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1、1教 材 使 用 的 三 重 层 次谈“用函数的观点看一元二次方程”的教材使用的三重层次叶圣陶先生说：“教材无非是个例子，凭借这些例子教学生掌握这个工具，形成良好的学习习惯，达到不需要教的目的”这句话深刻阐明了“教师” 、 “教材” 、 “学生”三者之间的内在关系， “教师”是凭借， “教学”是手段， “学生”是教而为了不教目的。虽然教材仅仅是教学的一个凭借，但它可作为凭借的对象，其使用的有效性与教学效果有密切关系。通过几十年来的教学实践，笔者发现是否能有效使用教材可通过使用教材的三重层次来评价，下面结合具体教学内容，谈一谈对这三重层次的认识与思考。一、教材使用的第一重层次了解教材教材是对话的
2、文本，是学生学习活动所凭借的话题与依据，作为教师应努力钻研教材，全面了解教材所在的应有地位与作用。只有这样，教师才能凭借教材去整体使用教材，才能俣进学生整体的发展，使教学有的放矢。如某教师在“用函数的观点看一元二次方程”的教学中，直接使用教材中的问题。教材片段 1：如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： 。考虑以下问题：250th（1） 球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞时间？（2） 球的飞行高度能否达到 20m？如能， 需要多少飞时间？（3）
3、 球的飞行高度能否达到 20.5m? 如能， 需要多少飞时间？（4） 球从飞出到落地要用多少时间?让学生开展探究讨论，最后师生总结二次函数与一元二次方程的关系。这样的课堂看似十分开放，也体现了学生的主体性，然而，一节课下来，学生除了知道这个 二250th次函数与一元二次方程的关系外，其他收获很微小。教学的目的远不止知识的表象，更重要的是要弄清知识的内涵，从中领悟实质，掌握研究的一般方法。细读教材会发现， “用函数的观点看一元二次方程”教材是在学生学习了“用函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组”后提出的，学生已初步了解函数与方程问题的研究方法和关系所在。因此，在教学时，适当按
4、排课前复习，让学生从数和形的两个角度回顾一次函数与一次方程（组）的关系，从中感悟方法，不仅对学生学习这一节内容很大帮助，而且还有利于学生学习方法进一步掌握和学习能力的提高。钻研教材是教师用好教材的前提条件，钻研教材也不仅仅钻研隔天或本章需授课的部分，还需注意教材关于这块内容的整体结构和前后的联系。从中挖掘出教材的本质，只有全面了解教材的编写顺序，整体了解教材编写层次，才能全面深刻领会教材的内涵，融会贯通，使课堂教学的有效性得以提高。二、教材使用的第二重层次领悟教材2仅仅了解教材还是不够的，只有领悟教材编写意图，才有能力驾驶教材，让教材的真正意图得以实现，使学生的能力真正得到发展。如“用函数的观
5、点看一元二次方程”的教学，教学参考中明确指出：这块内容的教学目标是让学生进一步了解一元二次方程根的几何意义（抛物线与 x 轴的公共点的横坐标） ，知道抛物线与 x 轴三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况，会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。教材以这块内容为载体，让学生亲身经历“数形结合”数学思想。所以在教学时要突出这个数学思想，展示教学的魅力。教材片段 1 的编写意图：教材从学生感兴趣的高尔夫球的球的运动路线出发，给出确定的抛物， ，探究小球飞行高度 h 确定时，求小球飞时间 t 的值。其用意引250th导学生运用方程的方法去独立解决问题，通过具体的求解，了解二次函数与一元二次
6、方程的关系。这个问题教学的关键是，如何让学生从形的角度领悟二次函数与一元二次方程的关系。教材片段 2：从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系关系密切；例如，已知二次函数 的值是 3，求自变量 x 的值，可以看作一元二次方程xy4（即 反过来，解方程 又可以看作已知）x32 ）020342x二次函数 的值为 0。求自变量 x 的值。这一段对话教材的编写意图是什么2呢？教材片段 2 的编写意图：承上启下的作用。一方面是对问题中得出的结论的简单说明与运用；另一方面是为进一步深入讨论二次函数 与一元二次方程cbxay2的关系指明方向，在教学时要用好这块内容，发挥它的应有作用。02cbxa教材片段
7、3:下列二次函数的图像与 x 轴有公共点吗?如果有公共点的横坐标是多少?x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗?; )1(2y;96)(2xy1)3(2y教材片段 3 的编写意图：是从熟悉的三个具有不同内涵的二次函数图像出发。让学生通过观察与思考，得出二次函数与x 轴公共点的个数及公共点的横坐标与相应的一元二次方程根的关系，从而归纳出一般的结论。同时，要重视引导学生从特殊到一般的过程处理。教材片段 4：利用函数的图像求方程 的022x实数根（精确到 0.1） 。教材片段 4 的编写意图：用图像法解一元二次方程，领悟方法，体验过程，发展学生的能力。领悟教材也
8、是教师用好教材的前提，教材中的每一个问题都有一定的编写意图，教师只有真正理解教材意图，才能在课堂教学中运用自如。三、教材的第三重层次超越教材新课程的教材为教师的创造性教学创设了较大的空间，在了解教材、领悟教材后，需要教师在教学时重组教材，让教材变为一个动态生成的、鲜活的教学内容，以达到教材使用3的第三个层次超越教材。1、教学中的复习设计：为了能让学生回顾一次函数与一元一次方程之间的关系，在教学时可采用了如下的复习设计：（1）填写下表，并回答下表反映了什么问题？（反映了一元一次方程和一次函数的关系）序号 一元一次方程问题 一次函数问题1 解方程 3x2=0 当 x 为何值时,y=3x2 的值为
9、02 解方程 8x+3=03 当 x 为何值时,y=-7x+2 的值为 0（2）根据图象你能写出哪些一元一次方程的解方程5x=0的解是x=0，方程x+2=0的解是x=-2，方程-2.5x+5 =0的解是x=2，方程x-3 =0 的解是x=3（3）归纳：从数的角度看：求ax+b=0(a, b是常数，a0)的解 X为何值时y= ax+b的值为0；从形的角度看：求ax+b=0(a, b是常数，a0)的解 求直线y= ax+b与X轴交点的横坐标；通过以上三个问题的思考，让学生自觉将学习方法迁移到本节课的学习之中。2、教材片段1，教学时，还需要让学生结合图形对答案作出解释，要让学生回归题目中所给的图形，
10、让学生在书上建立合理的坐标系，在纵坐标上找出h=15的点，过这个点作纵轴的垂线与抛物线相有两个交点，过这两个交点作横轴的垂线，垂足所对应的点分别为1与3。由抛物线的对称性可知，当横坐标取1或3时，纵坐标都是15。类似地解释其他几个问题，让学生能从形的角度理解和体验二次函数与一元二次方程的关系。对于以上的求解过程、解释过程、板书过程还比较杂而乱，需要教师进一步梳理，在教学时，建议设计了下表，让学生在边解边答的过程中填写，有意识地归纳二次函数 与相应的一元250th二次方程的关系所在。二次函数 h 的取值相应的图形 相应的方程 对应 t的值250th15 2501tt1=1，t2=34250th2
11、0 250tt1=t2=2250th20.5 250.2t无实数根250th0 250tt1=0，t2=4以上这张表格，把数与形的研究方法过程都反得很清晰，学生会有忽然开朗的感觉。3、教材片段 2：教学时，根据教材编写意图，建议设计以下三个问题：问题 1：已知二次函数 求自变量 x 的值，让学生独立完成，再）xy342的 值 为次感受方法，体验过程，达到真正理解与学会。问题 2：解方程 又可以看作二次函数 的值为 0，求自032x 342y变量 x 的值。让学生经过思考问答，经历构造二次函数的过程，真正达到理解二次函数与一元二次方程的关系。问题 3：解方程 又可以看作二次函数 的值为 0，求自
12、变2cba cbxa2量 x 的值。以上三个问题的思考过程，是学生经历从特殊到一般的思考过程，进一步明确一般情况下一元二次方程与二次函数存在一定的关系。还需要进一步深入讨论，为下面的学习指明方向。4、教材片段 3，根据学生已有的知识，同时考虑一节课的教学时间，这三个二次函数的图像是作为已知呈现，不是当堂画图，教学时应把他作为已知条件处理，这样才有时间重点解决主要问题。学生通过思考得出的结论很零碎，需要教师引导学生加以归纳整理，让学生能从数和形两个角度去理解二次函数与一元二次方程根的关系，到达真正理解问题的本质的目的。建议教学时设计下面两张表，与学生一起分析探讨与归纳：二次函数 相应的图像 与
13、x 轴公共点个数及对应的坐标相应方程的根 判别式的符号 acb4252xy 有两个公共点（-2，0）（1，0）x2+x-2=0 的两个根是X1=-2，x 2=1042acb962xy有唯一公共点（3，0）x2-6x+9=0 有两根相等的实数根x1=x2=3042acb12xy没有公共点 x2-x+1=0 没有实数根042acb从以上表格可以很自然过渡到一般性结论，即二次函数 与一元二次cbxay2方程 有下面的关系：02cbxa二次函数 相应的图像 与 x 轴公共点个数及对应的坐标相应方程的根 02x判别式的符号 a42cbxay2有两个公共点（x1，0）（x2，0）cba的两个根是x1，x2
14、0ccbxay2有唯一公共点（ ab2，0）02cbx有两根相等的实数根 a042accbxay2没有公共点 02cbxa没有实数根042ac6以上的两张表格的整理，既让学生能清晰领悟二次函数与一元二方程的内在关系，又能培养学生掌握用“类比法”解决数学问题的方法，促进学生的能力发展。5、教学片段 4：用图像法解方程与解方程的其它方法相比，学生在心理有自然抗拒现象，原因是过程较繁。教师在教学时应强调说明一元二次方程的另一种解法图像解法；是从另一个角度来研究方程的根，作为一种重要方法和数学思想来思考，是教材的一个目标之一，也是为以后的学习打下基础。在解决学生心理问题的基础上，让学生了解图像法解方程
15、的一般步骤与方法，同时在上面的探究过程中，教学时应突出解题的方法与步骤：（1）构造二次函数 ；（2）用描点法作出这个二次函数的图像；（3）找2xy出图像与 x 轴交点的横坐标；（4）写出方程的解。为了使画图像简便，再介绍构造另一种二次函数的方法：（1）把方程变形为： ， （2）构造两个函数 与x2xy；（3）分别在同一坐标系中作出这两个函数的图像；（4）找出两个图像的交2y点的横坐标， （5）写出方的解。归纳小结两种解法的差异，基本方法类同，方法 1 只构造一个二次函数，对于本节课来说，这种解法比较自然，易于理解，但是画二次函数的图像比较费时。方法 2 其中二次函数的图像是固定易画，而一次函数
16、的图像只要两点画直线，也比较容易，这种解法与二元一次方程组的图像解法类同。在学生理解比较透彻的情况下，方法 2 是比较容易的一种解法。从以上的教学流程设计可以看到，教师对本节课内容吃得透，并对教材适当进行重组、梳理、拓展，教学设计更加贴近学生，符合学生认知规律，就能获更好的教学效果。可见大胆地对教材进行组合，能从根本上体现学生学习的主体性，使课堂的内涵更加丰富，使教材得以充分利用，使每天的课堂教学更为有效。创造性地使用教材是教学中一个永恒的话题，正如叶圣陶老先生所说的：“教材只能用为教课的依据，要教得好，使学生受到实益，还靠教师的善于运用” 。因此，教师要改变观念，在全面、深入研读教材中，用发展的眼光来审视教材，要求达到了解教材、领悟教材、超越教材的三重层次，从而让教材发挥出新的活力，让教材光芒四射，更
