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1、第 1 页类型直角三角形存在性问题探究,备考攻略)1 “某图形(直线或抛物线)上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形 ”的问题2 “某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题1利用勾股定理计算，在解一元二次方程时计算错误2分类讨论漏解3利用相似三角形解决问题不熟练1若夹直角的两边与 y 轴都不平行：先设出动点坐标，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线(没有与 y 轴平行的直线) 垂直的斜率结论(两直线 的斜率相乘等于1)，得到一个方程，解之即可. 2若夹直角的两边中有一边与 y 轴平行，此时不能使用斜率公式补救措施是：过余下的那一个点(
2、没在平行于 y 轴的那条直线上的点) 直接向平行于 y 的直线作垂线或过直角点作平行于 y 轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定3直接利用勾股定理进行计算，当已知直角三角形的三边中任意两边的长，可以直接求第三边的长4利用勾股定理建立方程：勾股定理是表示三边之间的关系，只有在两边确定的情形下，才可以直接利用公式求第三边，但有时题目的条件，却不能满足这点，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后通过列方程求解5利用勾股定理判断三角形是否为直角三角形，当三角形三边关系满足勾股定理时，三角形一定是直角三角形. 6将一般的几何问题构造出直角三角形，再用勾股定理求解7建立直角三角形
3、模型8根据条件特点，选用适当的锐角三角函数解决问题1分别表示出构成直角三角形的三条边的平方，再利用勾股定理分类讨论符合题意的动点的值2如果利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解,典题精讲)利用勾股定理建立方程【例 1】(2017 通辽中考)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 2bx2 过点A(2， 0)，与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线 yax 2bx2 的函数解析式；(2)若点 D 在抛物线 yax 2bx2 的对称轴上，求ACD 的周长的最小值；(3)在抛物线 yax 2bx2 的对称轴上是否存在点 P，使 ACP 是直角三角形？若存在，直接写出点 P 的坐标，若不
4、存在，请说明理由第 2 页【解析】(1)利用待定系数法求抛物线的函数解析式；(2)由轴对称的最短路径得：因为 B与 C 关于 对称轴对称，所以连 接 AB 交对称轴于点 D，此时ACD 的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；(3)存在，当 A 和 C 分别为直角顶 点时，画出直角三角形，设P(1，y)，根据直角三角形相似列比例式可得 P 的坐标【答案】解：(1)把点 A(2， 0)，B(2，2)代入抛物线 y ax2bx2 中，解得 抛物线函数解析式为： y x2 x2；4a 2b 2 0，4a 2b 2 2， ) a 14，b 12， ) 14 12(2)y x2 x2 (x 1)2 ，
5、对称轴是直线 x1，如图，过 B 作 BEx14 12 14 94轴于 E， C(0，2)，B(2，2)，对称轴是直线 x1，C 与 B 关于直线 x1 对称，CD BD，连接 AB 交对称轴于点 D，此时ACD 的周长最小，BE2，AE224，OC2，OA2，AB 2 ，AC 2 ，22 42 5 22 22 2ACD 的周长ACCD ADACBDADACAB2 2 .2 5答：ACD 的周长的最小值是 2 2 .2 5图(3)存在分两种情况：当ACP 90时，ACP 是直角三角形，如图.过 P 作PG y 轴于 G， 设 P(1，y) ，则CGP AOC， ， ，CG1，OG211，P(1
6、，1)；PGOC CGAO 12 CG2图当CAP 90 时，ACP 是直角三角形，如图，设 P(1，y)，则PEAAOC， ， ，PE3，P(1，3)AEOC PEAO 32 PE2第 3 页综上所述，ACP 是直角三角形时，点 P 的坐标为(1，1)或(1 ，3)图利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解【例 2】(2016 昆明中考)如图，对称轴为直线 x 的抛物线经过 B(2，0)，C(0，4)12两点，抛物线与 x 轴的另一交点为 A.(1)求抛物线的解析式；(2)若点 P 为第一象限内抛物线上的一点 ，设四边形 COBP 的面积为 S，求 S 的最大值；(3)如图，若 M
7、是线段 BC 上一动点，在 x 轴是否存在这样的点 Q，使MQC 为等腰三角形且MQB 为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由图图【解析】(1)由对称轴的对称性得出点 A 的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；(2)作辅助线把四 边形 COBP 分成梯形和直角三角形，表示出面积 S，化简后是一个关于 S的二次函数，求最值即可；(3)画出符合条件的 Q 点，利用平行相似得 对应高的比和对应边的比相等列比例式；在直角COB 和直角QMB 中利用正切和勾股定理求出即可【答案】解：(1)抛物线的对称轴为直线 x ，且抛物线经过 B(2，0) ，12A( 1，0) ，设抛物线的
8、解析式为：ya(x1)(x2)(a 0)，把 C(0，4)代入抛物线 ya(x1)(x2)，42a，a2，y2(x1)(x 2)，抛物线的解析式为：y2x 22x4；第 4 页图(2)如图，设点 P(m，2m 22m 4)，过点 P 作 PDx 轴，垂足为点 D，SS 梯形 PCODS PDB m(2m 22m44) (2m 22m 4)(2 m)12 122m 24m42(m1) 26，20，当 m1 时，S 有最大值，则 S 最大 6；(3)存在这样的点 Q，使MQC 为等腰三角形且MQB 为直角三角形理由：分以下两种情况：图如图所示，当BQM90时，CMQ90，只能 CMMQ.设直线 B
9、C 的解析式为：ykxb(k0) ，把 B(2，0)，C(0，4)代入得： 2k b 0，b 4， )解得 k 2，b 4， )直线 BC 的解析式为：y2x4，设 M(m，2m4)，则 MQ2m4，OQm，BQ2m，B(2，0)，C(0，4)，OB2，OC4，在 RtOBC 中，BC 2 ，OB2 OC2 22 42 5OCAB ，MQAB，第 5 页MQOC ，BMQBCO ， ，即 ，BMBC BQBO BM25 2 m2BM (2m)2 m，5 5 5CMBCBM2 (2 m) m，5 5 5 5CMMQ ，图 m2m4，5m 4 8.45 2 5Q(4 8，0)；5如图所示，当QMB
10、90时，CMQ90，只能 CMMQ，设 M(m，2m4)，在 RtCOB 和 RtQMB 中，tanCBOtanMBQ 2，OCOB MQBM由知 BM2 m，2 5MQCM m，5tanMBQ 2，MQBM 5m25 5mm ，M .43 (43， 43)BM2 m ，MQ m ，5 5235 5 435BQ ，BM2 MQ2103OQBQOB 2 ，Q ，103 43 ( 43， 0)第 6 页综上所述，Q 点坐标为(4 8，0) 或 .5 ( 43， 0)(2017 内江中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2bxc(a 0) 与 y 轴交于点 C(0，3) ，与 x 轴交于
11、A，B 两点，点 B 坐标为(4，0) ， 抛物线的对称轴为直线 x1.(1)求抛物线的解析式；(2)点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点N 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设MBN 的面积为 S，点 M 运动时间为 t，试求 S 与 t 的函数关系，并求 S 的最大值；(3)在点 M 运动过程中 ，是否存在某一时刻 t，使MBN 为直角三角形？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由解：(1)点 B 坐标为(4 ，0)， 抛物线的对称轴为直线 x1.A
12、( 2，0) ，把点 A(2，0)，B(4，0)，C(0，3) ，分别代入 yax 2bx c(a0)，得4a 2b 3 0，16a 4b 3 0，c 3， )解得a 38，b 34，c 3， )抛物线的解析式为 y x2 x3；38 34图(2)设运动时间为 t s，则 AM3t，BNt.第 7 页MB63t.B(4，0)，C(0，3)，OB4，OC3，在 RtBOC 中 ，BC 5.OB2 OC2 32 42如图，过点 N 作 NHAB 于点 H.NHCO，BHNBOC， ，即 ，HN t.HNOC BNBC HN3 t5 35S MBN MBHN (63t) t12 12 35 t2 t (t1) 2 ，910 95 910 910 0，910当 t1 时，S 有最大值，S MBN 最大 .910答：运动 1 s 使MBN 的面积最大，最大面积是 ；910图(3)如图，在 RtOBC 中 ，cosB .OBBC 45设运动时间为 t s，则 AM3t ，BNt.MB63t.当MNB90时，cosB ，即 ，BNMB 45 t6 3t 45t ；2417当BMN90时，cosB ，即 ，MBBN 45 6 3tt 45t ，3019第 8 页综上所述，t 的值为 或 s 时，MBN 为直角三角形2417 3019
