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1、解题、讲题的意义今天，到历下区姚家小学参加数学组的教研活动。他们正在进行解题、讲题的活动。这是教师专业成长课题研究中的一项工作。老师们很努力，已经做了三四本子的题了，但对这项工作的意义还不甚了然。大家的意见主要有：题也做了，也讲了，可没有感到获得了什么；有的问我：您总是说好的老师能把一个题目发展成一串儿，我们讲了一些题目，仍然不知怎样发展题目。那么，这项工作的意义何在呢？为了让大家有所体验，我们几位教研员就和老师们一起研究了一道题目。一项工作，甲独做 10 天完成，乙独做 15 天完成，丙独做 20 天完成。三人一起工作，期间甲休息了 1 天，乙又休息了 3 天。问完成这项工作用了多少天？全体
2、老师独立研究了七、八分钟吧，解出来的不多。我先请没有做出来的发言：您前进到哪里了？遇到什么困难了？一位老师答：根据条件可以求出三人工效之和，如没有后面的枝节就可以求出三人合作几天完成，后面就不知如何是好了。我说：您的这些结论是在您的解题经验里提取出合适的工具得到的。就是说，我们在审题之后，总要在经验储备里拿出我们认为合适的工具做一些工作。无论如何，这是前进了一步。您不知所措时，可能还不止一次地重新审视条件。只是，您由于找不到出路，甚至开始怀疑您那两个极简单的结论的用处了，是吗？（我板书：提取）我接着说：这个题目很复杂，我们为什么不研究一个和它同构，而又简单的题目呢？一项工作，甲独做 10 天完
3、成，乙独做 15 天完成。两人人一起工作，期间甲休息了 1 天，问完成这项工作用了多少天？我板书：变简。也就是波利亚所说的研究一个和它类似的简单问题。尽管我们暂时还看不到出路，可是感觉做出来的希望比刚才大了一些。我又问：遇到工程问题，我们最希望的情况是什么？老师们答：两人合作，几天完成？是啊，可题目偏偏和“理想题目”作难。甲的天数乙的天数我给出上面的图形，问：我们能不能把题目变成“理想”的题目呢？这时，一些老师开始兴奋了。让乙也休息一天，工作总量变为：（1 ） ，题目迎刃而解了（1 ）（ ）1。51505在上面的“引导”过程中，我始终没有找到思路。把后面加 1这个小尾巴复杂化了。我不是说假话，
4、从我上黑板讲解到给出模型，我真的没有找到清晰的答案。当然，老师们自然想到，变成“理想题目”的方法还有：甲不休息，则工作总量为：（1 ）10由于我最后一步的错误，导致了一些混乱，姚学东上来补正（他是解题的高手） ，指出我的错误。又给出了一个图形：A：B：他说，就像行程问题一样，我们的经验告诉我们，把半路上修车一小时，改为一开始就晚出发一小时把模型 A 变为模型 B。总路程变为全长减去乙一小时的路程，题目又变成基本样式了。同理，令甲不停车一小时，则总路程也要相应地调整。最后，马强老师给出了一个更漂亮的模型：甲：干 干 休 干 干 干 干乙：干 干 干 休 休 休 干丙：干 干 干 干 干 干 干令
5、甲、乙都不休息，则总量是多少？至此，大家豁然开朗了。我的板书也完成了：审题提取变简直观模型发展条件，变成基本样式找到思路回顾回顾什么呢？1.复杂的题目往往由简单的题目组成。把难题变成类似的简单题目是常用的方法。所谓题目成串儿，就是这个意思。2.构造直观模型是我们需要下功夫练就的技能。3.静下心来思考，我们发现，许多“手法”我们过去都用过，只是在新的情境下，我们暂时“忘掉”了。忘掉不可怕，只要在回顾环节上，尽量回想哪些题目用到这些手法也是亡羊补牢的办法。4.解题无非就是做两个工作：发展条件，转化问题。一节课的时间就这样过去了，我说：解题、讲题的意义可否归结为：解题以掌握数学方法，讲题以掌握引导方
6、法。其实，解题、讲题的意义还不止于此。下面先介绍一下参加这次活动的老师们的收获：马刚：由于最后一步的低级错误，使我多多少少有些沮丧。但我可能在很长一段时间里记着这个失误，它也是一笔财富。姚学东（历下区教研员）：马老师，教学时，我总是在想：怎样讲学生才能彻底明白，而您却总是引导学生怎样工作和思考才有可能自己找到答案。我们的区别就在这里。 （这是散会后我们私下的交流刚案）薛燕（姚家小学）：昨天只讲了一个题目，但在此过程中却有许多感想：1.找对应量不好找。2.甲休息，其他两人干；丙休息，甲乙两人干，条件中干扰太多，不知如何入手。3.通过讲题，知道应将复杂的条件转化成简单的。4.順式思维不能解决的可以
7、逆向思考，会更易理解。甲休息，可以想成如果甲干的话，那总天数不变，单位“1”又加上了甲干的 1 天的工作量，就变为 1 。同理，如0果丙不休息，总量又要变化。5.以后这种题就可以采用逆向来思考。6.讲题时，应学会提问！（在我看来，这是薛老师最大的收获，他明白了，把学生问明白远远比讲明白更有意义刚案。 ）王文宇（姚家小学）：1.马老师给我的启发是他总结出了解题的方法和思路提取经验储备和把条件简化，是打开思路的重要方法。更重要的是如何把学生问会，而不是讲会。2.姚老师的方法是由此及彼，类比推理。由行程推到工程，这两个问题的模型是一样的。这就要求老师的数学功底要扎实，明确知识间的联系，讲起题来才能使
8、自己和学生通过一个题联系到几个题。3.马强老师的模型更易于理解，但留给学生的空间太小了，基本上没有与其他知识发生联系和碰撞。这是以后要避免的。刘刚（姚家小学）：1.刚开始不知从何入手，后来才找到突破口。2.解题应试试从多角度入手，或改变解题思路。3.把较复杂的题目转变为最基本的结构。屈启林（姚家小学）：讲过题后，对于应用题的多样性有了更深的认识。一道题可以从一般的，但很复杂的方面让学生理解，也可以从较为简单的、假设的近路解决。另外，在讲题过程中，可能讲解的只是针对一个题，这样使学生只会做一道题。不会形成一套做题的方法。长期影响，效果不好。另一种可能是针对一种类型的题，举一反三，这样学生就容易形
9、成一系列自己的方法。马强（姚家小学）：1.讲题要有一个比较稳定的步骤。2.一道难题是由若干个问题组合而成的，解题时可以把问题分解，由简到难，层层深入，加强学生的自主探讨活动。3.通过和马老师的讲题对比，我感到我更多的以自己为中心，我要一步步告诉老师该怎样做，忽视了数学中最重要的方法引导。当我讲完这道题时，老师们仅仅知道了这个题的解法，而没有提炼出解题的思路和这个解法可以延伸到哪些地方。联想到自己平时的教学，常常感到自己累、学生理解起来困难，可能与这有很大的关系吧。平时考虑学生太少了。不同阅历的老师们，当然会有不同层次的感想，这些感想将逐渐融入他们的心智之中，使他们的思维品质渐渐提高。最后，抄上波利亚的一段话，可能有助于我们加深理解做题、讲题的意义。把解题认为是纯粹的“智力活动”是错误的。决心会随着希望与失望、满意与沮丧而产生波动。教学生解题也是一种意志的教育。学生要解决对他来说并不容易的题目，他就要学会面对失败而锲而不舍，重视小的进步，静候实质性的念头，当这一念头出现后全力以赴。如果学生在学校没有机会使自己体会到这种为解题奋斗而带来的各种情绪变化，他的数学教育就在最重要的一点上失败了。现在，我们可以揭示解题、讲题活动的另一个意义了。教师首先要有丰富的、这种解题过程中的心智体验。然后，才有可能利用我们形成的引导技术，让学生享有这种体验。2008 年 3 月 26 日
