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1、以空间图形为背景的轨迹问题的探求伴随新课程的不断深入，近几年高考试题，设置了一些开放题，具有新颖性、综合性.在知识网络交汇处设计试题是当今高考命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”.这类题目已突破传统的筐筐，涵盖的知识点多，较抽象，学生求解起来颇感困难，得分率偏低，令人惋惜.本文通过几道典型例题的分析，寻求空间轨迹问题的探求方法.1 分析动点满足的几何性质；通过设轨迹上任意一点，根据条件求出动点的某些特征，再类比已学过的曲线的定义和性质，来寻求突破.1.1 利用线面垂直关系【例 1】 正方体 中，点 P 在侧面 及其边界上运动，在运1DCBA1BC动过程中，保持 AP ，则动
2、点 P 的轨迹是（ A ） 1A.线段 1BCB.线段C. 中点与 中点连成的线段11D. 中点与 中点连成的线段BC解：联想到线面垂直，转化为求 AP 运动所形成的面与 垂直，易证 ，1BD1面 ABC故选 A.1.2 联想圆的定义【例 2】如图 所在的平面 和四边形 所在的平面 垂直，且PBAC， ， ， ， ，则点 在平面,DC4AD86BPDBP内的轨迹是（ A ）A圆的一部分 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分，0,/ 9AADBCPARtPQ: 解 ： 且 ， 又 =，故 t有 在平面 PAB 内，以 AB 所在直线为 X 轴，AB 的中点为坐标原点，4182PBC，
3、 CCDA1BD1111111C1B1A1P设 P（x,y）则 ，化简得 ，注意到点 P 不在直线231xy（ ）（ ） 2109xyAB 上，故除掉 选 A.0练习：已知正方体 的棱长为 1，在正方体1DCB的表面上与点 A 距离为 的点的集合形成一条曲线，则该23曲线的长度为（ B ）A. B. C. D.23536243解：当点 P 在上底面时，连 AP、A 1P，在直角 APA1 中，求得 PA1= ，即弧 P1P2 的长 .同理左侧面的弧 P5P6、后侧面33的弧 P3P4 的长也为 ；当点 P 在前侧面时，弧 P1P6 的半径为 ，因为直角223A1P1A 中，直角边 A1P1 的
4、长为斜边 P1A 的一半，所以弧 P1P6 的圆心角为 ，从而弧 P1P6 的长为 .同理右侧面的弧 P2P3 的长与下底面的弧 P4P3 的长的长也为 .36 236故曲线的总长度为 ，故选 B.651.3 联想到抛物线的定义【例 3】 已知正方体 的棱长为 1，点 M 在棱1DCBAAB 上，且 AM= ，点 P 是平面 ABCD 内的动点，且点 P 到直线13的距离的平方与点 P 到点 M 的距离的平方之差为 1，则 P 点的1AD轨迹为（A）A.抛物线弧 B.双曲线弧 C.线段 D.以上都不对解法一：过 P 作 PF 垂直 AD 于 F，则 PF 垂直平面 ADD1A1，过点 F 作
5、FE 垂直 A1D1于 E，连 PE，则 PE 为点 P 到直线 A1D1 的距离，由已知 ，即2PEM，得 ， PF=PM，故 P 点的轨迹是以 M 为焦点，221FM20CDA BD1 C1B1A1 EF PMBCD AC1 B1A1D1P2P1 P P3P6P4P5以 AD 为准线的抛物线，故选 A.解法二：以 AB，AD 所在直线为 X 轴 Y 轴建立直角坐标系，设 P（x ,y）为轨迹上任意点，可得 P 到 A1D1 的距离平方为 1+ ， = ，所以 1+ -2x2PM21()3xy2=1，整理得 ，故选 A.2()3xy2139y：在正方体 的侧面 ABB1A1 内1CB有一点
6、P 到直线 AB 与到直线 B1C1 的距离相等，则动点 P 所在曲线的形状为（ C）A.直线 B.双曲线C.抛物线 D.圆解：因为 B1C1 垂直于平面 ABB1A1，所以 PB1 为点 P 到直线 B1C1 的距离，于是问题转化为在平面 ABB1A1 内，点 P 到定点 B1 的距离与点 P 到定直线 AB 的距离相等.故根据抛物线的定义可知选答案 C. 1.4 联想到球面的定义【例 4】 如图，已知正方形 的棱长为1DAC2，长为 2 的线段 的一个端点 在棱 上运动，点 N 在MN正方形 内运动，则 中点的轨迹的面积是（ ）ABCDA. B. C. D.42解：充分利用 MN 的长度不
7、变， 是直角三角形，P 点为斜边 的中点，NDM.故 点的轨迹是以 为圆心，1 为半径的球面位于正方体内的部分，因12PNP为要算具体面积，就必须求出几何体是球的哪些部分.分析可得，点 P 和棱 、 、ADC均交于各自的中点，即三条半径两两垂直，该部分球面与正方体围成的几何体是球的1D八分之一，故选 D.2 利用向量工具；按立体几何的传统方法几乎无从下手时，恰当的运用向量，有踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫之感.【例 5】一定长线段 AB 的两个端点 A、B 沿互相垂直的两条异面直线 、 运动，求mn它的中点的轨迹.解：设 MN 为 、 的公垂线段，则 MN 与 、 两两垂直.如图，以 N 点为
8、原点，mnmn直线 为 轴，直线 NM 为 轴，以过点 N 所作直线 的平行线为 轴，建立空间直角坐nxz y标系.设 ， ， ，则 ， P 点坐标为MNcur(0,)Aa(,0)Bb22AabcurQC1D1A1 B1D CBAPbaBAoPNMnmxzy，其中横坐标和纵坐标为变量，竖坐标为常量.,2bacP 点必在 MN 的垂直平分面上,取 MN 的中点 O，则0,2cO222babacur，所以 P 点在以 O 为圆心，21bac221ABNMur为半径的圆上.故 P 点的轨迹是 MN 的垂直平分面内的一个圆.22ABNMur3 利用特殊点定位；把问题的形式向特殊化形式转化，得出结论，并
9、证明特殊化后的结论适合一般情况.【例 6】 如图所示，在三棱锥 A-BCD 中，P 为 CD 的中点，动点M 在 ABD 内部及边界上运动，且总保持 PM平面 ABC,求动点M 的轨迹.解：先分析特殊位置；当点 M 在 BD 边上时，由 PM平面 ABC可得 PMBC，此时点 M 是 BD 边的中点 Q，当动点 M 在 AD 边上时，同理可得 PM AC，此时点 M 是 AD 边的中点 R.于是猜想动点 M 的轨迹为中位线 RQ.实际上此题就转化为证明面 ，故命题得证./ /PRABCPP面 ， 面 面探求空间轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡.以上是笔者在教学中，处理此类问题的几种方法，愿与各位共同探讨.PMRQADBC
