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1、- 1 -第一章 算法初步本章教材分析算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方面.学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数学的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强进行实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手，通过研究程序框图与算法案例，使算法得到充分的应用，同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数
2、学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点.本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”，从而提高自己数学能力.因此应从三个方面把握本章：（1）知识间的联系；（2）数学思想方法；（3）认知规律.本章教学时间约需 12 课时，具体分配如下（仅供参考）：1.1.1 算法的概念 约 1 课时1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 约 4 课时1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句 约 1 课时1.
3、2.2 条件语句 约 1 课时1.2.3 循环语句 约 1 课时1.3 算法案例 约 3 课时本章复习 约 1 课时- 2 -1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念一、教材分析算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固.二、教学目标1、 知识与技能：（1）了解算法的
4、含义，体会算法的思想。（2）能够用自然语言叙述算法。（3）掌握正确的算法应满足的要求。（4）会写出解线性方程（组）的算法。（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。（6）会应用 Scilab 求解方程组。2、 过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。3、 情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自
5、然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。三、重点难点教学重点：算法的含义及应用.教学难点：写出解决一类问题的算法.四、课时安排1 课时五、教学设计（一）导入新课思路 1（情境导入）一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容算法.思路 2（情境导入）大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？- 3 -答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱
6、门关上.上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念.思路 3（直接导入）算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.（二）推进新课、新知探究、提出问题（1）解二元一次方程组有几种方法？（2）结合教材实例 )2(,1yx总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.（3）结合教材实例 )(,总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤.（5）根据上述实例谈
7、谈你对算法的理解.（6）请同学们总结算法的特征.（7）请思考我们学习算法的意义.讨论结果：（1）代入消元法和加减消元法.（2）回顾二元一次方程组)2(,1yx的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：第一步，+2 ，得 5x=1.第二步，解，得 x= 5.第三步，-2，得 5y=3.第四步，解，得 y= 3.第五步，得到方程组的解为 .53,1yx(3)用代入消元法解二元一次方程组)2(,1yx我们可以归纳出以下步骤：第一步，由得 x=2y1.第二步，把代入，得 2(2y1)+y=1. 第三步，解得 y= 53.- 4 -第四步，把代入，得 x=2 531= 1.第五步，得到方程组的解为 .53,y
8、x(4)对于一般的二元一次方程组 )2(,121cbxa其中 a1b2a 2b10,可以写出类似的求解步骤：第一步，b 2-b 1，得（a 1b2a 2b1）x=b 2c1b 1c2.第二步，解，得 x= 121a.第三步，a 1-a 2，得（ a1b2a 2b1）y=a 1c2a 2c1.第四步，解，得 y= 121c.第五步，得到方程组的解为 .,12121bacyx(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.现在，算法通常可以编成计算机
9、程序，让计算机执行并解决问题.(6)算法的特征：确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏 .“不重” 是指不是可有可无的，甚至无用的步骤， “不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“ 最后一步”之间做到环环相扣，分工明确， “前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步” 的继续.有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问
10、题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.（三）应用示例思路 1例 1 （1）设计一个算法，判断 7 是否为质数.（2）设计一个算法，判断 35 是否为质数.算法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用 26 除 7，如果它们中有一- 5 -个能整除 7，则 7 不是质数，否则 7 是质数.算法如下：（1）第一步，用 2 除 7，得到余数 1.因为余数不为 0，所以 2 不能整除 7.第二步，用 3 除 7，得到余数 1.因为余数不为 0，所以 3 不能整除 7.第三步，用 4 除
11、 7，得到余数 3.因为余数不为 0，所以 4 不能整除 7.第四步，用 5 除 7，得到余数 2.因为余数不为 0，所以 5 不能整除 7.第五步，用 6 除 7，得到余数 1.因为余数不为 0，所以 6 不能整除 7.因此，7 是质数.（2）类似地，可写出“判断 35 是否为质数”的算法：第一步，用 2 除 35，得到余数 1.因为余数不为 0，所以 2 不能整除 35.第二步，用 3 除 35，得到余数 2.因为余数不为 0，所以 3 不能整除 35.第三步，用 4 除 35，得到余数 3.因为余数不为 0，所以 4 不能整除 35.第四步，用 5 除 35，得到余数 0.因为余数为 0
12、，所以 5 能整除 35.因此，35 不是质数.点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断 35 是否为质数还可以，如果判断1997 是否为质数就麻烦了，因此，我们需要寻找普适性的算法步骤.变式训练请写出判断 n(n2)是否为质数的算法 .分析：对于任意的整数 n(n2)，若用 i 表示 2(n-1)中的任意整数，则 “判断 n 是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用 i 除 n,得到余数 r.判断余数 r 是否为 0，若是，则不是质数；否则，将 i 的值增加 1，再执行同样的操作 .这个操作一直要进行到 i 的值等于(n-1) 为止.算法如下：第一步，给定大于 2 的整数 n.第二步，令
13、 i=2.第三步，用 i 除 n,得到余数 r.第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则 n 不是质数，结束算法；否则，将 i 的值增加 1，仍用 i 表示.第五步，判断“i（n-1 ） ”是否成立.若是，则 n 是质数，结束算法；否则，返回第三步.例 2 写出用“二分法” 求方程 x2-2=0 (x0)的近似解的算法.分析：令 f(x)=x2-2,则方程 x2-2=0 (x0)的解就是函数 f(x)的零点.“二分法”的基本思想是：把函数 f(x)的零点所在的区间a,b(满足 f(a)f(b)2)是否为质数” 的算法.解：程序框图如下:- 11 -点评：程序框图是用图形的方式表达算法，使算法的
14、结构更清楚，步骤更直观也更精确.这里只是让同学们初步了解程序框图的特点，感受它的优点，暂不要求掌握它的画法.变式训练观察下面的程序框图，指出该算法解决的问题.解：这是一个累加求和问题，共 99 项相加，该算法是求10943121L的值.例 2 已知一个三角形三条边的边长分别为 a，b，c，利用海伦秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法，并画出程序框图表示.（已知三角形三边边长分别为 a,b,c，则三角形的面积为 S= )()(cpbap） ，其中 p= 2.这个公式被称为海伦 秦九韶公式）算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出 p 的值，再将它代入分式，最后输出结果.因此只用顺序结构应能表达
15、出算法.算法步骤如下：第一步，输入三角形三条边的边长 a,b,c.第二步，计算 p= 2cba.第三步，计算 S= )()(cpp.第四步，输出 S.- 12 -程序框图如下：点评：很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，它是最简单的逻辑结构，它是任何一个算法都离不开的基本结构.变式训练下图所示的是一个算法的流程图，已知 a1=3，输出的 b=7,求 a2 的值.解：根据题意 21a=7,a 1=3,a 2=11.即 a2 的值为 11.例 3 写出通过尺轨作图确定线段 AB 的一个 5 等分点的程序框图.解：利用我们学过的顺序结构得程序框图如下：点评：这个算法步骤具有一般性，对于任意
16、自然数 n，都可以按照这个算法的思想，设- 13 -计出确定线段的 n 等分点的步骤，解决问题，通过本题学习可以巩固顺序结构的应用.（四）知能训练有关专家建议，在未来几年内，中国的通货膨胀率保持在 3 %左右，这将对我国经济的稳定有利无害.所谓通货膨胀率为 3%，指的是每年消费品的价格增长率为 3% .在这种情况下，某种品牌的钢琴 2004 年的价格是 10 000 元，请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况，并输出四年后的价格.解：用 P 表示钢琴的价格，不难看出如下算法步骤：2005 年 P=10 000（1+3%）=10 300；2006 年 P=10 300（1+3%）=10 609；2007 年 P=10 609（1+3%）=10 927.27；2008
