的投影柱面的母线与 z 轴平行轴平行,所以投影柱面的方程不含变量所以投影柱面的方程不含变量 z ( 而且经过而且经过 C )若从若从 (4) 式式 中解得中解得 ,代入代入 (5) 式有式有(6)可以看到可以看到 : 柱面柱面 (6) 是一经过曲线是一经过曲线 C , 母线与母线与 z 轴轴平行的柱面平行的柱面 , 即为即为 C 到到 xy 平面的投影柱面平面的投影柱面 所以所以 , C 在在 xy 平面的投影曲线为平面的投影曲线为同
6、理同理 , 可计算可计算 C 在在 yz 平面平面 (从从 (4) , (5) 中消去中消去 x ) ,xz 平面平面 ( 从从 (4) , (5) 中消去中消去 y ) 上的投影曲线上的投影曲线 例例求曲线求曲线 C :(1)(2)在各坐标面上的投影曲线在各坐标面上的投影曲线 解解由于圆柱面由于圆柱面 经过经过 C , 且母线且母线平行于平行于 z 轴轴 , 于是于是 C 在在 xy 平面上的投影曲线为平面上的投影曲线为(1) (2) 得得(3)C 在在 xz 平面上的投影曲线平面上的投影曲线:再从再从 (3) 得得代入代入 (1) 得得 C 在在 yz 平面上的投影曲线平面上的投影曲线例如
7、例如, ,在xoy 面上的投影曲线方程为又如又如, ,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 .3 向量函数的导数向量函数的导数设曲线设曲线 C :其中其中 x(t) , y(t) , z(t) 在在 , 上可导上可导 问题问题:计算在曲线计算在曲线 C 上的一点上的一点 M0 处的切线方程处的切线方程设设 M0 所对应的参数为所对应的参数为 t0 , 则则下面考虑下面考虑 C 在在 M0 处切线方向处切线方向 的计算的计算给给 t0 一增量一增量 t , 则 t0+t 对应 C 上的点上的点为
8、 M割线割线 的方向为的方向为 也可表示为也可表示为可以看到可以看到 , 当当 t 0 时 , M M0 ,所以所以 , 曲线曲线 C 在在 M0 处切线的方向处切线的方向即即向量函数的导数向量函数的导数:若函数若函数 x(t) , y(t) , z(t) 在在 t0 处可导处可导 , 我们我们称称为向量函数为向量函数 在在 t0 处的导数处的导数 , 记为记为 , 即即向量函数导数的几何意义向量函数导数的几何意义:当当 时时 , 表示曲线表示曲线 在在 t0 所对应的点所对应的点 M0 处切线的切向量处切线的切向量 , 其方向为其方向为 t增加的方向增加的方向 向量函数的微分向量函数的微分:
9、若记若记 x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) , 则则且有且有曲线的切线方程曲线的切线方程:曲线曲线 , 则曲线在则曲线在 M0 处的处的切线方程切线方程3 向量函数的积分向量函数的积分 空间曲线的弧长空间曲线的弧长设向量函数设向量函数原函数原函数: 若存在向量函数若存在向量函数 使在使在 a , b 上成立上成立 则称则称 是区间是区间 a , b 上上 的一个的一个原向量函数原向量函数( 简称简称原函数原函数 ) .向量函数的不定积分向量函数的不定积分:若若 是是 的一个原的一个原 函数函数 , 向量函数向量函数 的原函数的一般表达式的原函数的一般表达式 称为称为
10、 的不定积分的不定积分 , 记为记为 向量函数的定积分向量函数的定积分:若若 是是 的一个原函数的一个原函数 , 则有以下则有以下牛顿牛顿 -莱布尼兹公式莱布尼兹公式即即空间曲线弧长的计算空间曲线弧长的计算设空间曲线设空间曲线是是 , 上的上的光滑曲线光滑曲线 ( 在在 , 上连续上连续 , 且且 )设设 t M0 , t + t M , 则割线则割线 M0M其中其中 介于介于 t , t +t 之之间 当当 连续时连续时 , , 即即积分得弧长的积分得弧长的弧长计算公式弧长计算公式:同时可知同时可知从而有从而有即即例例求圆柱面螺旋线求圆柱面螺旋线在在 0 , t 区间上的弧长区间上的弧长解解练习：练习：求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 ,它与所给平面的
