高考数学复习：高考导数应用大盘点

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1、第 1 页 共 6 页高考导数应用大盘点高考对导数部分的要求一般有三个层次：第一个层次是导数的概念，求导的公式和求导的法则；第二个层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三个层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性的内容等有机地结合在一起，设计综合试题 本文精选高考中的相关试题，进行分类导析，供老师、同学们复习参考1考查导函数的图象及其性质例 1（江西卷）已知函数 的图象()yxf如图所示（其中 是函数 的导函数） ，()fx下面四个图象中 的图象大致是（） y分析与解：由图 1 得 ，从而导出 是函数 的极值点是

2、解()1)0f1x()fx本题的关键由 是函数 的极值点，又在 上， ；在 上， xx(0)切01切，因此在 上， 单调递减，故选（C） ()0fx()切()f点评：要注意，若 是函数 的极值点，则有 ，但若0Pxy()fx0()fx，则 不一定是函数 的极值点要判断一个点是否为极值点，0()fx()切还要检验点 两侧的单调性是否不同2与函数交汇，考查导数的概念和计算第 2 页 共 6 页例 2（全国卷）已知 ，函数 a 02()exfxa（1）当 为何值时， 取得最小值？证明你的结论； x()fx（2）设 在 上是单调函数，求 的取值范围()f1切分析与解：（1）对函数 求导数，得 ()fx

3、2()2)exfxa令 ，得 ()0fx220a解得 ， ，其中 11a21x12x当 变化时， ， 的值变化如下表x()ff1x切1x12()x切2x2()x切()fx00Z极大值 极小值 Z 在 处取得极大值，在 处取得极小值()fx12x ， ， ， 在 上为减函数，在 上为增函0a 20x ()f1)切2()x切数而当 时， ；当 时， x()exfa0()0f所以当 时， 取得最小值21a(f（2）当 时， 在 上为单调函数的充要条件是 ，即0 ()fx1切 2x，解得 21a 34于是 在 上为单调函数的充要条件是 ，即 的取值范围()fx1切 34a是 34切3与解析几何交汇，考

4、查导数的几何意义切线的斜率例 3（福建卷）如图 2， 是抛物线 上一点，P21:Cyx直线 过点 并与抛物线 在点 的切线垂直， 与抛物线 相lPl交于另一点 Q第 3 页 共 6 页（1）当点 的横坐标为 2 时，求直线 的方程；Pl（2）当点 在抛物线 上移动时，求线段 中点 的轨迹方程，并求点 到CPQMM轴的最短距离x分析与解：用导数求出直线的斜率，再用求轨迹的基本方法展开，注意直线、曲线的弦中点问题“设而不求法”及求最值时的“重要不等式”的灵活使用（1）把 代入 ，得 2x21yxy点 坐标为 P()切由 ，得 ，2yxy过点 的切线的斜率 ，2k切直线 的斜率 l1l切直线 的方程

5、为 ，即 l2()yx260y（2）设 ，则 0()Px切201过点 的切线斜率 ，当 时不合题意，kx切 0 0x直线 的斜率 ，l 01lkx切直线 的方程为 l200()y设 ， ，1()Qx切()Mx切则由 ， ， 20y21y01x 10010101()()xx ，010lykx将上式代入并整理，得 就是所求的轨迹方程21(0)y由 知 ， 0x22211xxg第 4 页 共 6 页仅当 ，即 时取等号，所以点 到 轴的最短距离是 21x412xMx214与函数、不等式交汇，考查导数的运算和性质例 4（天津卷）已知函数 是 上的奇函数，当 时，3()(0)faxcdRx取得极值 ()

6、fx2（1）求 的单调区间和极大值；()fx（2）证明对任意 ， ，不等式 恒成立12()切12()4fxf分析与解：从函数的性质及导数与函数极值的关系着手（1）由题意 ， ，得 ()(fxfxR0d由 ， 在 处取得极值，必有 ，2()3fac1(1)0f故 0由 ，得 (1)f联立，得 ， 因此 a3c3()fx求出 后，经判断知 在 和 上是增函数，在 上是减函()fx()f1切)切(1)切数其极大值为 12（2）由（1）知， 在 上是减函数，且 在 上的最3()fxx切()fx切大值 ，最小值 ，所以，对任意 ， ，恒有()Mf (1)2mf1212()24fx5与实际问题结合，考查导

7、数的物理意义瞬时速度例 5（湖北卷）某日中午 12 时整，甲船自 处以 的速度向正东行驶，乙船A16km/h自 的正北 处以 的速度向正南行驶，则当日 12 时 30 分时两船之间距离对A8k/h时间的变化率是_ m分析与解：以 点为原点，正东、正北方向所在的直线分别为 轴， 轴建立如图 3 所示的直角坐标系， 时刻甲位于xyt处，乙位于 处，则两地间距离(160)t切(01824)t切，2s，22218()(16)84)tttt第 5 页 共 6 页又 12 时 30 分时， ，0.5t则 21(.)(3846)1.86s点评：此题不仅考查了方位角的概念、画图、识图的能力及列方程解应用题的思

8、想，更重要的是考查了学生对导数的物理意义及导数定义的理解，特别是不同的方向设计，使得变化率是一个负值这要求考生能将物理知识与数学知识相结合（意在考查学科交叉能力） ，要求考生能熟练运用复合函数的求导法则友情提醒：若对 的关系式化简展开后求导数，则运算较繁；由于不能真正理()st解距离对时间的导数是瞬时速度，而速度是一个向量，许多考生在求出对应的变化率是一个负值后，给出答案时竟然特意将其中的负号舍去，以致痛失 4 分，实为可惜！6与实际问题结合，考查导数的运算和性质例 6（全国卷）用长为 90cm，宽为 48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，

9、再焊接而成（如图） ，问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少 ?分析与解：设容器的高为 ，容器的体积为 ，x()Vx则 ，32()902)(48)7640(24)Vx x ，150x由 ，解得 ， （舍去） 2()31x236当 时， ，当 时， ，所以，当 时，0x()Vx4()0Vx10x有极大值 ()V3(1)960cm又 ， ，所以当 时， 有最大值 2410x3(1)96(cm)【方略扫描】1应用复合函数的求导法则时，首先要分析所给函数是由哪些函数复合而成，或者说，所给函数能分解成哪些函数，直至能用求导法则为止2函数在某点 处的切线的斜率 0()xy切 0()kfx3利

10、用导数判断函数的单调性：设函数 在某个区间内可导，如果 ，y()0fx则 在这个区间上为增函数；如果 ，则 在这个区间上为减函数()fx()fx()fx应当注意，在区间内 是 在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要()0fx第 6 页 共 6 页条件； 也只是 在区间上为减函数的充分条件，而不是必要条件()0fx()fx4利用导数求函数极值的步骤：求 ；求方程 的根；分析()fx()0fx在方程根左、右两侧的值的符号；如左正右负，则 在这个根处取得极大值；如()fx左负右正，则 在这个根处取得极小值；如果同正同负，那么 在这个根处无极()fx ()fx值5利用导数求最值的步骤：求 在 内的极值； 将 的各极值与()fx)ab切()f、 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值()fafb注：函数的极值是局部概念，函数的最值是整体概念，即在定义域内最大或最小所以用求导数的方法求函数的最值（极值） ，非常方便 但要注意 所对应的()0fx的值，不一定就是所求的最值点，要注意与端点的值进行比较x全 品中考网